Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne enyelesaan rogram Gol Menggunakan Metoe Smple Mofkas an Metoe Dual Smpleks Elfra Saftr, M D H Gamal, Habbs Saleh Jurusan Matematka, Fakultas Sans an Teknolog, UIN Sultan Syarf Kasm Rau Jl HR Soebrantas No 55 Smpang aru, anam, ekanbaru, 89 elfrasaftr@yahooom, Jurusan Matematka, FMIA, Unverstas Rau, ekanbaru 89 mhgamal@unra, rhabbssaleh@gmalom ASTRAK Salah satu teknk pentng alam optmsas yang suah kembangkan aalah program gol aa tulsan n bahas ua metoe untuk menyelesakan program gol yatu metoe smple yang mofkas an metoe ual smple Dar keua metoe n tampak bahwa aa perbeaan alam proses pvotng yatu alam menentukan varabel masuk an varabel keluar bass aa peneltan n, penuls sekt memofkas paa langkah keenam untuk metoe ual smple ar Shneerans an Kwak [Journal of the Operatonal Researh Soety, (98): 7-5] yatu melakukan elmnas Gauss-Joran untuk memperbaharu tabel baru erasarkan ontoh yang kerakan metoe smple yang mofkas menunukkan teras yang semakn banyak serng engan semakn banyak fungs tuuan an varabel keputusan Seangkan metoe ual smple seara umum menghaslkan teras yang sama Kata Kun: metoe ual smple, metoe smple yang mofkas, program gol ASTRACT One mportant optmzaton tehnque that has been evelope s a goal programmng Ths paper stues two methos to solve goal programmng, e a mofe smple metho an ual smple metho From both of these methos seem that there s a fferene n the pvotng proess, namely the etermnaton of varablet enterng an leavng the bases In ths paper, the authors mofy at the sth step to the ual smple metho of Shneerans an Kwak [Journal of the Operatonal Researh Soety, (98): 7-5] by performng Gauss-Joran to upate the new table ase on the eamples one the mofe smple metho tens to have more teratons as the number of obetve funton an eson varable nrease Generally, the ual smple metho proues the same number of teratons Keywors: ual smple metho, a mofe smple metho, goal programmng enahuluan Algortma smple untuk menyelesakan masalah pemrograman lner awalnya kembangkan oleh Dantzg [] an kemuan mofkas oleh Lee [5] Dalam upaya untuk mengurang waktu komputas untuk menar solus masalah program lner, Shneerans an Kwak [6] mengembangkan metoe smple alternatf yang asarkan paa metoe oumol s smple Metoe ual smple n menghlangkan hngga satu setengah ar kolom penympangan tabel smple erasarkan algortma Dantzg [], metoe pemrograman telah banyak berevolus untuk memeahkan masalah pemrograman yang unk Metoe solus program gol yang palng umum gunakan perkenalkan oleh Lee [5] an Ignzo [] berasarkan metoe smple Dantzg (Arthur an Ravnran [] an Shneerans an Kwak [7]) Keua metoe memerlukan kolom tabel smple untuk varabel penympangan postf an negatf erasarkan peneltan Olson [6], telah peroleh bahwa metoe ual smple menghaslkan teras yang lebh sekt banngkan engan metoe smple yang mofkas Kemuan 0
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne peneltan Shneerans an Kwak [7], menympulkan metoe ual smple rata-rata menghaslkan teras yang sama aa peneltan sebelumnya, Shneerans an Kwak [7] paa Langkah keenam metoe ual smple untuk memperbaharu tabel baru lakukan perkalan ar ua elemen suut, seangkan penuls memofkas Langkah keenam metoe ual smple, yatu melakukan operas Gauss-Joran untuk memperbaharu tabel baru eneltan n bertuuan untuk mengetahu perbanngan hasl ar metoe smple yang mofkas an metoe ual smple untuk menyelesakan program gol Metoe an ahan eneltan Metoe yang gunakan alam peneltan aalah stu lteratur engan mempelaar berbaga