Transformasi Laplace Ditemukan oleh Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827), pakar matematika dan astronomi Perancis. Prinsipnya mentransformasi sinyal/sistem kontinyu dari ranah waktu ke ranah-s Mirip dengan transformasi Fourier, hanya jw digantikan oleh s.
Tujuan Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial (PD) yang rumit dan persoalan nilai awal. Prosedur utama dalam penyelesaiannya adalah: 1. Mentransformasi (Laplace) persamaan diferensial yang sulit menjadi persamaan yang lebih sederhana yang disebut persamaan pengganti. 2. Menyelesaikan persamaan pengganti dengan manipulasi/perhitungan aljabar biasa. 3. Mentransformasikan kembali (invers Laplace) solusi dari persamaan pengganti untuk mendapatkan solusi dari persamaan semula.
Prosedur tersebut bisa digambarkan sbb.:
Proses transformasi Laplace pada prinsipnya sama dengan proses penggunaan logaritma (ingat, logaritma adalah merupakan bentuk transformasi juga). Penggunaan logaritma akan menyederhanakan operasioperasi seperti perkalian, pembagian, pangkat, akar, dlsb.
Contoh : Misalkan kita ingin menghitung perkalian dari dua bilangan 25.735 dan 15.147 dengan menggunakan logaritma. Maka yang pertama dilakukan adalah mentransformasikan kedua bilangan ini dengan mengambil nilai logaritmanya. log (25.735) = 1,4105 ; log (15.147) = 1.1803 Hasilnya dijumlahkan : 1,4105 + 1.1803 = 2.5908 Lalu dilakukan proses transformasi balik (inverse transformation) dengan mengambil nilai antilogaritmanya : 10 2.5908 = 389.7624 Hasilnya merupakan perkalian dari dua bilangan yang diinginkan. Waktu yang diperlukan untuk melakukan manipulasi logaritma pada umumnya lebih cepat dibanding perkalian langsung.
Proses penyelesaian persamaan diferensial menggunakan transformasi Laplace : s
Langkah-langkah : Dari persamaan diferensial yang diberikan, dicari nilai transformasi Laplace yang bersesuaian dari tabel transformasi Laplace. Kondisi awal disisipkan dan transformasi yang telah didapat dimanipulasikan lagi secara aljabar sehingga menghasilkan nilai yang telah direvisi. Akhirnya ditentukan inverse transformasi Laplace dari nilai yang telah direvisi, juga dengan menggunakan tabel. Merupakan nilai yang diinginkan. Pada umumnya, cara dengan transformasi Laplace sangat menghemat waktu jika dibandingkan dengan cara konvensional.
Transformasi Laplace f(t) yang Umum Dijumpai Transformasi Laplace dari fungsi f(t) : (3.1) Di mana s merupakan bilangan kompleks dengan nilai s = s + jw. Simbol menunjukkan transformasi Laplace dari. Tidak semua fungsi f(t) bisa ditransformasikan ke dalam Laplace. Sebuah fungsi dapat ditransformasikan ke dalam Laplace jika : untuk s 1 positip dan real (3.2)
Tabel Transformasi Laplace
Tabel Transf. Laplace
Tabel Sifat Transf. Laplace
Contoh :
Contoh :
Contoh : 3.
Contoh : 4.
lain
Penyederhanaan Laplace pada komponen
Langkah untuk mengaplikasikan transformasi Laplace dalam menyelesaikan masalah rangkaian listrik : 1. Tentukan persamaan diferensial dalam ranah t dari rangkaian listrik dengan menggunakan hukum Ohm atau hukum Kirchoff; 2. Bentuk persamaan pembantu dalam ranah s dengan menggunakan transformasi Laplace; 3. Substitusikan nilai awal atau syarat batas yang diberikan (kalau ada) ke dalam persamaan pembantu; 4. Selesaikan persamaan pembantu dengan perhitungan aljabar, termasuk dengan metode jumlahan pecahan parsial; 5. Finalisasi menggunakan invers transformasi Laplace untuk menentukan solusi akhir.
Penyederhanaan Laplace pada komponen
Penyederhanaan Laplace pada komponen
Contoh-Contoh dalam Rangkaian Listrik Soal 1 : Tentukan besar arus yang mengalir dalam rangkaian berikut ini jika saklar ditutup pada saat t = 0. Penyelesaian : dengan menggunakan hukum Kirchoff-II diperoleh :
Jadi, besarnya arus yang mengalir adalah sebesar :
Soal 2 : Tentukan besar arus yang mengalir jika saklar ditutup pada saat t =0 dalam rangkaian berikut ini. Penyelesaian : dengan menggunakan hukum Kirchoff-II diperoleh :