BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan Permulaan munculnya analisis fungsional didasari oleh permasalahan pada kurang memadainya metode analitik klasik pada fisika dan astronomi matematika. Sebagai contoh, Jacob Bernaulli dan Johann Bernoulli memperkenalkan kalkulus variasi yang di kemudian hari diketahui sangat berguna dalam bidang fisika. Sesungguhnya, kata "fungsional" diperkenalkan oleh Hadamard pada 1903, dan derivatif dari fungsional diperkenalkan oleh Fréchet pada 1904. Sebuah langkah penting dalam perkembangan sejarah analisis fungsional adalah kontribusi yang dibuat oleh Maurice Fréchet pada 1906 dalam merumuskan ide umum ruang metrik dan memperluas pengertian klasik dari ruang Euclidean R n, sehingga ukuran jarak dapat dikaitkan untuk semua jenis benda abstrak. Penemuan ini membuahkan teori ruang metrik dan generalisasinya, memperluas konsep topologi, kriteria konvergensi, dan sebagainya untuk ruang barisan atau struktur fungsional. Pada tahun 1907, Fréchet dan mahasiswa dari Hilbert bernama Schmidt, mempelajari ruang barisan sebzgai analogi pada teori fungsi yang jumlahan kuadratnya berhingga, dan pada tahun 1910, Riesz menemukan teori operator. Termotivasi oleh masalah pada persamaan integral yang berhubungan dengan ide-ide Fourier series dan tantangan baru dalam mekanika kuantum, Hilbert menggunakan jarak yang didefinisikan melalui inner produk. Pada tahun 1920, Banach bergerak lebih jauh dari ruang hasil kali dalam menuju ruang bernorma, membentuk apa yang disebut analisis fungsional modern. 1
2 Sesungguhnya, nama "ruang Banach" diperkenalkan oleh Fréchet. Penelitian Banach [Banach (1922); Banach (1932)] memperumum semua penelitian sebelumnya pada persamaan integral bersama Volterra, Fredholm dan Hilbert, yang akhirnya akan berguna pada penemuan besar seperti teorema Hahn-Banach dan teorema Banach- Steinhaus. Selama abad ke-20, banyak perhatian diberikan kepada masalah karakterisasi dari ruang Banach tertentu, yaitu ruang Hilbert. Dengan kata lain, norma dari ruang Banach tersebut dibangun dari suatu hasil kali dalam. Bersamaan dengan hal tersebut, muncul konsep semi hasil kali dalam atas dan bawah pada ruang bernorma. Permasalahan semi hasil kali dalam atas dan bawah ini ditulis oleh S.S. Dragomir dalam bukunya yang berjudul "Semi-Inner Products and Applications" dan C. Alsina, dkk., dalam bukunya yang berjudul "Norm Derivatives and Characterizations of Inner Product Spaces". Semi hasil kali dalam atas dan bawah ini merupakan konsep yang cakupannya lebih luasan dari hasil kali dalam karena dapat dibangun pada semua ruang bernorma. Menariknya, konsep ini dibangun dari norma. Jika diberikan ruang bernorma(x,. ) atas lapangan R maka semi hasil kali dalam atas, yang ditulis (.,.) r, dan semi hasil kali dalam bawah, yang ditulis(.,.) l, yang dibangun didefinisikan sebagai untuk setiap x, y X. (x,y) l = lim t 0 y +tx 2 y 2 2t (x,y) r = lim t 0 + y +tx 2 y 2 2t Hasil kali dalam semi atas dan bawah ini merupakan fungsi perluasan dari hasil kali dalam karena memiliki sifat : (i) (x,x) r = x 2 0 dan(x,x) r = 0 x = θ.
3 (x,x) l = x 2 0 dan (x,x) l = 0 x = θ. (ii) (αx,x) r = α(x,x) r = (x,αx) r. (αx,x) l = α(x,x) l = (x,αx) l. (iii) (x+y,z) r (x,z) r +(y,z) r. (x+y,z) l (x,z) l +(y,z) l. untuk setiap x,y,z X dan α > 0. Selanjutnya jika norma dibangun dari hasil kali dalam, maka berlaku(x,y) l = x,y = (x,y) r untuk setiapx,y,z X. Uraian di atas, khususnya sifat (iii), memberi inspirasi kepada penulis untuk menelitinya. Lebih lanjut, penelitian ini dimaksudkan untuk mempelajari apa yang dimaksud semi hasil kali dalam atas dan bawah beserta sifat-sifatnya dan hubungannya dengan beberapa hal lain sesuai yang tertulis dalam buku S.S. Dragomir. Akan tetapi ada beberapa hal yang akan ditambahkan pada penelitian ini yang akan diambil dari buku C. Alsina, dkk. 1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mempelajari dan memahami konsep semi hasil kali dalam atas dan bawah beserta sifat-sifatnya. Selain itu juga mempelajari beberapa hal baru seperti semi hasil kali dalam Lumer-Giles, fungsi dualitas yang ternormalisasi dari ruang bernorma, serta representasi dari hal-hal tersebut terhadap definisi semi hasil kali dalam atas dan bawah. Lebih lanjut, manfaat dari penelitian ini adalah sebagai salah satu teori dasar dalam hal pengembangan bidang analisis fungsional, khususnya semi hasil kali dalam dan diharapkan dapat mendorong penelitian lebih lanjut terkait generalisasi dari hasil kali dalam yang bernilai kompleks.
