MODUL BAB KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi:. Menentukan komposisi dua ungsi dan invers suatu ungsi Kompetensi Dasar. Menentukan komposisi ungsi dari dua ungsi. Menentukan invers suatu ungsi Indikator Menentukan sarat dan aturan ungsi ang dapat dikomposisikan Menentukan ungsi komposisi dari beberapa ungsi. Menebutkan siat-siat komposisi ungsi. Menentukan komponen pembentuk ungsi komposisi apabila ungsi komposisi dan komponen lainna diketahui. Menjelaskan kondisi agar suatu ungsi mempunai invers Menentukan aturan ungsi invers dari suatu ungsi. Menebutkan siat ungsi invers dikaitkan dengan ungsi komposisi. Menentukan ungsi invers dari suatu ungsi. Setelah mempelajari modul ini, kalian diharapakan :. Dapat Menentukan sarat dan aturan ungsi ang dapat dikomposisikan.. Dapat Menentukan ungsi komposisi dari beberapa ungsi.. Dapat Menebutkan siat-siat komposisi ungsi. 4. Dapat Menentukan komponen pembentuk ungsi komposisi apabila ungsi komposisi dan komponen lainna diketahui.. Dapat Menjelaskan kondisi agar suatu ungsi mempunai invers. 6. Dapat Menentukan aturan ungsi invers dari suatu ungsi. 7. Dapat Menebutkan siat ungsi invers dikaitkan dengan ungsi komposisi. 8. Dapat Menentukan ungsi invers dari suatu ungsi. A. Pengertian relasi antara anggota dua himpunan Relasi hubungan dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalna, A = {,,, 4} dan B = {4,, 6, 7}. Antara anggota himpunan A dan B ada relasi tiga kurangna dari. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram sbb: Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinatakan sebagai himpunan pasangan berurutan sebagai berikut: {,4,,,,6, 4, 7} Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinatakan dengan menggunakan rumus. Misalna anggota A dinatakan dengan, maka pasanganna ialah anggota B dirumuskan: = +
B. Pengertian ungsi dan pemetaan Perhatikan diagram panah berikut. 4 Pada gambar, dan 4 setiap anggota himpunan A mempunai pasangan tepat satu anggota himpunan B. Relasi ang memiliki ciri seperti itu disebut ungsi atau pemetaan. Pada gambar bukan ungsi karena ada anggota A ang puna pasangan lebih dari satu anggota B. Deinisi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut ungsi atau pemetaaan, jika dan hana jika setiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat dengan satu unsur dalam himpunan B. Latihan: Relasi dari himpunan A = {a, b, c, d} ke himpunan B = {p, q, r, s} ang disajikan dalam diagram panah berikut, mana ang merupakan ungsi?..
. 6.. 7. 4. 8. Misalkan adalah suatu ungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka ungsi dilambangkan dengan: : A B
Jika A dan B sehingga pasangan berurut,, maka disebut peta atau baangan dari oleh ungsi. Peta atau baangan ini dinaatakan dengan seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Jadi, suatu ungi dapat disajikan dengan lambang pemetaan sebagai berikut: : dengan disebut rumus atau aturan ungsi, disebut peubah variabel bebas dan disebut peubah variabel tak bebas. Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan dilambangkan dengan D. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan dilambangkan dengan K. Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil range dan dilambangkan dengan R. Contoh: A = {,,, 4} dan B = {, 7, 9, 0,, } : A B dimana = + Diagram panahna sbb: Domainna adalah A = {,,, 4}. Kodomainna adalah B = {, 7, 9, 0,, } Rangena adalah C = {, 7, 9, } Jadi Rr K, tetapi dapat juga R K B. Fungsi Komposisi Perhatikan contoh berikut: Ada himpunan aitu, A = {,, 4, }, B = {, 7, 9, } dan C = {7,, 66, 8}. 4
: A B ditentukan dengan rumus dengan g : B C ditentukan oleh rumus g. Ditunjukkan oleh diagram panah sbb: Jika h ungsi dari A ke C sehinnga: peta dari adalah 7 peta dari adalah peta dari 4 adalah 66 peta dari adalah 8 dan diagaram panahna menjadi, ungsi dari h dari A ke C disebut ungsi komposisi dari g dan ditulis h g. Secara umum: h g atau Deinisi: Misalkan ungsi : A B ditentukan dengan rumus g : B C ditentukan dengan rumus g
