VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN INSTITUT SAINS DAN TEKNOLOGI NASIONAL Jakarta 2012
KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan limpahan rahmat-nya maka penulis dapat menyelesaikan sebuah karya tulis dengan tepat waktu. Berikut ini penulis mempersembahkan sebuah makalah dengan judul "Vektor", yang menurut penulis dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita untuk mempelajari ilmu teknik sipil, khususnya ilmu tentang Matematika Teknik. Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan memohon permakluman bilamana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang penulis buat kurang tepat. Dengan ini saya mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat. Jakarta, 25 Mei 2013 Penulis
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada tahun 1827 Mobius mempublikasikan Der Barycentrische Calcul, sebuah buku geometri yang mengkaji transformasi garis dan irisan kerucut. Fitur baru dalam hasil karya ini adalah pengenalan koordinat barycentric. Diberikan sembarang segitiga ABC maka jika garis berat a, b, dan c berturut-turut dilukis pada A, B, dan C maka dapat ditentukan sebuah titik P, yaitu titik berat segitiga. Mobius memperlihatkan bahwa setiap titik P pada bidang datar ditentukan oleh koordinat homogen [a,b,c]. Garis garis berat yang diperlukan diletakkan pada A,B, dan C untuk menentukan titik berat P. Yang terpenting disini adalah pandangan Mobius tentang besaran berarah, sebuah pemunculan awal mengenai konsep vektor. Pada tahun 1837 Mobius mempublikasikan buku tentang statika di mana ia secara gamblang menyatakan idenya tentang penyelesaian masalah besaran vektor bersama dengan dua sumbu koordinat. Di antara dua hasil karya Monius ini, sebuah karya tentang geometri oleh Bellavitis dipublikasikan tahun 1832 yang juga membahas besaran yang merupakan vektor. Odjek dasarnya adalah segmen garis AB dan ia memandang AB dan BA sebagai dua objek yang berbeda. Ia mendefinisikan dua segmen garis sebagai equipollent jika keduanya sama panjang dan paralel. Dalam notasi modern, dua segmen garis adalah equipollent jika keduanya mewakili dua vektor
yang sama. Dengan demikian, Vektor merupakan pengetahuan yang sangat penting. Hal itulah yang melatar belakangi kami untuk menyusun makalah ini, agar nantinya dapat memahami dan mengaplikasikannya di kehidupan sehari-hari. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat dirumuskan masalah sebagai berikut : 1. Apakah pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor? 2. Bagaimana menyatakan besaran vektor secara grafis (Penggambaran Vektor)? 3. Apakah yang disebut dengan kesamaan 2 vektor? 4. Bagaimana cara menjumlahkan vektor? 5. Apakah yang disebut dengan komponen sebuah vektor? 6. Bagaimana mengoperasikan perkalian dalam vektor? 1.3 Tujuan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah : 1. Untuk mengetahui pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor 2. Untuk mengetahui cara penggambaran vektor 3. Untuk mengetahui kesamaan 2 vektor 4. Untuk mengetahui jenis-jenis vektor 5. Untuk mengetahui cara penjumlahan dan perkalian vector 6. Untuk mengetahui komponen sebuah vector
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Besaran Vektor dan Besaran Skalar Besaran-besaran Fisis ditinjau dari pengaruh arah terhadap besaran tersebut dapat dikelompokkan menjadi : 2.1.1. Besaran Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, contohnya: perpindahan, kecepatan, gaya dan percepatan. Vektor dinotasikan dengan sebuah huruf dengan anak panah diatasnya misal A, atau dicetak dengan huruf tebal misal A atau yang lain sesuai perjanjian (pada tulisan ini digunakan huruf biasa tanpa anak panah dan tidak dicetak tebal). Besar vektor A dinyatakan dengan A atau A. Vektor A dapat pula dinyatakan dengan OP dan besarnya adalah OP. Vektor dalam kehidupan sehari-hari salah satu contohnya adalah gaya dan kecepatan. Sedangkan skalar dalam kehidupan sehari-hari dicontohkan dengan jarak/ panjang, luas, isi dan temperatur. Besaran vektor perlu melibatkan arah (direction) di samping besar (magnitude).
