KERNEL DIRICHLET VS KERNEL FEJER DI SEKITAR TITIK DISKONTINU. Taufan Mahardhika, M.Si. Sekolah Tinggi Analis Bakti Asih

Transkripsi

1 KERNEL DIRICHLET VS KERNEL FEJER DI SEKITAR TITIK DISKONTINU Taufan Mahardhika, M.Si. Sekolah Tinggi Analis Bakti Asih Abstrak. Kita akan membandingkan hasil konvolusi fungsi dengan menggunakan Kernel Dirichlet dan Kernel Fejer untuk menghampiri fungsi tersebut. Khususnya di sekitar titik diskontinu. Kata Kunci. Kernel Dirichlet, Kernel Fejer. Pendahuluan Setiap fungsi periodik yang piecewise continuous di dapat kita hampiri dengan deret Fourier. Tetapi di sekitar titik-titik diskontinu terdapat masalah yaitu hasil hampiran deret Fourier mengalami kelebihan atau kekurangan dari nilai fungsi yang sebenarnya di sekitar titik diskontinu. Fenomena ini disebut Fenomena Gibbs yang dikemukakan oleh J. W. Gibbs. Dapatkah Fenomena Gibbs ini dihilangkan? Jawabannya adalah Ya, fenomena ini dapat dihilangkan salah satu caranya adalah dengan menggunakan konvolusi dengan Fejer Kernel. 2. Konvolusi Fungsi Periodik Fungsi f : periodik dengan perioda 2 jika fx 2 fx untuk setiap x. Fungsi f piecewise continous jika f kontinu kecuali diberhingga titik di sembarang interval dengan panjang 2 dengan f memiliki limit kanan dan limit kiri di titik diskontinu. Himpunan semua fungsi f : periodik dengan perioda 2 dan piecewise continous dinotasikan dengan PC2. Informasi lebih lanjut dapat dibaca di [Bartle]. Jika f,g merupakan fungsi di, maka konvolusi mereka merupakan fungsi f g yang didefinisikan sebagai berikut f gx fx ygydy menghasilkan nilai integralnya ada. Informasi lebih lanjut dapat dibaca di [Folland]. Lemma. Jika f periodik dengan perioda 2 a2 maka a fxdx tidak bergantung a. Bukti. lemma dapat dilihat di [Folland] 3. Kernel Dirichlet Misalkan diberikan suatu fungsi f PC2. Kita dapat membuat Deret Fourier dari fungsi f yaitu JURNAL INFORMASI 59

2 dengan fx c n e inx n c n fye 2 iny dy Karena keterbatasan kita yang tidak dapat menghitung hingga n. Jadi kita ambil Hampiran Deret Fourier (HDF) hingga suku ke- N menjadi S f Nx yang didefinisikan sebagai berikut : N S f N x c n e inx dengan c n fye 2 iny dy n N Jika kita masukkan c n ke persamaan 3, maka kita peroleh N S f N x n N N 2 n N fye 2 iny dy e inx fye inx y dy Kemudian dengan mengubah n menjadi n, mensubstitusikan z x y dan menggunakan Lemma, kita peroleh JURNAL INFORMASI 60

3 S f N x N 2 n N N 2 n N N 2 n N x x fye inx y dy fz xe inz dz fz xe inz dz Lebih singkatnya dapat kita tuliskan S N f x fz xdn zdz dengan N D N z 2 n N e inz Fungsi D Nz dikenal sebagai Kernel Dirichlet ke- N. Dapat pula ditunjukkan D N z N e inz sin N z 2 2 n N 2 sin bahwa 2 z. Jadi S f Nx hasil konvolusi fungsi f dengan Kernel Dirichlet. 4. Kernel Fejer Jika kita gunakan Rata-rata Cesaro merupakan C f N x N S f n x N n0 dimana n0 N S n f x merupakan deret jumlah Cesaro dari HDF suku ke-0 hingga suku ke-n. Lipot Fejer menggunakan Rata-rata Cesaro untuk membuat Kernel Fejer sehingga diperolehlah JURNAL INFORMASI 6

