5 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pembangkitan Data Hipotetik Data dibangkitkan dengan bantuan software Mathematica yaitu dengan cara mencari solusi numerik dari model dinamik dengan memberikan nilai parameter awal sebagai berikut: α =.1 k =.4554 μ =.53 β =.187 v = u =.327 ρ = 1 δ = 27 dan nilai awal sebagai berikut: N = 5 X = 23 Y = 94 Z = 3 Kemudian dari solusi yang diperoleh ditambahkan bilangan antara -1 sampai 1 secara acak sehingga diperoleh tebaran data seperti pada Gambar (4). Langkah-langkah membangun data hipotetik untuk model ini dapat dilihat secara rinci di Lampiran 1. Gambar (4) memperlihatkan tebaran data bangkitan model HIV epidemik. Masingmasing untuk kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t), kelompok HIV positif yang tidak tahu mereka terinfeksi X(t), kelompok HIV positif yang tahu mereka terinfeksi Y(t) dan jumlah kasus AIDS Z(t). Data bangkitan yang diperoleh tersebut dianggap mewakili data pengamatan untuk masing-masing kelompok. Populasi N 5 45 35 3 25 Populasi X 2 1 16 1 Populasi Y 3 25 15 Populasi Z 1 6 Gambar 4 Tebaran data untuk populasi N, X, Y dan Z. Pada Gambar (4) terlihat bahwa tebaran data untuk populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t), menyebar secara acak berada di antara N = 3 sampai N = 33 dalam selang waktu dari t = sampai t =. Tebaran data untuk populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV X(t) mula-mula mengalami penurunan dari X = 23 sampai X = 98, kemudian tebaran data tersebut menyebar secara acak di antara X = 84 sampai X = 81 dalam selang waktu t = 6 sampai t =. Tebaran data untuk kelompok
6 populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif mengalami kenaikan secara pesat dari Y = 94 sampai Y = 325 dalam selang waktu t = sampai t = 32, kemudian tebaran data perlahan menaik dari Y = 327 sampai Y = 329 dalam selang waktu t = 34 sampai t =. Tebaran data jumlah kasus AIDS menaik secara pesat dari Z = 2 sampai Z = 146 dalam selang waktu t = sampai t = 22. Kemudian data mengalami kenaikan secara perlahan dari Z = 148 sampai Z = 151 dalam selang waktu t = 24 sampai t =. 4.2 Pendugaan Parameter Parameter model dinamik ini akan diduga dari segugus data yang sebelumnya telah dibangkitkan. Pada kasus ini jumlah data yang digunakan adalah sebanyak 51 buah data untuk masing-masing kelompok. Parameter yang terdapat pada masingmasing kelompok dapat dirinci sebagai berikut: 1. Kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N) mengandung parameter α, μ, dan δ. 2. Kelompok populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi (X) mengandung parameter α, k, μ, β, dan v. 3. Kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi (Y) mengandung parameter k, μ, dan β. 4. Kelompok populasi jumlah kasus AIDS (Z) mengandung parameter β, u, dan ρ. Langkah-langkah untuk menduga parameter di atas dapat dilihat pada Lampiran 2. Pendugaan parameter dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, yang diimplementasikan dengan bantuan software Mathematica. Fungsi utama yang digunakan yaitu NDSolve yang digunakan untuk menentukan solusi numerik dari sistem persamaan diferiensial pada model epidemik HIV yaitu x = f i ( p, x i ) dan FindMinimum untuk mencari nilai jumlah kuadrat galat yang paling minimum atau paling kecil. Adapun hasil yang diperoleh dari rangkaian proses di atas adalah: ˆ α =.546 kˆ =.45276 ˆ μ =.152954 ˆ β =.9932 vˆ = 19.4691 uˆ =.294526 ˆ ρ = 