2.1.2. Besaran Skalar Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah. Contoh besaran adalah: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil. Skalar dinyatakan dengan huruf biasa seperti dalam aljabar elementer. Operasi-operasi pada skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya dalam aljabar elementer. Sekali satuannya ditetapkan, besaran skalar sepenuhnya ditentukan oleh ukuran atau besarnya (magnitude) saja. Jadi dapat disimpulkan, 1. Laju sebesar 10 km/j adalah besaran skalar, tetapi 2. Kecepatan sebesar 10 km/j ke utara adalah besaran vektor 2.2. Penggambaran Vektor Suatu besaran vektor secara grafis dapat dinyatakan dengan sebuah garis yang digambarkan sedemikian rupa sehingga : 1. panjang garis, menyatakan besar vektor. 2. arah garis, menyatakan arah vektor, penunjukan arah ini dinyatakan dengan kepala anak panah. B a d
Sebagai contoh, sebuah gaya horizontal sebesar 20 N yang memiliki arah ke kanan dinyatakan dengan garis. Bila dipilih skala vektor 1cm = 10 N, maka panjang garis tersebut haruslah 2cm. 2.3. Kesamaan 2 Vektor Jika 2 buah vektor, ā dan ē, dikatakan sama, maka kedua vektor tersebut memiliki besar dan arah yang sama. Jika ā = ē, maka : 1) a = e (besarnya sama) 2) arah ā = arah ē, yaitu kedua vektor tersebut sejajar dan searah. ā ē Serupa dengan hal tersebut, jika kedua vektor tersebut memiliki hubungan ā = - ē apa yang dapat kita katakan tentang : 1) Besarnya sama 2) Kedua vector sejajar tetapi berlawanan arah. ā ē
2.4. Penjumlahan Vektor A B C Jumlah dari dua vector, A dan B, didefinisikan sebagai vector tunggal atau vector ekuivalen atau vector resultan C. Artinya A+B=C Maka untuk mencari jumlah dari dua vector A dan B, kita gambar vector-vektor ini sebagai suatu rantai, memulai vector yang kedua dari ujung vector pertama; jumlah C diberikan oleh vector tunggal yang menghubungkan pangkal vector pertama dengan ujung vector kedua. 2.5. Komponen Sebuah Vektor Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan dengan AE, maka sembarang vektor PT dapat digantikan dengan sejumlah vektor komponen asalkan komponen- komponen tersebut membentuk rantai diagram vektor yang berpangkal di P dan berakhir di T. Contoh : ABCD adalah sebuah segi empat. Titik G terletak di tengah-tengah DA dan titik H di tengah-tengah BC. Tunjukkanlah bahwa AB + DC = 2GH.
A B G H D C Vektor AB dapat digantikan dengan rangkaian vektor apa saja asalkan dimulai dari A dan berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB = AG + GH + HB. Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga DC = DG + GH + HC. Sehingga kita peroleh : AB = AG + GH + HB DC = DG + GH + HC AB+DC = AG+GH +HB+DG+GH +HC =2HG+ AG+DG +(HB+HC) G adalah titik tengah AD, karena itu vektor AG dan DG sama panjang, tetapi berlawanan arah. DG = AG;HC = HB AB+DC=2GH+ AG AG + HB HB =2GH Latihan : Dalam segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah AB, BC, CA. Tunjukkanlah bahwa : (i) AB+BC+CA=0 (ii) 2AB+3BC+CA=2LC
2.6. Komponen-Komponen vektor dalam suku-suku vektor-vektor satuan Y b r X Vektor OP didefinisikan oleh magnitudonya (r) dan arahnya ( ). Vector ini dapat juga didefinisikan oleh kedua komponennya dalam arah OX dan OY. a Dengan kata lain, OP ekuivalen dengan vektor a dalam arah OX dan vektor b dalam arah OY. Jika kita sekarang mendefinisikan i sebagai vektor satuan dalam arah OX dan j sebagai vektor satuan dalam arah OY, maka a = ai dan b = bj. Jadi vektor OP dapat ditulis sebagai: r = ai + bj 2.7. Vektor dalam Ruang Z P c a o b Y L Vektor OP didefinisikan oleh komponenkomponennya: a di sepanjang OX b di sepanjang OY c di sepanjang OZ X Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ
Maka: OP = ai + bj + ck OL 2 = a 2 + b 2 dan OP 2 = OL 2 + C 2 OP 2 = a 2 + b 2 + c 2 Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r = a 2 + b 2 + c 2 Ini memberikan kita suatu cara yang mudah dalam mencari magnitude suatu vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya. 2.8. Kosinus Arah Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut-sudut yang dibuat oleh vektor dengan ketiga sumbu acuannya. Z P Misalkan; OP = r = ai + bj + ck Maka; a α a r r c a o b Y L b r c r β b r β γ c r γ X Juga a 2 + b 2 + c 2 = r 2 Jika Maka l 2 + m 2 + n 2 =1
2.9. Operasi Perkalian 2.9.1. Hasilkali Skalar dari Dua Vektor A B Jika a dan b merupakan 2 vektor. Hasilkali scalar a dan b didefinisikan sebagai scalar (bilangan) ab cos. Hasilkali scalar ini dinotasikan sebagai a.b (hasil kali titik/perkalian dot). 2.9.2. Hasilkali Vektor dari Dua Vektor Perkalian 2 buah vektor lazim disebut dengan perkalian silang (cross product) dan didefinisikan sebagai vector yang memiliki magnitude ab sin dengan merupakan sudut antara kedua vector yang diketahui tersebut. ΙA x BΙ = AB sin atau dalam
notasi vektor diperoleh : A x B = (Y1Z2 Z1Y2) i + (Z1X2 Z2X1) j + (Y1X2 X1Y2) k Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam perkalian vektor yakni: 1. Perkalian silang bersifat antikomutatif, dimana : A x B B x A ; A x B = -B x A. Dalam vektor satuan, misal i x j = k, maka j x i = -k. 2. Jika 2 vektor saling tegak lurus, sudut apit 90 o maka: ΙA x BΙ = A B Sin α = A B Sin 90 o ; sin 90 o = 1 = A B, dalam vektor satuan dapat ditulis dengan : i x j = k, j x k = i, dan k x i = j. 3. Jika 2 vektor segaris kerja, searah yang membentuk sudut 0 o, ataupun berlawanan yang membentuk sudut 180 o, hasil perkalian silangnya sama dengan nol.