sumber yang berhubungan engan pokok permasalahan yang akan bahas Aapun metoe yang gunakan alam peneltan n aalah metoe smple yang mofkas an metoe ual smple Metoe Smpe yang Dmofkas Dalam tabel smple yang mofkas untuk program gol, varabel moel tempatkan palng atas, mula engan kolom varabel-varabel keputusan, varabel-varabel penympangan negatf an varabel-varabel penympangan postf Langkah-langkah penyelesaan metoe smple yang mofkas sebaga berkut: Menetapkan tabel awal menggunakan varabel-varabel penympangan untuk permulaan varabel-varabel solus asar yang layak Htung bars z Tentukan varabel masuk (masukkan varabel non-bass) engan memlh kolom yang mempunya nla postf maksmum paa prortas tertngg Menentukan varabel keluar (varabel yang gant) engan membag nla kolom ruas kanan engan nla kolom pemutar an memlh bars engan nla postf mnmum atau nol Htung nla varabel keluar baru engan formula: nla varabel keluar lama Nla bars tabel varabel masuk baru angka varabel masuk 5 Htung semua nla bars lannya engan menggunakan formula: ars baru bars lama - (koefsen varabel masuk nla varabel keluar tabel baru) 6 Htung bars z yang baru 7 Tentukan apakah hasl suah memuaskan engan mengu z Jka tak aa nla postf terlhat paa tap tngkat prortas, atau apabla terapat nla postf engan nla negatf engan prortas yang lebh tngg, solus telah terapa Jka kons n tak terapa kembal ke Langkah an ulang smple yang mofkas [9] Metoe Dual Smple Jens ar program gol yang bahas paa paper n apat sebut sebaga prortas preemptf terbobot program gol yang moel berkan sebaga berkut (Shneerans an Kwak [7]): m mn z w ( ) () kenala an n a b,,,m
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne,, 0;,,, m ;,, n, entuk umum ar program gol mena tabel awal smple mula engan ara yang sama engan masalah tabel program lner ertama, kenala tuuan yang akan mena varabel bass aalah penympangan postf rumuskan engan stlah varabel : b n a Tabel menyakan tabel awal untuk moel umum ;,,, m () Tabel : Tabel Awal untuk Moel Umum () () () () (5) () ass m () () rortas obot w w m z 0 0 w wm a a n a an RHS m w b b b a a b w m m m ars memuat tabel label varabel keputusan Koefsen varabel keputusan m mn m an varabel penympangan negatf a tempatkan paa kolom, matrks enttas tempatkan paa kolom mewakl varabel penympangan negatf an nla ruas kanan b tempatkan paa kolom 5 Kolom memuat prortas an bobot w untuk masng-masng varabel penympangan postf (yatu varabel bass), termasuk varabel buatan ar varabel penympangan postf yang tamplkan paa kolom ars, kolom 5 paa tabel memuat nla yang sebut total penympangan absolut yang mewakl umlah ar total penympangan untuk semua tuuan ar masng-masng tabel hasl proses teras ars, kolom vektor bars nol yang mewakl ar semua varabel keputusan paa proses komputas ars, kolom aftar bobot w yang sesua engan varabel penympangan negatf Langkah-Langkah penyelesaan metoe ual smple sebaga berkut: Menentukan varabel untuk keluar ar solus bass In apa engan memlh varabel engan prortas tertngg ( 0 n ) Ketka ua atau lebh varabel memlk rangkng prortas yang sama, varabel yang engan bobot terbesar menentukan varabel yang akan plh pertama Ketka ua atau lebh varabel memlk tngkat prortas bobot yang sama, plh varabel yang memlk nla ruas kanan negatf terbesar gunakan sebaga krtera seleks Menentukan varabel masuk ar solus bass In apa engan memlh koefsen terbesar paa bars pvot Menetapkan kerangka kera untuk tabel baru engan menukarkan varabel paa bars pvot an kolom pvot aa tabel baru, elemen baru yang sesua engan elemen pvot temukan engan mengambl kebalkan ar elemen pvot Semua elemen lan bars temukan engan membag elemen bars pvot engan elemen pvot an mengubah tana yang haslkan 5 Htung semua nla bars lannya engan menggunakan formula:
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne ars baru bars lama - (koefsen kolom pvot nla bars pvot tabel baru) 6 Menentukan total evas engan rumus: z w b () 7 Memerksa untuk melhat solus optmal Solus suah optmal ka varabel semuanya postf, ka satu atau lebh ar varabel bass negatf, ulang Langkah -8 Jka semua varabel bass postf tetap prortas preemptf tak memuaskan, solus tak optmal Lanutkan ke Langkah 9 8 Menentukan varabel keluar ar solus bass In lakukan engan memlh elemen postf terbesar paa kolom engan tngkat prortas tertngg Elemen pvot berasal ar bars pvot 9 Menentukan varabel masuk ar solus bass In lakukan engan memlh kolom yang memlk raso terkel haslkan ketka koefsen negatf paa bars pvot bag mena elemen postf engan mengubah tana yang haslkan Varabel n sebut kolom pvot Ulang Langkah -8 0 Solus suah optmal ka varabel bass semua bernla postf an satu atau lebh ar bars fungs obektf memlk tana negatf Metoe Smple yang Dmofkas Hasl an embahasan Contoh : Untuk pemakaan metoe smple yang mofkas, bahas ontoh soal ar Taha [8, hal 6] Langkah-langkah penyelesaan sebaga berkut: Langkah : Konverskan ke alam bentuk stanar mn z () kenala 00 000 00 00 00 50 800 500 000 s 5000,, 0;,;, Tabel menyakan tabel awal ar metoe smple yang mofkas Tabel : Tabel awal smple yang mofkas 0 0 0 0 0 0 v s RHS 00 0 0 0 0 0 0 000 00 00 0 0 0 0 0 00 Raso 0 50 0 0 0 0 0 800 0 s 500 000 0 0 0 0 0 0 5000 5 z 0 50 0 0 0 0 0 0 00
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne 00 800 0 0 0 0 0 0 800 00 0 0 0 0 0 0 0 000 Langkah : Menentukan varabel masuk Varabel masuk tentukan engan memlh paa bars prortas tertngg engan nla postf z maksmum yatu paa kolom Langkah : Menentukan varabel keluar Varabel keluar tentukan engan membag nla ruas kanan engan nla-nla varabel masuk an memlh nla postf terkel yatu paa bars Langkah : Melakukan operas Gauss-Joran untuk memperbaharu tabel baru (lhat Tabel ) Langkah 5: Htung bars z baru z erkut peroleh solus optmal paa teras terakhr yang sakan paa Tabel Tabel : Tabel teras ketga smple yang mofkas 0 0 0 0 0 0 v 0 0 RHS s 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 6 0 0 6 0 0 75 0 s 0 0 0 5 0 0 5 0 0 00 0 0 0 6 0 0 0 6 0 0 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dar Tabel, karena nla paa bars an negatf maka tuuan-tuuan paa prortas n terpenuh Akan tetap, paa bars z mash aa yang bernla postf maka korbankan Sehngga peroleh hasl optmal sebaga berkut: 5, 5, 75, 00, 0 an z 75 Contoh : Untuk pemakaan metoe smple yang mofkas, bahas ontoh soal ar Hller [, hal 7] Langkah-langkah penyelesaan sebaga berkut: Langkah : Konverskan ke alam bentuk stanar 5 mn z (5) kenala 9 5 5 0 5 5 7 8 55
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne,, 0;,,;,, Tabel menyakan tabel awal ar metoe smple yang mofkas z 0 Tabel : Tabel awal smple yang mofkas 0 0 0 5 0 0 v RHS Raso 9 5 0 0 0 0 5 8 5 0 0 0 0 0 0 5 7 8 0 0 0 0 55 6 875 0 0 0 0 0 0 0 0 65 0 6 0 0 0 0 6 0 60 60 5 75 0 0 0 5 0 0 0 Langkah : Menentukan varabel masuk Varabel masuk tentukan engan memlh paa bars prortas tertngg engan nla postf z maksmum, yatu paa kolom Langkah : Menentukan varabel keluar Varabel keluar tentukan engan membag nla ruas kanan engan nla nla varabel masuk an memlh nla postf terkel, yatu paa bars Langkah : Melakukan operas Gauss-Joran untuk memperbaharu tabel baru ( lhat Tabel 5) Langkah 5: Htung bars z baru erkut peroleh solus optmal paa teras terakhr yang sakan paa Tabel 5 z 0 Tabel 5: Tabel teras keempat smple yang mofkas 0 0 0 v 0 0 0 RHS Raso 9 5 0 0 0 0 5 8 5 0 0 0 0 0 0 5 7 8 0 0 0 0 50 6 875 0 0 0 0 0 0 0 0 65 0 6 0 0 0 0 6 0 60 60 5 75 5 0 0 0 0 0 0 Dar Tabel 5, karena semua nla paa bars an z negatf atau nol berart tuuan suah terpenuh Tetap paa mash aa yang bernla postf, maka prortas keua korbankan Sehngga peroleh hasl optmal aalah 8, 0, 67, 0, 8 an z 666 5
