PRAKTIKUM 3 PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TOPIK: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ========== Dalam praktikum ini selalu gunakan Worksheet Mode dengan tipe input Maple Notation ========== I. Pendahuluan Pandang PDB orde 2 linier yang mempunyai bentuk umum Untuk mengkonstruksi solusi umum dari PDB (1), diperlukan beberapa teorema pendukung berikut. Teorema 1. (Prinsip Superposisi) Jika dan masing-masing merupakan solusi dari PDB (1) pada suatu selang, maka kombinasi linier, untuk dan suatu konstanta sebarang, juga merupakan solusi dari PDB (1) pada selang. Teorema 2. (Kebebaslinieran Dua Fungsi) Dua fungsi dan bebas linier pada selang jika dan hanya jika Notasi W dikenal sebagai determinan Wronskian atau disingkat Wronskian. Teorema 3. (Solusi Umum PDB Orde 2 Linier Homogen) Misalkan dan adalah dua solusi bebas linier dari PDB orde 2 linier homogen Maka solusi umum dari PDB (2) diberikan oleh, untuk dan konstanta sebarang. Teorema 4. (Solusi Umum PDB Orde 2 Linier Nonhomogen) Jika adalah suatu solusi dari PDB (1) dan adalah solusi umum dari PDB homogennya [yaitu pers. (2)], maka solusi umum dari PDB (1) adalah Solusi dan dikenal berturut-turut sebagai solusi homogen dan solusi partikular. Pada praktikum ini akan dibahas penyelesaian dari PDB (1) dan (2) yang ditentukan secara manual (tapi tetap memerlukan beberapa bantuan sintaks Maple) dan kemudian membandingkannya dengan solusi yang diperoleh dengan perintah dsolve pada Maple. Anda diasumsikan telah memahami metode penyelesaian PDB orde dua linier homogen dan nonhomogen. II. PDB Orde 2 Linier Homogen Silakan ketik perintah berikut dan pahami arti dari sintaksnya. [> restart; [Mendefinisikan PDB orde 2 linier homogen dan diberi nama "pdb1" [> pdb1:=diff(y(t),t$2)+diff(y(t),t)+y(t)=0; [1. Mencari solusi umum [Mendefinisikan persamaan karakteristik untuk PDB di atas [> pk:=subs(diff(y(t),t$2)=r^2,diff(y(t),t)=r,y(t)=1,pdb1); Jurusan Matematika FMIPA Unand Praktikum PDB Semester Ganjil 2017/2018 Page 1 of 6
[Mencari akar-akar persamaan karakteristik [> sol:=solve(pk,r); [> alpha:=re(sol[1]); [> beta:=im(sol[1]); [Menulis solusi umum untuk kasus akar kompleks [> exp(alpha*t)*(a*cos(beta*t)+b*sin(beta*t)); [Mencari solusi umum persamaan diferensial dengan menggunakan perintah "dsolve" [> sol_umum_pdb1:=dsolve(pdb1); [Perhatikan bahwa dua persaman terakhir sama [2. Memeriksa kebebaslinieran dari dua komponen solusi umum [Pertama, pisahkan kedua komponen solusi umum yang diperoleh di atas [> y1:=coeff(rhs(sol_umum_pdb1),_c1); [> y2:=coeff(rhs(sol_umum_pdb1),_c2); [Kedua, tentukan matriks Wronskian dari y1 dan y2 [Mendefinisikan baris pertama matriks Wronskian [> W1:=[y1,y2]; [Mendefinisikan baris kedua matriks Wronskian [> W2:=diff(W1,t); [Catatan: untuk mendefinisikan sebuah matriks pada Maple, ikuti contoh sintaks berikut: [> Matrix([[1,2,4,4],[3,4,1,1],[1,x,y,0]]); Jurusan Matematika FMIPA Unand Praktikum PDB Semester Ganjil 2017/2018 Page 2 of 6