4.11255 ˆ=27.612 δ Untuk lebih memperjelas perbedaan antara nilai parameter awal dan parameter yang telah berhasil diduga, maka diberikan tabel perbandingan parameter awal dan parameter akhir di bawah ini: Tabel 1 Perbandingan nilai parameter awal dan parameter akhir. Parameter Nilai Awal Nilai Akhir α.1.11 k.4554.4527 μ.53.153 β.187.981 v 19.4691 u.327.2945 ρ 1 4.1126 δ 27 27.612 Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai parameter awal dan parameter hasil dugaan memiliki nilai yang hampir sama kecuali untuk parameter ρ. Selanjutnya, dari hasil pendugaan parameter di atas maka persamaan (4) dapat dibuat menjadi: dn.11nx.153n 27.612 dt = + dx =.11 NX (.4527 +.153 +.981) X + 19.4691 dt (5) dy.4527 X (.153.981) Y dt = + dz.981x.981y.2945z 4.1126 4.1126 dt = + + +
7 Berikut adalah gambar grafik model dinamik epidemk HIV dengan parameter yang sudah diduga.. Populasi N 5 45 35 3 25 Gambar 5 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t). Pada Gambar (5) terlihat bahwa jumlah populasi yang aktif secara seksual atau rentan menurun dengan cepat dari N = 5 sampai N = 17 dalam selang waktu t = sampai t = 2, kemudian menaik dari N = 24 sampai N = 29 dalam selang t = 4 sampai t = 6 dan kemudian konstan di antara N = 32 dalam selang t = 8 sampai t =. Populasi X 2 1 16 1 Gambar 6 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi X(t). Pada Gambar (6) terlihat bahwa jumlah populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV menurun dengan cepat dari X = 23 sampai X = 81 dalam selang waktu t = sampai t = 1. Kemudian jumlah populasi X(t) konstan disekitar X = 82 dari selang t = 12 sampai t =. Populasi Y 3 25 15 Gambar 7 Grafik dengan parameter dugaan untuk kelompok poulasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif Y(t). Pada Gambar (7) terlihat bahwa jumlah populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif menaik secara linear logaritmik dari Y = 94 sampai Y = 327 dalam selang t = sampai t = 42. Kemudian konstan diantara N = 328 dari dalam selang waktu t = 44 sampai t =. Populasi Z 1 6 Gambar 8 Grafik dengan parameter dugaan untuk jumlah kasus AIDS Z(t). Pada Gambar (8) terlihat bahwa jumlah kasus AIDS menaik secara linear logaritmik dari Z = 3 sampai Z = 149 dalam selang t = sampai t = 34. Kemudian konstan di sekitar Z = 15 dalam selang t = 36 sampai t =.
8 Populasi 3 Y (t) Z (t) X (t) N (t) Gambar 9 Gabungan grafik dengan parameter dugaan N(t), X(t), Y(t) dan Z(t). Pada Gambar (9) terlihat bahwa jumlah populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif Y(t) memiliki jumlah yang paling besar, diikuti oleh jumlah kasus AIDS Z(t), kemudian diikuti jumlah populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif X(t) dan yang paling kecil adalah jumlah populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t). Untuk lebih memperjelas hasil yang diperoleh, berikut perbandingan antara data bangkitan dengan model pada persamaan (5) yang telah menggunakan parameter dugaan. Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Gambar (1)-(14) Populasi N 5 45 35 3 25 Gambar 1 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi N(t). Populasi X 2 1 16 1 Gambar 11 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk populasi X(t). Populasi Y 3 25 15 Gambar 12 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan populasi Y(t). Populasi Z 1 6 Gambar 13 Tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan populasi Z(t).
