BAB IV DERET FOURIER 4.1 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebut perioda dari f(x). Contoh : Fungsi sin x mempunyai perioda 2π; 4 π; 6 π;... karena sin (x+2 π) = sin (x+4 π) = sin (x+6 π) =...= sin x. Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positif adalah 2 π /n. Periode dari tan x adalah π. Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif. Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya : IV - 1
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval). IV - 2
4.2 Deret Fourier Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang (gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal). Definisi Deret Fourier : Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L;L) dan di luar interval tersebut f(x) periodikdengan periode 2L ; maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai : (4-1) dengan koefisien Fourier a n, bn ditentukan oleh : (4-2) Jika interval ( L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka : (4-3) (4-4) (4-5) dengan C sembarang bilangan real. Jika C = -L maka rumus (4-4) dan (4-5) akan sama dengan (4-2) dan (4-3). Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet. IV - 3
Syarat /Kondisi Dirichlet Teorema : Jika, 1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L). 2. f(x) periodik dengan perioda 2L. 3.f(x) dan f (x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L;L). Maka deret Fourier (4-1) dengan koefisien (4-2) dan (4-3) atau (4-4) dan (4-5) konvergen ke : Contoh : 1. Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai : di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 π. Penyelesaian : IV - 4
Fungsi f (x) pada contoh diatas bisa dimisalkan merupakan suatu pulsa voltase yang periodik; dan suku-suku dari deret Fourier yang dihasilkan akan berkaitan dengan frekuensi frekuensi yang berbeda dari arus bolak balik yang dihubungkan pada gelombang bujur sangkar dari voltase tadi. 2. Tentukan deret Fourier dari : dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5. IV - 5
Penyelesaian : Periode = 2L. L=5 Deret Fouriernya : f(x) memenuhi syarat Dirichlet, jadi deret Fourier akan konvergen ke: - F (x) ; jika x titik kontinu - f (x + ) + f (x - ) ; jika x titik diskontinu 2 titik-titik x = -5; 0 dan 5 merupakan titik-titik diskontinu dari f (x) pada interval (-5,5) sehingga : di x = -5 ; deret akan konvergen ke : di x = 0 ; deret akan konvergen ke : di x = 5 ; deret akan konvergen ke : IV - 6
Deret Fourier diatas akan konvergen ke f (x) pada interval -5 x 5 apabila f (x) ditentukan sbb: diluar interval ini periodik dengan p = 10 3. Ekspansikan f (x) = x 2 ; 0 < x < 2 kedalam deret Fourier jika f (x) Periodik dengan periode 2. Penyelesaian : periode 2L = 2 L = IV - 7
4. Dengan menggunakan hasil dari contoh no. 3, buktikan bahwa : Penyelesaian : Pada x = 0 ; deret Fourier dari f(x) = x 2 konvergen ke f(x) = IV - 8
2.3 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x. Contoh : Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f (x) fungsi genap maka: (4-6) Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x. Contoh : IV - 9
Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f (x) fungsi ganjil maka: (4-7) 4.4 Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half Range) Deret fourier dari fungsi genap : Genap Jadi, jika f(x) fungsi genap maka bn = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus saja atau suku-suku dari an. Deret fourier dari fungsi ganjil: IV - 10
Jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0 ; sehingga yang muncul hanya sukusuku yang mengandung sinus saja atau suku-suku dari bn. Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret Fourier yang hanya mengandung suku sinus atau cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval adari (-L;L) yaitu pada interval (0;L) saja. Setengah lainya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil. Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan : f(x) fungsi ganjil (4-8) Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: f(x) fungsi genap (4-9) Contoh: Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam : a. deret sinus setengah jangkauan b. deret cosinus setengah jangkauan Penyelesaian : a. deret sinus setengah jangkauan IV - 11
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut: Sehingga : an = 0 Jadi deret sinus: b. Deret cosinus setengah jangkauan IV - 12
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval- 2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut: an = 0 bn = 0 Jadi deret cosinus: IV - 13
Jawaban IV - 14