Fungsi komposisi g dan ditentukan dengan autan: h g g o dibaca komposisi atau bundaran Perhatikan bahwa dalam ungsi komposisi g g ditentukan dengan pengerjaan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan pengerjaan oleh g. Perhatikan contoh berikut. Contoh:. Diketahui = + dan g =. Tentukan: a. o g b. g o Jawab: a. o g = g = = + = 4 + 9 + = 4 + 0 b. g o = g = g + = + = - Ternata, g g. Jadi pada komposisi ungsi tidak berlaku siat komutati.. Diketahui : R R dan g : R R ditentukan oleh = + dan o g = + 6 + 7, maka tentukan g! Jawab : = + o g = + 6 + 7 g = + 6 + 7 g + = + 6 + 7 g = + 6 + 4. Diketahui : R R dan g : R R ditentukan oleh = + 4 dan g o = 4 + + 6, maka tentukan g. Jawab : g o = 4 + + 6 g = 4 + + 6 g + 4 = 4 + + 6 6
Misal: + 4 = p, maka p 4 p p 4 gp = 4 + + 6 4 gp = p 8p + 6 + 6p 4 + 6 gp = p p Maka: g = Cara lain: g g g 4 4 Jadi, g 4 6 4 C. Fungsi Invers. Pengertian Invers Misalkan ungsi dari himpunan A ke B ang dinatakan dengan diagram panah sbb: sehingga diperoleh himpunan pasangan berurutan: :{ a, b a A dan b B} Kalau diadakan pengubahan domain menjadi kodomain dan kodomaian menjadi domaian, maka diagram panahna menjadi dan himpunan pasangan berurutanna menjadi { b, a bb dan a A} Relasi ang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut invers ungsi dan dilambangkan dengan 7
Deinisi: Jika ungsi : A B dinatakan dengan pasangan berurutan :{ a, b a A dan bb} maka invers ungsi adalah : B A ditentukan oleh dan a A} { b, a b B Apakah invers suatu ungsi juga merupakan ungsi? Untuk jelasna perhatikan diagram panah berikut. Tampak bahwa ang inversna juga merupakan ungsi hana pada gambar. Jika invers suatu ungsi merupakan ungsi, maka invers ungsi itu disebut ungsi invers.. Menentukan Rumus Fungsi Invers Perhatikan diagram panah berikut. 8
9 adalah peta dari oleh ungsi, sehingga pemetaan oleh ungsi dapat dinaatakan dengan persamaan: Kalau - adalah invers dari ungsi maka adalah peta dari oleh ungsi - sehingga diperoleh persamaan: Selanjutna peubah diganti dengan dan peubah diganti dengan. Contoh:. Tentukan rumus ungsi invers dari ungsi 6! Jawab: 6 6 Dengan demikian atau Contoh: Tentukan rumus ungsi invers dari ungsi, Jawab: Jadi ungsi invers dari ungsi, adalah
. Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi Misalkan h adalah ungsi komposisi ang dapat dibentuk dari ungsi dan ungsi g. Fungsi h kemungkinanna adalah... ii h = og ii h = go Diagram panahna sbb: i Jadi g g ii 0
Jadi g g Contoh: Misalkan : R R dan g : R R ditentukan dengan rumus dan g. Tentukan g Jawab: Cara : Dicari g terlebih dahulu selanjutna dicari g g g Jadi g Cara : Dicari dan g selanjutna menggunakan rumus g g g g
g g g Contoh: Fungsi-ungsi dan g ditentukan dengan rumus: dan 4 g Carilah! g Jawab; g g 4 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 6 8 Jadi 6 8 g
UJI KOMPETENSI. Diketahui 6 4, maka... A. + 4 B. 4 C. + 6 D. 6 E. +. Diketahui 4 maka... A. - B. - C. D. E.. Daerah hasil range dari ungsi : R R dimana 8 adalah... A. { 8, R} B. { 8, R} C. { 9, R} D. { 8, R} E. { 9, R} 4. Jika dan g maka g... A. -7 B. -6 C. - D. -4 E. -. Jika dan g maka g... A. - B. 0 C. D. / E. 9/ 6. Jika dan g 4 maka g... A. 6 B. 6 C. 8 D. E.
7. Jika maka... A. -/ B. -/ C. D. / E. / 8. Jika 7 maka... A. + B. - C. + D. /7 + E. /7 + 9. Jika dan g 6 0 maka g... A. + 9 B. 9 C. / 9 D. / + 0 E. / - 0 0. Jika g 0 8 dan g 4 maka... A. + 9 B. + C. 0 D. E. 7 4
KUNCI UJI KOMPETENSI. Diketahui 6 4, maka... A. + 4 B. 4 C. + 6 D. 6 E. +. Diketahui 4 maka... A. - B. - C. D. E.. Daerah hasil range dari ungsi : R R dimana 8 adalah... A. { 8, R} B. { 8, R} C. { 9, R} D. { 8, R} E. { 9, R} 4. Jika dan g maka g... A. -7 B. -6 C. - D. -4 E. -. Jika dan g maka g... A. - B. 0 C. D. / E. 9/ 6. Jika dan g 4 maka g... A. 6 B. 6 C. 8 D. E.
7. Jika maka... A. -/ B. -/ C. D. / E. / 8. Jika 7 maka... A. + B. - C. + D. /7 + E. /7 + 9. Jika dan g 6 0 maka g... A. + 9 B. 9 C. / 9 D. / + 0 E. / - 0 0. Jika g 0 8 dan g 4 maka... A. + 9 B. + C. 0 D. E. 7 6