9 P opulasi 3 Gambar 14 Gabungan antara gafik tebaran data dan grafik dengan parameter dugaan untuk N(t), X(t), Y(t), dan Z(t). Terlihat dari Gambar (1), (11), (12) dan (13), pada kolompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N), kelompok populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi (X), kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi (Y), dan kelompok jumlah kasus AIDS (Z), gafik masing-masing kelompok berada di sekitar tebaran data. Juga terdapat sebagian data yang tepat dilalui oleh grafik dengan parameter dugaan tersebut. 4.3 Analisis Akurasi Pendugaan Untuk melihat seberapa besar galat yang diperoleh, dapat ditentukan dari persentase rataan galat mutlak (MAPE), implementasi secara lengkap dapat dilihat di Lampiran 5. Berikut akan ditampilkan tabel analisis persentase rataan galat mutlak untuk setiap state variable. Tabel 2 Nilai MAPE untuk setiap state variable. State Variable MAPE Populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N) 1.615 % Populasi yang tidak tahu.5653 % mereka terinfeksi HIV (X) Jumlah kasus AIDS (Z).3553 % Populasi yang tahu mereka terinfeksi HIV (Y) Y (t) Z (t) X (t) N (t ).2% Nilai MAPE untuk setiap state variable secara berturut-turut dapat dilihat pada Tabel 2. Nilai MAPE yang diperoleh berkisar.-1.62%. Nilai MAPE ini menyatakan seberapa besar persentase penyimpangan data pengamatan terhadap model. Kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N) memiliki persentase MAPE yang paling besar yaitu 1.62%. Ini berarti penyimpangan data pengamtan terhadap model untuk kelompok jumlah kasus AIDS memiliki persentase yang paling besar. Populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif (Y) memiliki MAPE paling kecil yaitu.% yang berarti untuk data populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV positif memiliki rataan penyimpangan mutlak sebesar.% dari model dugaan. Semakin kecil nilai MAPE maka semakin kecil tingkat penyimpangan data terhadap model. Cara lain untuk melihat hasil galat untuk setiap state variable adalah menggunakan diagram kotak (box-plot). Pada Gambar (18) diberikan diagram kotak untuk keempat state variable untuk model epidemik HIV. Selisih Q 3 dan Q 1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data, semakin besar nilainya maka data semakin beragam. Data yang digunakan dalam diagram kotak ini adalah persentase galat mutlak dari masingmasing state variable. 7 6 5 4 3 2 1 N X Z Y Gambar 15 Diagram kotak untuk setiap state variable N, X, Y, dan Z. Untuk lebih memperjelas box-plot di atas, berikut akan diberikan tabel tentang Q 1, Q 2, Q 3, nilai maksimum, nilai minimum dan rataan dari galat untuk setiap state variable. æ
1 Tabel 3 Q 1, Q 2, Q 3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk setiap state variable. State variable Q 1 Q 2 Q 3 Max Min Rataan N.5837% 1.615% 2.1889% 3.8718%.586% 1.4875% X.3268%.5653%.8195% 1.217%.181%.5945% Y.1187%.2%.27%.393%.122%.1835% Z.21%.3553%.4981%.4981%.1%.48% Dari diagram kotak dan tabel di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil parameter dugaan untuk metode kuadrat terkecil secara umum mempunyai tingkat keragaman yang relatif kecil yaitu berkisar antara.58-2.19% untuk populasi yang aktif secara seksual atau rentan (N),.33-.82% untuk populasi yang tidak tahu bahwa mereka terinfeksi HIV (X),.12-.24% untuk populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV (Y), dan.24-.5% untuk jumlah kasus AIDS (Z). Dari diagram kotak juga teridentifikasi adanya sebuah data pencilan (outlier) untuk state variable Z. V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Pendugaan parameter model dinamik dengan metode kuadrat terkecil telah dikaji melalui peminimuman jumlah kuadrat galat. Pendugaan parameter model dinamik ini diimplementasikan pada model epidemik HIV/AIDS dengan bantuan software Mathematica. Dilihat dari nilai parameter awal dan parameter parameter yang sudah berhasil diduga, didapat bahwa tidak ada perbedaan yang terlalu jauh antara kedua parameter tersebut. Dengan kata lain parameter awal dan parameter penduga memiliki nilai yang hampir sama. Nilai MAPE terbesar yang diperoleh yaitu pada kelompok populasi yang aktif secara seksual atau rentan N(t) yaitu 1.62% dan yang terkecil yaitu pada kelompok populasi yang tahu bahwa mereka terinfeksi HIV Y(t) yaitu sebesar.%. 5.2 Saran Tema karya ilmiah ini masih terbuka untuk dikembangkan. Salah satunya adalah pengembangan metode untuk pembandingan dengan menggunakan metode robust. DAFTAR PUSTAKA De Arazoza H et al. 1999. Modeling HIV epidemic under concact tracing-the Cuban case. Journal of Theoretical Medicine 2:267-274. Huber P. 1981. Robust Statistics. Jhon Willey & Sons, New York, 153-199. Gao LQ, Hethcote WH, Lorca M. 1995. Four SEI Endemic Models with Periodicity and Separatrices. Math Biosci. 128:157-184. Lomen D, Mark J. 1988. Differential Equations. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Mathews JH. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Enginering. London: Prentice-Hall. Rice BJ, Mark J. 1994. Ordinary Differential Equations: with Aplications. Ed ke-3. California Pacific Grove. Thornly JHM, Johnson IR. 199. Comparison of Model with Experiment : Model Fitting in Plant and Crop Modelling. Mathematical Approach to Plant and Crop Pysiology. Oxford Univ. Press, Oxford.