4 C f N x N N n0 n 2 m n fz xe imz dz fz x N n0 N n e 2 imz m n dz Sehingga kita dapat menuliskannya sebagai C N f x fz xfn zdz dengan F N z 2 N N n0 n e imz m n Fungsi F Nz dikenal sebagai Kernel Fejer ke- N. Dapat pula ditunjukkan bahwa F N z 2 N N n0 n m n e imz 2 sin 2 2 z. Jadi C f N x merupakan hasil konvolusi fungsi f dengan Kernel Fejer. Jadi Kernel Fejer merupakan Rata-rata Cesaro dari Kernel Dirichlet. Lebih Jauh tentang Kernel Fejer dapat dibaca di [Walter]. 5. Kernel Dirichlet vs Kernel Fejer Untuk mempermudah pemahaman kita mengenai Fungsi Kernel Dirichlet dan Kernel Fejer, maka perhatikan grafik berikut N sin 2 N 2 z Gambar. Kernel Dirichlet JURNAL INFORMASI 62

5 Gambar 2. Kernel Fejer Hal yang terpenting mengenai kekonvergenan kekonvergenan Kernel Dirichlet dan Kernel Fejer dapat dibaca di [Walter]. Kita ambil suatu fungsi f yang memiliki titik diskontinu yang kemudian akan kita hampiri fungsi tersebut dengan konvolusi Kernel Dirichlet. Lalu kita bandingkan hasilnya dengan hasil konvolusi Kernel Fejer. Manakah di antara dua kernel tersebut yang terbaik dan apa kelemahannya? Untuk mudahnya kita ambil contoh fungsi saw yang diambil dari [Walter] sawx x x 0 2 x 0 x 2 Berikut adalah grafik fungsi saw Gambar 3. Fungsi Saw Kita peroleh dari Hampiran Deret Fourier fungsi saw(x) yang merupakan hasil konvolusi dengan Kernel Dirichlet. Kita peroleh juga Rata-rata Cesaro-nya yang merupakan hasil konvolusi dengan Kernel Fejer. Hasilnya dapat dilihat pada gambar berikut. JURNAL INFORMASI 63

6 Gambar 4. Konvolusi Fungsi Saw dengan Kernel Dirichlet Gambar 5. Konvolusi Fungsi Saw dengan Kernel Fejer Dan berikut ini merupakan Inset dari hasil diatas di dekat titik diskontinu Gambar 6. Inset Konvolusi Fungsi Saw dengan Kernel Dirichlet JURNAL INFORMASI 64

7 Gambar 7. Inset Konvolusi Fungsi Saw dengan Kernel Fejer Teknis perhitungan fungsi saw(x) ini dapat di lampiran dengan menggunakan alat bantu Program Maple 8. Terlhat bahwa untuk N yang sama, hasil konvolusi dengan Kernel Fejer lebih baik (menghilangkan fenomena Gibbs) daripada hasil konvolusi degan Kernel Dirichlet. 6. Kesimpulan Kesimpulan dari permasalahan fungsi yang dihampiri dengan hasil konvolusi dengan Kernel Fejer dan hasil konvolusi dengan Kernel Dirichlet adalah sebagai berikut :. Kernel Dirichlet ). Perhitungan lebih cepat karena hanya menghitung hampiran fungsi ke-n saja. 2). Hasil hampiran terhadap fungsi aslinya kurang baik. 3). Terjadi Fenomena Gibbs. 2. Kernel Fejer ). Perhitungan lebih lambat karena menghitung hampiran fungsi ke-0 hingga ke- N yang kemudian dirata-ratakan. 2). Hasil hampiran terhadap fungsi aslinya lebih baik. 3). Tidak terjadi Fenomena Gibbs. Kernel Fejer adalah Rata-rata Cesaro ke-(n+) atas penjumlahan Kernel Direchlet ke- 0 hingga Kernel Dirichlet ke-n. Daftar Pustaka []. Bartle, R. G., The Element of Real Analysis, Second Edition, John Wiley & Son, 975 [2]. Folland, G. B., Fourier Analysis and its Applications, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics series, 992 [3]. Walter, G. G., and X. A. Shen, Wavelet and Others Orthogonal Systems, Second Edition, CRC Press, Boca Ranton, FL, USA, 2000 [4]. Young, N., An Introduction to Hilbert Space, Cambridge U. P., 988 oo00oo JURNAL INFORMASI 65