4 1.3 Tinjauan Pustaka Dalam mempelajari analisis fungsional, sesungguhnya tidak dapat dilepaskan dari konsep mengenai ruang vektor. Dengan adanya konsep ruang vektor, dikenal pula adanya konsep himpunan konveks, yang salah satu contohnya adalah ruang vektor itu sendiri. Selanjutnya, dari himpunan konveks dapat didefinisikan fungsi konveks. Pembahasan mengenai fungsi konveks ini dibicarakan oleh Niculescu (2004). Selanjutnya, dari konsep ruang vektor, dikembangkan konsep ruang bernorma, yaitu ruang vektor yang dilengkapi dengan norma. Lebih khusus lagi, terdapat konsep ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam. Berberian (1971) menyatakan, jika diberikan ruang vektor tak nol P atas lapangan K, yaitu R atau C, fungsi.,. : P P K disebut hasil kali dalam jika untuk setiapx,y,z P danα K berlaku : (i) x,x 0 dan x,x = 0 x = θ. (ii) x,y = y,x. (iii) αx,y = α x,y. (iv) x+y,z = x,z + y,z. Dikatakan lebih khusus dari norma karena hasil kali dalam dapat membangkitkan norma. Selanjutnya, dari norma dan hasil kali dalam dapat dipelajari konsep dual. Dalam konsep dual, dikenal adanya fungsional linear terbatas. Konsep fungsional linear terbatas ini memunculkan teorema perluasan fungsional yang dikenal dengan Teorema Hahn-Banach. Jika diberikan ruang bernorma X atas lapangan K dan f merupakan fungsional linear terbatas yang terdefinisi pada subruang dari Z X, maka terdapat fungsional linear terbatas f pada X sehingga f X = f Z dan
5 f(x) = f(x) untuk setiap x Z (Kreyszig, 1989). Teorema ini akan digunakan dalam penelitian pada pembuktian eksistensi dari irisan dari fungsi dualitas yang ternormalisasi. Dari konsep hasil kali dalam sebagaimanan didefinisikan di atas, muncul gagasan untuk memebangun fungsi yang sifat-sifatnya lebih lemah dari hasil kali dalam tetapi dibangkitkan dari norma. Ini mengilhami munculnya konsep semi hasil kali dalam atas dan bawah. Semi hasil kali dalam atas dan bawah dari x,y X, yang berturut-turut ditulis (x,y) r dan (x,y) l, dengan X ruang bernorma didefinisikan sebagai (Dragomir, 2004). (x,y) l = lim t 0 y +tx 2 y 2 2t (x,y) r = lim t 0 + y +tx 2 y 2 2t Eksistensi dari definisi tersebut dijamin dengan menggunakan sifat-sifat dari fungsi konveks. Untuk selanjutnya, Alsina dkk. (2010) menyatakan bahwa jika (X,.,. ) ruang hasil kali dalam real maka untuk setiapx,y X berlaku (x,y) r = x,y = (x,y) l. Dragomir (2004) juga mendefinisikan gagasan fungsi dualitas yang ternormalisasi. Gagasan tersebut digunakan oleh Dragomir (2004) untuk membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan semi hasil kali dalam atas dan bawah. Beberapa teorema itu antara lain : jika J merupakan fungsi dualitas yang ternormalisasi pada ruang bernorma X, maka untuk setiap x,y X, terdapat w 1,w 2 J(x) sehingga (y,x) r = w 1 (y) dan (y,x) l = w 2 (y). Lebih lanjut, (y,x) r,(y,x) l dapat dinyatakan sebagai(y,x) r = sup{w(y) : w J(x)} dan(y,x) l = inf{w(y) : w J(x)}. Selain beberapa definisi yang telah disebutkan, Dragomir (2004) juga mendefinisikan gagasan semi hasil kali dalam Lumer-Giles. Dengan mendefinisikan fungsi tertentu, semi hasil kali dalam Lumer-Giles ini dapat membangkitkan norma. Gaga-
6 san ini digunakan Dragomir (2004) untuk menunjukkan bentuk lain dari semi hasil kali dalam atas dan bawah, yaitu : jika (X,. ) ruang bernorma dan [.,.] semi hasil kali dalam Lumer-Giles yang membangkitkan norma., maka untuk setiap x, y X berlaku(y,x) r = lim t 0 +[y,x+ty] dan(y,x) l = lim t 0 [y,x+ty]. Berawal dari Teorema Representasi Riesz pada ruang hasil kali dalam, dan adanya semi hasil kali dalam Lumer-Giles, Giles (1967) menyatakan bahwa untuk sebarang ruang Banach (X,. ) atas lapangan K yang konveks seragam, jika [.,.] S. maka untuk setiap f X terdapat dengan tunggal y X sehingga f(x) = [x,y] untuk setiapx X. Untuk selanjutnya teorema tersebut dikenal dengan Teorema Representasi Riesz pada semi hasil kali dalam. Semua definisi serta teorema di atas juga beberapa teorema yang terkait dengan semi hasil kali dalam atas dan bawah, akan dibahas pada penelitian ini untuk dipelajari dan dilengkapi buktinya. 