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne Metoe Dual Smpleks Contoh : Untuk pemakaan metoe ual smple, bahas ontoh soal ar Taha [8, hal 6]: kenala mn z (6) 500 000 00 5000 000 00 00 50 800 00,, 0;,;, Langkah pertama yang harus lakukan aalah mengubah ke alam bentuk stanar entuk ual ar program gol atas sebaga berkut: mn z (7) kenala 500 000 s 5000 00 000 00 000 00 00 00 00 00 00 50 800 50 800,, 0;,;, Setelah konverskan ke alam bentuk ual, selanutnya akan tentukan varabel bass an varabel non-bass Untuk metoe ual smple yang mena varabel bass aalah, an Seangkan varabel non-bass aalah,,,, an s Setelah tentukan varabel bass an non-bass, kemuan elemen-elemen paa persamaan (7) masukkan ke alam tabel awal smpleks Tabel 6 menyakan tabel awal ar metoe ual smple Tabel 6: Tabel awal metoe ual smple s W z 0 0 0 0 0 000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 0 0 0 800 0 50 0 0 0 s 5000 500 000 0 0 0 elemen pvot Langkah : Langkah : Menentukan varabel yang akan keluar bass In lakukan engan memlh nla ruas kanan yang palng negatf ketka ua atau lebh varabel memlk tngkat prortas bobot yang sama Ja, varabel keluar bass Menentukan varabel yang akan masuk bass 6
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne In lakukan engan memlh koefsen terbesar paa bars pvot Ja, varabel masuk bass Langkah : Menetapkan kerangka kera baru untuk tabel baru engan menukarkan varabel paa bars pvot an kolom pvot (lhat Tabel 7) Langkah : Elemen baru yang sesua engan elemen pvot temukan engan mengambl kebalkannya Semua elemen lan bars temukan engan membag elemen bars pvot engan elemen pvot an mengubah tana Langkah 5: Menentukan elemen baru yang sesua engan elemen alam kolom pvot Elemen n temukan engan membag elemen kolom pvot engan elemen pvot Langkah 6: Melakukan operas Gauss-Joran untuk memperbaharu tabel baru (lhat Tabel 7) Langkah 7: Menentukan total evas z 0( 000) 0( 00) 0(800) 0 0 erkut peroleh solus optmal paa teras terakhr yang sakan paa Tabel 7 Tabel 7: Tabel teras keempat metoe ual smple s s 0 0 0 W 75 0 65 0 08 75 5 0 005 0 0 005 0 0 0 5 0 005 0 000 0 005 0 0 0 000 75 0 65 0 08 0 65 0 0 08 00 0 5 0 0 5 0 0 erasarkan Tabel 7, karena semua varabel bass semua bernla postf an satu ar bars fungs obektf memlk tana negatf, maka solus optmal Sehngga peroleh 5, 5, 0, 00, 75 an z 75 Contoh : Untuk pemakaan metoe ual smple, bahas ontoh soal ar Hller [, hal 7]: kenala 5 mn z (8) 9 5 5 5 7 8 0 55 5,, 0;,,;,, Langkah pertama yang harus lakukan aalah mengubah ke alam bentuk stanar erkut bentuk ual ar program gol atas: 5 mn z (9) kenala 9 5 5 9 5 5 5 0 0 5 7
