MODUL FUNGSI KUADRAT Materi: Fungsi Kuadrat A Kajian ulang tentang fungsi B Fungsi kuadrat dan grafiknya C Menentukan fungsi kuadrat D Menentukan sumu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau negatif fungsi kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna E Menentukan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik yang tidak segaris F Model matematika yang erkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat A Kajian ulang tentang fungsi Pada gamar di awah ini dierikan diagram panah suatu relasi dari himpunan A {,,3,5} ke himpunan B {0,,4,6 } A 3 5 f B 0 4 6 Tampak ahwa setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B Relasi yang demikian diseut seagai fungsi atau pemetaan Definisi: Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang mengawankan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B Fungsi f terseut dituliskan dengan f : A B yang diaca: fungsi f memetakan dari A ke B Jika x A dan dipasangkan dengan y B, maka y diseut peta dari x dan dan ditulis y f (x) Selanjutnya himpunan A diseut daerah asal (domain), himpunan B diseut daerah kawan (kodomain) dan
semua anggota B yang merupakan peta dari anggota A diseut daerah hasil atau range fungsi Pada fungsi yang disajikan pada diagram panah di atas terlihat ahwa daerah asal A {,,3,5 }, daerah hasil B {0,,4,6 } dan range R {0,,4 } Selain dengan diagram panah penyajian fungsi juga dapat dilakukan dengan menggunakan grafik Penyajian terseut dapat dilakukan dengan menggamar grafik persamaan y f (x), dimana x anggota domain yang dikawankan dengan y anggota kodomain Contoh: Diketahui fungsi f dengan aturan f ( x) x dan memiliki daerah asal D f { x R x 4} Tentukan nilai fungsi f untuk x, x, x 3 dan x 4! Gamarkan grafik fungsi terseut pada idang Cartesius! 3 Berdasarkan hasil pada (), tentukan daerah hasil fungsi f! Penyelesaian: x f () () 3 x f () () 5 x 3 f (3) (3) 7 x 4 f (4) (4) 9 Berdasarkan hasil pada (a), maka garis terseut melalui titik-titik (,3);(,5);(3,7) dan (4,9) Sehingga diperoleh grafik: y 9-7 - 5-3 - - 0 3 4 5 x 3 Daerah hasil fungsi f yaitu: R f { y R 3 y 9}
Latihan: Diketahui fungsi f dengan aturan f ( x) x 3 dengan daerah asal D f { x R 0 x 4} a Tentukan nilai fungsi f untuk x 0, x, x, x 3 dan x 4! Gamarkan grafik fungsi terseut pada idang Cartesius! c Berdasarkan hasil pada (), tentukan daerah hasil fungsi f! Diketahui fungsi f : x ( x 3x ) dengan daerah asal {,,0,,} Tentukan daerah hasilnya! Df B Fungsi Kuadrat dan Grafiknya Bentuk umum fungsi kuadrat: Misalkan a,, c R dan a 0, maka fungsi kuadrat dirumuskan: f ( x) ax x c diseut fungsi kuadrat dengan peuah/variael x Contoh: Fungsi kuadrat f ( x) x 3x 5 adalah fungsi kuadrat dengan a, 3, c 5 Grafik fungsi kuadrat dapat ditulis dengan notasi grafik fungsi kuadrat diseut paraola y f ( x) ax x c dan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkah untuk memuat sketsa grafik fungsi kuadrat adalah seagai erikut: a Menentukan Tititk Potong dengan Sumu x (jika ada) Titik potong dengan sumu x, yaitu jika y 0 atau ax x c 0 Jika D 0 maka x Sehingga, grafik memotong sumu x di x dua titik, yaitu ( x,0) dan ( x,0) 3
Jika D 0 maka x Sehingga, grafik memotong sumu x di satu titik, yaitu ( x,0) x Jika D 0, maka tidak ada nilai x yang memenuhi, sehingga grafik tidak memotong sumu x Menentukan Titik Potong dengan Sumu y Tiitik potong dengan sumu y, jika x 0 y ax x c a(0) (0) c c Jadi, titik potong dengan sumu y adalah ( 0, c ) c Menentukan Persamaan Sumu Simetri Persamaan sumu simetri, yaitu: x x x a D a D a d Menentukan Tititk Puncak (Titik Balik Maksimum/Minimum) Catatan: y ax x c a( x x) c a a a x a x a 4ac 4a D 4a D Jadi, puncak paraola, a 4a Jika a 0, grafik teruka ke atas, titik puncaknya di awah, maka nilai y minimum Titik puncaknya erupa titik alik minimum Jika a 0, grafik teruka ke awah, titik puncaknya di atas, maka nilai y maksimum Titik puncaknya erupa titik alik maksuimum 4
Contoh: Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan y x 4x 5 Penyelesaian: Langkah-langkah penyelesaian: Titik potong dengan sumu x y 0, sehingga: x 4x 5 0 ( x 5)( x ) 0 x 5 atau x Jadi, titik potong dengan sumu x adalah ( 5,0 ) dan (,0 ) Tititk potong dengan sumu y x 0, sehingga diperoleh y 5 Jadi, titik potong dengan sumu y adalah ( 0, 5) 3 Persamaan sumu simetri: a x ( 4) () D 4 Titik puncak paraola, a 4a Sehingga: ( 4) D 4ac ( 4) 4()( 5) 6 0 x dan 9 a () 4a 4a 4() 4 Jadi, titik puncaknya adalah (, 9) Karena a 0, maka titik puncaknya erupa titik alik minimum 5
Sketsa grafiknya: y Sumu simetri x= - 0 5 x y f ( x) x 4x 5-5- -- -9- P(,-9) Latihan: Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat y x x 3! Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat y x 4x 5! Catatan: Nilai D > 0 ( titik potong) D = 0 ( titik potong) D > 0 (tidak memotong) a > 0 (teruka ke atas) (i) (ii) (iii) 6
a < 0 (teruka ke awah) x (iv) (v) (vi) Perhatikan entuk paraola di atas, khususnya (iii) dan (vi) Bentuk Bentuk a 0 D 0 a 0 D 0 diseut definit positif (selalu positif untuk setiap harga x) diseut definit negatif (selalu negatif untuk setiap harga x) Contoh: Tentukan m agar fungsi kuadrat f ( x) ( m ) x mx m 6 definit positif! Penyelesaian: Syarat definit positif: a a 0, maka m 0, sehingga m D 0, maka 4ac 0, sehingga ( m ) 4( m )( m 6) 0 Diperoleh m 3 Dari syarat (a) dan () diperoleh m 3 Jadi,untuk m 3 fungsi kuadrat definit positif Latihan: Tentukan k, agar kx x k definit negatif! Tentukan m, agar ( m ) x 8x 8a definit positif! 7