1.4 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan untuk penelitian ini adalah studi literatur. Dalam penelitian ini terlebih dahulu dipelajari tentang fungsi konveks dan norma. Dari kedua konsep tersebut, dapat dipelajari definisi dari semi hasil kali dalam atas dan bawah. Selanjutnya dipelajari tentang hasil kali dalam. Dengan menggunakan hasil kali dalam, norma, dan definisi semi hasil kali dalam atas dan bawah dihasilkan sifatsifat dari semi hasil kali dalam atas dan bawah. Kemudian dari hasil kali dalam dan norma dapat dipelajari dual dari ruang bernorma. Dari dual, dan dengan menggunakan Teorema Hahn-Banach dapat dipelajari fungsi dualitas yang ternormalisasi. Lebih lanjut, dipelajari bentuk lain definisi semi hasil kali dalam atas dan bawah dalam kaitannya dengan fungsi dualitas yang ternormalisasi. Selanjutnya dipelajari semi hasil kali dalam Lumer-Giles dan kaitannya dengan semi hasil kali dalam atas
7 dan bawah, yang menghasilkan bentuk lain definisi semi hasil kali dalam atas dan bawah dengan menggunakan semi hasil kali dalam Lumer-Giles. Pada bagian akhir dipelajari Teorema Representasi Riesz pada semi hasil kali dalam Lumer-Giles. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini dapat disajikan dalam diagram alur sebagai berikut ini. Gambar 1.1: Diagram Alur Rencana Penelitian 1.5 Sistematika Penulisan Pada bagian ini akan diberikan sistematika penulisan sebagai gambaran secara menyeluruh dari tulisan ini yang akan disusun menjadi tesis. Tugas Akhir ini terdiri dari empat bab, dengan gambaran masing-masing bab adalah sebagai berikut. Penyusunan tesis ini akan dibagi menjadi empat bab yang dimulai dengan BAB I yang merupakan bagian pendahuluan. Dalam BAB I akan diberikan latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodolo-
8 gi penelitian, serta sistematika penulisan. Penulisan dilanjutkan dengan BAB II yang berisikan landasan teori yang digunakan dalam peneltian ini. BAB II dibagi menjadi 5 bagian (subbab). Pada subbab 1 akan dibahas mengenai konsep dan sifat-sifat fungsi konveks. Pada subbab 2 akan dibahas mengenai konsep ruang bernorma, ruang hasil kali dalam beserta sifatsifatnya dan teorema representasi Riesz. Pada subbab 3 akan dibahas mengenai konsep dan sifat-sifat dual dari suatu ruang bernorma. Selanjutnya, pada subbab 4 akan dibahas mengenai konsep Teorema Hahn-Banach secara khusus. Pada bagian akhir, subbab 5, akan diberikan Teorema Hölder. Selanjutnya, hasil dari penelitian ini akan disajikan dalam BAB III. Pada BAB III akan dibagi menjadi empat bagian (subbab). Pada subbab 1 akan disajikan hasil penelitian yang meliputi semi hasil kali dalam atas dan bawah. Pada subbab 2 akan disajikan hasil penelitian yang meliputi hubungan antara semi hasil kali dalam atas dan bawah dengan dual atas norma yang terkait dan akhirnya akan ditunjukkan bentuk lain semi hasil kali dalam atas dan bawah berkaitan dengan dual atas norma yang terkait. Pada subbab 3 akan disajikan hasil penelitian terkait konsep semi hasil kali dalam Lumer-Giles dan akan ditunjukkan bentuk lain semi hasil kali dalam atas dan bawah berkaitan dengan semi hasil kali dalam Lumer-Giles. Untuk yang terakhir, subbab 4, akan disajikan hasil penelitian terkait Teorema Representasi Riesz pada semi hasil kali dalam Lumer-Giles. Sebagai bagian akhir dari tesis ini, hasil pembahasan dari BAB III akan dirumuskan dan disajikan kembali dalam beberapa kesimpulan. Kesimpulan-kesimpulan tersebut akan disajikan dalam BAB IV. Selain itu, dalam BAB IV juga akan diberikan saran-saran untuk penelitian lebih lanjut terkait dengan semi hasil kali dalam atas dan bawah.