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne 5 5 7 8 55 7 8 55,, 0;,, ;,, Setelah konverskan ke bentuk ual, selanutnya akan tentukan varabel bass an varabel non-bass Untuk metoe ual smple yang mena varabel bass aalah, an Seangkan varabel non-bass aalah,,,, an Setelah tentukan varabel bass an non-bass, kemuan elemen-elemen paa persamaan (9) masukkan ke alam tabel awal smple Tabel 8 menyakan tabel awal ar metoe ual smple Langkah : Langkah : Langkah : Langkah : Langkah 5: Tabel 8: Tabel awal metoe ual smple W z 5 0 0 0 5 0 0 5 9 5 0 0 0 0 5 0 0 55 5 7 8 0 0 elemen pvot Menentukan varabel yang akan keluar bass In lakukan engan memlh bobot terbesar ketka ua atau lebh varabel memlk rangkng prortas yang sama Ja, varabel keluar bass Menentukan varabel yang akan masuk bass In lakukan engan memlh koefsen terbesar paa bars pvot Ja, varabel masuk bass Menetapkan kerangka kera baru untuk tabel baru engan menukarkan varabel paa bars pvot an kolom pvot (lhat Tabel 9) Elemen baru yang sesua engan elemen pvot temukan engan mengambl kebalkannya Semua elemen lan bars temukan engan membag elemen bars pvot engan elemen pvot an mengubah tana Menentukan elemen baru yang sesua engan elemen alam kolom pvot Elemen n temukan engan membag elemen kolom pvot engan elemen pvot Langkah 6: Melakukan operas Gauss-Joran untuk memperbaharu tabel baru (lhat Tabel 9) Langkah 7: Menentukan total evas z 0( 5) ( 0) ( 55) 5 5 erkut peroleh solus optmal paa teras terakhr yang sakan paa Tabel 9 Tabel 9: Tabel teras keempat metoe ual smple W z 6 66 0 5 0 8 9 0 95 0 95 0 778 9 8 0 7 57 0 8 0 8 0 56 0 7 67 0 57 85 0 0 0 0 57 8
Jurnal Sans Matematka an Statstka, Vol, No, Januar 07 ISSN 69-90 prnt/issn 07-099 onlne erasarkan Tabel 9, karena semua varabel bass semua bernla postf an prortas preemptf memuaskan yatu paa tngkat prortas keua, maka solus suah optmal Sehngga peroleh 8, 0, 67, 0, 0, 8, 0 an z 666 Kesmpulan eneltan tentang metoe program gol yang usulkan telah menunukkan bahwa metoe ual smple menghaslkan umlah teras yang sama untuk memeahkan masalah aa paper n, untuk menyelesakan metoe ual smple, penuls memofkas paa Langkah keenam yatu melakukan elmnas Gauss-Joran untuk meperbaharu tabel baru erasarkan hasl komputas menunukkan bahwa metoe ual smple menghaslkan teras yang sama untuk ontoh Hller (990) erasarkan Contoh yang kerakan bahwa untuk metoe smple yang mofkas menunukkan semakn banyak fungs tuuan an varabel keputusan maka teras yang haslkan semakn banyak Seara umum, metoe ual smple menghaslkan umlah teras sama Akan tetap, paa ontoh yang selesakan bahwa metoe ual menghaslkan teras lebh banyak banngkan metoe smple yang mofkas Rngkasan ar hasl ua ontoh yang selesakan sakan alam Tabel 0 Tabel 0: Tabel rngkasan hasl Sumber Jumlah Jumlah Jumlah Iteras Varabel Tuuan MSM MDS Taha (00) Hller (990) Keterangan: MSM : Metoe smple yang mofkas MDS : Metoe ual smple Daftar ustaka [] Arthur J L an A Ravnran An Effent Goal rogrammng Algorthm Usng Constrant arttonng an Varable Elmnaton Management Sene, Vol : 867-87 978 [] Dantzg, G rogrammng A Lnear Struture Comptroller Unte Ar Fore, Washngton, D C 98 [] Hller, F S an Lberman, G J engantar Rset Operas, Jl, Ter ar Introuton to Operatons Researh, oleh S Ellen G an Mula, A W enerbt Erlangga, Jakarta 990 [] Ignzo, J Introuton to Lnear Goal rogrammng Sage ublaton, Calforna 98 [5] Lee, S M Goal rogrammng for Deson Analyss Auerbah, hlaelpha 97 [6] Olson, D L Comparson of Four Goal rogrammng Algorthms Journal of the Operatonal Researh Soety, 5: 7-5 98 [7] Shneerans, M J an N K Kwak, An Alternatve Soluton Metho for Goal rogrammng roblems: A Tutoral Journal of the Operatonal Researh Soety, : 7-5 98 [8] Taha, HA Operataons Researh: An Introuton, Seven E New Jersey, rente-hall 00 [9] Taylor, W Sans Manaemen: enekatan Matematka Untuk sns, Ter Dar ntrouton to management sene, oleh Chaerul D D an Vra Slvra enerbt Salemba Empat, Jakarta 00 9