2.10. Sudut antara Dua Vektor Misalkan a merupakan vektor dengan kosinus arah 2.11. Rasio Arah BAB III PENUTUP 3.1. Kesimpulan Berdasarkan uraian di atas, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan, yakni 1. Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, contohnya: perpindahan, kecepatan, gaya dan percepatan. Sedangkan besaran skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah. Contoh besaran adalah: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang bilangan riil. 2. Suatu besaran vektor secara grafis dapat dinyatakan dengan sebuah garis, panjang garis menyatakan besar vektor dan arah garis menyatakan arah vektor (dinyatakan dengan kepala anak panah). 3. Dua buah vektor dikatakan sama, apabila kedua vektor tersebut memiliki besar dan arah yang sama (sejajar dan searah).
4. Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan. Jadi A + B mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B. Dalam operasi penjumlahan berlaku hukum komutatif dan hukum asosiatif. 5. Dalam segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah AB, BC, CA. Tunjukkanlah bahwa : (i) AB+BC+CA=0 (ii) 2AB+3BC+CA=2LC (i) AB+BC+CA=0 Vektor AB dapat digantikan dengan rangkaian vektor apa saja asalkan dimulai dari A dan berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB = AL + BL. Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga BC = BM + CM dan CA = CN + AN. Sehingga kita peroleh : AB = AL +BL BC = BM + CM CA = CN + AN AB+BC+CA = (AL +BL)+( BM + CM)+( CN + AN) L adalah titik tengah AB, karena itu vektor AL dan BL sama panjang, tetapi berlawanan arah. AL = BL ; BM = CM ; CN = AN. Maka dari itu dapat dikatakan, bahwa : (BL BL)+(CM CM)+(AN AN)= 0 (ii) 2AB+3BC+CA=2LC
AB = AL + LB BC = BL + LC CA = CL + AL Sehingga kita peroleh : 2AB + 3BC + CA = (2AL + 2LB) + (3BL + 3LC) + (LC + LA) = 3AL + 5BL + 4LC = 3BL + 5BL + 4LC = 2BL + 4LC = 2 (BL + LC) + 2LC = 2BC + 2LC = 2 (BM + CM) + 2LC = 2 ( CM + CM) + 2LC = 2(0) + 2LC = 2LC 2AB+3BC+CA=2LC 6. Operasi Perkalian 6.1. Perkalian vektor dengan skalar Hasilkali skalar (hasilkali titik) A. B = AB Cos dimana merupakan sudut diantara a dan b. Jika A = A1 i + A2 j + A3 k dan B = B1 i + B2 j + B3 k maka A. B = A1B1 + A2B2 + A3B3
6.2. Perkalian vektor dengan vektor Hasilkali vektor (hasilkali silang) ΙA x BΙ = AB Sin α dalam arah yang tegak lurus terhadap a dan b, sehingga a, b, dan (a x b) membentuk set tangan-kanan. 3.2. Saran-saran Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah perlunya pengaplikasian dari pengetahuan tentang vektor ini di masyarakat luas, untuk memudahkan pekerjaan masyarakat pula tentunya, sehingga secara tidak langsung akan meningkatkan taraf hidup bangsa
DAFTAR PUSTAKA http://en.wikipedia.org/ http://www.math10.com http://www.mathrec.org/vector.html