[Dengan demikian, menggabungkan W1 dan W2 menjadi matriks Wronskian dapat ditulis sebagai berikut: [> W:=Matrix([W1,W2]); [Selain cara di atas, menentukan matriks Wronskian dapat juga langsung menggunakan perintah "Wronskian" dengan [terlebih dahulu mengaktifkan package "VectorCalculus" [> with(vectorcalculus): [> Wronskian(W1,t); [Perhatikan bahwa dua matriks terakhir sama [Selanjutnya cari nilai determinan dari matriks Wronskian di atas dengan terlebih dahulu mengaktifkan package ["LinearAlgebra" [> with(linearalgebra): [> simplify(determinant(w)); [Hasil di atas menunjukkan bahwa determinan matriks Wronskian tidak nol (jelaskan!). [Dengan demikian y1 dan y2 bebas linier atau dikatakan membentuk himpunan fundamental dari solusi-solusi [persamaan diferensial [3. Mencari solusi khusus dan memplotnya [Mendefinisikan syarat awal dan diberi nama "sa1" [> sa1:=y(0)=0,d(y)(0)=1; [Mencari solusi khusus persamaan diferensial dengan menggunakan syarat awal yang diberikan [> sol_khusus_pdb1:=dsolve({pdb1,sa1}); [Mengubah solusi masalah nilai awal di atas menjadi fungsi "y1" [> y1:=unapply(rhs(sol_khusus_pdb1),t); [Memplot fungsi y1(t) [> plot(y1(t),t=0..20); Jurusan Matematika FMIPA Unand Praktikum PDB Semester Ganjil 2017/2018 Page 3 of 6
[Periksa limit fungsi y1(t) untuk t menuju tak-hingga [> limit(y1(t),t=infinity); III. PDB Orde 2 Linier Nonhomogen Silakan ketik perintah berikut dan pahami arti dari sintaksnya. [> restart; [Mendefinisikan PDB orde 2 linier nonhomogen dan diberi nama "pdb2" [> pdb2:=diff(y(t),t$2)+y(t)=cos(t); [1. Mencari solusi homogen [Definisikan terlebih dahulu versi homogen dari "pdb2" [> pdb2homogen:=lhs(pdb2)=0; [Selesaikan dengan menggunakan perintah "dsolve" [> sol_homogen:=dsolve(pdb2homogen); [2. Mencari solusi partikular [Cari solusi partikular dengan cara manual terlebih dahulu (dalam hal ini digunakan metode koefisien tak-tentu). [Karena solusi homogen memuat fungsi yang juga sama bentuknya dengan fungsi nonhomogen, maka pemisalan [untuk solusi partikularnya dapat dicoba dengan mengalikan variabel bebas t [> yp:=a*t*sin(t)+b*t*cos(t); [Substitusikan solusi partikular "yp" di atas ke persamaan "pdb2" [> eq:=eval(subs(y(t)=yp,pdb2)); [Dengan melihat hubungan koefisien, diperoleh 2 persamaan berikut: [> eq1:=coeff(lhs(eq)-rhs(eq),cos(t))=0; [> eq2:=coeff(lhs(eq)-rhs(eq),sin(t))=0; [Selesaikan dua persamaan di atas untuk A dan B Jurusan Matematika FMIPA Unand Praktikum PDB Semester Ganjil 2017/2018 Page 4 of 6
[> sol1:=solve({eq1,eq2},{a,b}); [Untuk mengambil nilai A dan B di atas, dapat menggunakan perintah berikut (perhatikan urutan yang muncul pada ["sol1" di atas): [> A=rhs(sol1[1]);B=rhs(sol1[2]); [Dengan demikian solusi partikular menjadi [> sol_partikular:=subs(a=rhs(sol1[1]),b=rhs(sol1[2]),yp); [3. Menentukan solusi umum [Tulis solusi umum = solusi homogen + solusi partikular [> solusi_umum_pdb2:=rhs(sol_homogen)+sol_partikular; [Tentukan solusi umum dengan menggunakan perintah "dsolve" [> dsolve(pdb2); [Dua persamaan terakhir pada dasarnya sama (jelaskan!). [4. Menentukan solusi khusus dan memplotnya [Definisikan syarat awal [> sa2:=y(0)=1,d(y)(0)=1; [Mencari solusi khusus dengan menggunakan perintah "dsolve" [> solpdb2:=dsolve({pdb2,sa2}); [Mengubah solusi masalah nilai awal di atas menjadi fungsi "y2" [> y2:=unapply(rhs(solpdb2),t); [Memplot fungsi y2(t) [> plot(y2(t),t=0..100); Jurusan Matematika FMIPA Unand Praktikum PDB Semester Ganjil 2017/2018 Page 5 of 6
LATIHAN Carilah solusi masalah nilai awal berikut, kemudian plot solusinya. 1. 2. Jurusan Matematika FMIPA Unand Praktikum PDB Semester Ganjil 2017/2018 Page 6 of 6