FPB dan KPK
Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian sehingga b = ac. Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa : a pembagi b a faktor b b kelipatan a b habis dibagi a
Pemfaktoran prima Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil kali semua pembaginya yang prima. Ada dua metode yang umum digunakan untuk menemukan semua faktor prima bilangan komposit.
Pemfaktoran prima (2) Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh terakhir tersebut Contoh: Carilah faktor prima dari 180 180 = 2.90 90 = 2.45 45 = 3.15 15 = 3.5 180 = 2.2.3.3.5
Pemfaktoran prima (3) Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran bilangan ke dalam sebarang dua faktor yang dikenal dan kemudian memfaktorkan faktorfaktor tersebut: 180 = (15) (12) = (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3) = 2.2.3.3.5 Selain kedua metode tersebut, ada cara lain yakni dengan menggunakan pohon faktor.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Definisi: Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat positif, p dan q, adalah bilangan bulat positip terbesar r demikian sehingga r p dan r q. Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya. Hal ini dinotasikan sebagai berikut: r = FPB (p,q).
FPB (2) Cara Menentukan FPB 1. Pemfaktoran 2. Pemfaktoran Prima 3. Algoritma Euclid
FPB (3) 1. Pemfaktoran Contoh dengan metode pemfaktoran, menentukan FPB dari 84, 198, dan 210. Kita tentukan masing-masing faktornya : Factors of 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 Faktor dari 198 : 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198 Factors of 210 : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 Dari ketiga bilangan yang memiliki faktor yang sama yaitu 6. Sehingga FPB (84, 198, 210) = 6. FPB (84,198) = 6 FPB (198,210) = 6 FPB (84, 210) = 42
2. Pemfaktoran Prima FPB (4) Tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya. Faktorisasi prima dari, 270 = 2 x 3 3 x 5 504 = 2 3 x 3 2 x 7 Dapat juga dinyatakan 270 = (2 x 3 2 ) x (3 x 5) 504 = (2 x 3 2 ) x (2 2 x 7) Sehingga (2 x 3 2 ) sebagai faktor persekutuan terbesar 270 dan 504. FPB (207, 504) = 18
3. Algoritma Euclid FPB (5) Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan dicari FPB bilangan yang besar. Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih praktis untuk menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma Pembagian dengan berulang.
FPB (6) Menurut Algoritma Pembagian, bilangan bulat positip a dan b, a b selalu dapat ditulis sebagai : a = bq + (r), dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 r < b. Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut dikenal sebagai Algoritma Euclides. Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilanganbilangan bulat positip dengan a b, dan r adalah sisa jika a dibagi oleh b, maka FPB (a, b) = FPB (b, r).
FPB (7) Contoh Penggunaan Algoritma Euclid FPB (1071,1029) = 21 FPB (589,494) = 19 a b r 1071 1029 42 1029 42 21 42 21 0 21 0 a b r 589 494 95 494 95 19 95 19 0 19 0
Relatif Prima Definisi: Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat positif p dan q adalah 1, maka p dan q disebut relatif prima. Contoh : 3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 1 31 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1. 9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3. Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positif kurang dari bilangan prima p adalah relatif prima terhadap p. Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah relatif prima terhadap bilangan prima 7.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Definisi: Bilangan bulat positip m adalah kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat positip p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positip terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q. Dari definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan terkecil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat positip yang habis dibagi kedua bilangan tersebut. Hal ini ditulis: m = KPK (p,q) Contoh : KPK (5,4)= 20 KPK (7, 6) =42 KPK (15, 12) = 60.
KPK (2) Cara Menentukan KPK 1. Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan kemudian memilih yang terkecil 2. Pemfaktoran Prima 3. Rumus [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q
KPK (3) 1. Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan kemudian memilih yang terkecil contoh Kelipatan Persekutuan Terkecil dari: 10, 12, dan 18 Kelipatan dari 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,190 Kelipatan dari 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204 Kelipatan dari 18 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198 Jadi KPK (10,12,18) = 180
KPK (4) 2. Pemfaktoran Prima KPK (3600, 1080, 672) Contoh menggunakan faktorisasi prima : 3600 = 2 4 x 3 2 x 5 2 1080 = 2 3 x 3 3 x 5 672 = 2 5 x 3 x 7 Bilangan yang merupakan faktor prima : 2,3,5, 7 Pangkat maksimum 2 adalah 5 3 adalah 3 5 adalah 2 7 adalah 1 Oleh karena itu, KPK adalah 2 5 x 3 3 x 5 2 x 7 = 151.200
KPK (5) 3. Rumus: [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q KPK(146,124) = (146 x 124) FPB (146, 124 = 18104 2 = 9052
KPK (6) KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat ditemukan dengan terlebih dahulu mencari KPK dari bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang. Misalkan akan dicari KPK dari p, q, r, s, maka dicari dulu KPK bilangan p dan q misalkan terdapat m 1, kemudian dicari KPK bilangan r dan s misalkan terdapat m 2. Maka KPK (p,q,r,s) = KPK (m 1, m 2 ). Contoh : Carilah KPK dari 42, 96, 104. 18. Jawab: KPK (42. 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936 KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = 26208