8 8. Lampiran Computer Code (Maple 8) > restart:with(plots): > Diric:=(n,x)->sin((n+/2)*x)/(2*Pi*sin(x/2)); > D2:=plot(Diric(2,x),x=-5..5,color=black,linestyle=2,thickness=2,legend="N=2"): > D4:=plot(Diric(4,x),x=-5..5,color=blue,linestyle=,thickness=2,legend="N=4"): > D8:=plot(Diric(8,x),x=-5..5,color=red,linestyle=4,thickness=2,legend="N=8"): > display(d2,d4,d8,view=[-pi..pi,-pi/4..pi],title="plot Kernel Dirichlet"); > Fejer:=(n,x)->sin(n*x/2)^2/((2*Pi*n)*(sin(x/2))^2); > F2:=plot(Fejer(2,x),x=-5..5,color=black,linestyle=2,thickness=2,legend="N=2"): > F4:=plot(Fejer(4,x),x=-5..5,color=blue,linestyle=,thickness=2,legend="N=4"): > F8:=plot(Fejer(8,x),x=-5..5,color=red,linestyle=4,thickness=2,legend="N=8"): > display(f2,f4,f8,view=[-pi..pi,-pi/4..pi],title="plot Kernel Fejer"); > saw:=x->piecewise(x>0 and x<pi,(pi/2)*(pi-x),x<0 and x>-pi,(pi/2)*(-pi-x)); > sawa:=plot(saw(x),x=- Pi..Pi,discont=true,color=black,linestyle=,thickness=3,legend="saw(x)"): > display(sawa,view=[ ,-2*pi..2*pi],title="fungsi saw(x)"); > b:=n->(2/pi)*int(saw(x)*sin(n*x),x=0..pi); > s:=(n,x)->piecewise(abs(x)<pi,sum(b(k)*sin(k*x),k=..n)); > D00:=plot(s(00,x),x= ,color=black,linestyle=2,thickness=2,legend="N=00"): > D50:=plot(s(50,x),x= ,color=blue,linestyle=,thickness=2,legend="N=50"): > D25:=plot(s(25,x),x= ,color=red,linestyle=4,thickness=2,legend="N=25"): > display(d25,d50,d00,sawa,view=[-pi..pi,-2*pi..2*pi],title="konvolutor Kernel Dirichlet"); > display(d25,d50,d00,sawa,view=[0..pi/3,pi..(9/5)*pi],title="konvolutor Kernel Dirichlet"); > sigma25:=x->(/25)*sum(s(m,x),m=0..24): > sigma50:=x->(/50)*sum(s(m,x),m=0..49): > sigma00:=x->(/00)*sum(s(m,x),m=0..99): > F00:=plot(sigma00(x),x= ,color=black,linestyle=2,thickness=2,legend="N=00"): > F50:=plot(sigma50(x),x= ,color=blue,linestyle=,thickness=2,legend="N=50"): > F25:=plot(sigma25(x),x= ,color=red,linestyle=4,thickness=2,legend="N=25"): > display(f25,f50,f00,sawa,view=[-pi..pi,-2*pi..2*pi],title="konvolutor Kernel Fejer"); > display(f25,f50,f00,sawa,view=[0..pi/3,pi..(9/5)*pi],title="konvolutor Kernel Fejer"); oo00oo JURNAL INFORMASI 66