(α = 0.01). Jika D i > , maka x i atau pengamatan ke-i dianggap pencilan (i = 1, 2,..., 100). HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 4 karena adanya perbedaan satuan pengukuran antar peubah. 1.. Memastikan tidak adanya pencilan pada data dengan mengidentifikasi adanya pencilan pada data. Pengidentifikasian pencilan dilakukan dengan membandingkan jarak kuadrat Mahalanobis tiap pengamatan D i untuk setiap pengamatan pada matriks data X dengan χ p, 1 α (α =.1). Jika D i > p, 1 α χ, maka x i atau pengamatan ke-i dianggap pencilan (i = 1,,..., 1). t 1 Di = ( x µ ) Σ ( x µ ) µ merupakan vektor nilai tengah X, sedangkan Σ matriks kovarian dari X berdimensi p p.. Penyiapan data simulasi:.1. Membangkitkan peubah acak normal ganda X dengan parameter berbeda dari data contoh atau X N (µ, Σ). Proses pembangkitkan peubah acak tersebut dilakukan dengan algoritma sebagai berikut: a. Membangkitkan Y N(, 1) sebanyak n atau 4 kali. b. Mengulangi langkah a sebanyak p atau 7 kali sehingga diperoleh 7 peubah acak Y berukuran 4 yaitu Y 1, Y,..., Y 7. c. Menentukan nilai µ dan Σ. µ merupakan vektor nilai tengah dan Σ merupakan matriks kovarian berdimensi p p. d. Mencari matriks A yang bersesuaian dengan Σ = AA. Penguraian matriks Σ untuk mendapatkan matriks A dilakukan dengan dekomposisi Cholesky. e. Membangkitkan X N (µ, Σ) dari masing-masing peubah acak Y pada b melalui transformasi x = µ + Ay sehingga diperoleh 7 peubah acak X berukuran 4 yang saling berkorelasi, yaitu X 1, X,..., X 7... Peubah acak X 1, X,..., X 7 membentuk matriks data berdimensi 4 7 yaitu X yang akan dipakai sebagai data pencilan. 3. Penyiapan dataset: Membentuk matriks data yang akan dipakai dengan memberikan beberapa pencilan pada data contoh sebanyak εn dari data contoh. ε adalah proporsi pencilan yang diberikan, yaitu tanpa pencilan (%), 1%, 5%, 1%, dan 15%. Sedangkan n merupakan banyaknya pengamatan. 4. Melakukan identifikasi pencilan pada dataset yang telah dibentuk untuk memastikan proporsi pencilan yang dikandung masing-masing data. Pengolahan data dilakukan dengan software Matlab 7...3(R6a) dan Microsoft Excel 7. Script pembangkitan dan penyiapan data dapat dilihat pada Lampiran. Sedangkan dilakukan menggunakan program Matlab pada situs dan HASIL DAN PEMBAHASAN Karakteristik Data Data contoh merupakan data pengamatan tujuh peubah pencemaran udara dengan rataan masing-masing peubah ditunjukkan pada Tabel 1. Besarnya korelasi antar peubah dapat dilihat pada Lampiran 3. Lampiran 3 menunjukkan bahwa terdapat korelasi yang signifikan antara peubah radiasi panas dan O 3 pada taraf 5%. Hubungan antara radiasi panas dan O 3 bernilai positif (.319) sehingga peningkatan radiasi panas menyebabkan peningkatan O 3, dan sebaliknya. CO memiliki korelasi positif yang signifikan pada taraf 5% terhadap NO, NO, dan O 3. Nilai korelasi antara CO dengan ketiga peubah tersebut masing-masing sebesar.5,.557, dan.411. Selain itu, terdapat pula hubungan yang signifikan antara NO dan HC pada taraf 5% dengan korelasi sebesar.448. Korelasi antara peubah-peubah tersebut tidak besar, tetapi cukup kuat dibuktikan dengan nilai-p yang signifikan pada taraf.5. Tabel 1 Deskripsi Tiap Peubah Indikator Pencemaran Udara Peubah Rataan Standar Deviasi X X X X X X X Plot Quantil Chi-Square pada Gambar 1 menunjukkan pola yang mengikuti garis lurus atau linear sehingga data tersebut dapat dikatakan menyebar normal ganda. Karena

2 5 Tabel Ringkasan Hasil Analisis Komponen Utama pada Berbagai Pencilan Akar Ciri Kumulatif Pencilan Komponen % % % % % % % % % % Determinan Matriks Kovarian Pencilan % 1% 5% 1% 15% Determinan data mendekati normal, proses identifikasi pencilan data contoh dapat dilakukan dengan jarak Mahalanobis. Dengan menggunakan titik kritis χ 7,.1, suatu pengamatan disebut pencilan apabila jarak Mahalanobis terhadap nilai tengah melebihi nilai kritis tersebut. Lampiran 4 menunjukkan bahwa tidak ada pencilan pada data contoh. Hal tersebut dikarenakan semua pengamatan memiliki jarak Mahalanobis tidak melebihi d i (i) χ p((n-i+1/)/n) Gambar 1 Plot Quantil Chi-Square Data Indikator Pencemaran Udara Data contoh yang digunakan merupakan data yang tidak mengandung pencilan. Oleh karena itu, diperlukan data pencilan untuk proses simulasi. Data pencilan dibangkitkan dengan vektor rataan berbeda dari data contoh, yaitu µ = [ 1 1 ]. Sedangkan besarnya korelasi antar peubah dibangkitkan menggunakan korelasi peubah data contoh. Selanjutnya, data dianalisis menggunakan dan. Proses awal sebelum dilakukan dan adalah pengidentifikasian jumlah pencilan pada masing-masing data pada proporsi pencilan berbeda. Lampiran 5 menunjukkan bahwa jarak Mahalanobis D i hanya mampu mengidentifikasi adanya pencilan pada data dengan proporsi pencilan 1%. Pada data pencilan 1%, proporsi pencilan yang teridentifikasi sama dengan persentase pencilan yang diberikan. Pada saat proporsi pencilan ditingkatkan, tidak ada pengamatan teridentifikasi sebagai pencilan. Hal ini dikarenakan pengaruh masking. Adanya pencilan telah merubah vektor nilai tengah dan matriks kovarian data sehingga mempengaruhi perhitungan jarak Mahalanobis. Analisis Komponen Utama Analisis komponen utama dilakukan pada data contoh setelah dilakukan transformasi masing-masing peubah ke normal baku karena adanya perbedaan satuan antar peubah. Hasil analisis komponen utama pada data contoh (pencilan %) menunjukkan bahwa dua komponen utama pertama hanya mampu menerangkan 53.18% keragaman data. Analisis komponen utama dengan menggunakan matriks kovarian sebagai dasar analisis menghasilkan akar ciri pertama sebesar.337 dan mampu menerangkan keragaman data sebesar.3338 atau 33.38%. Komponen utama kedua memiliki nilai akar ciri sebesar dan menghasilkan proporsi keragaman kumulatif sebesar.5318 atau 53.18% keragaman data.

3 6 Tabel 3 Ringkasan Hasil Metode pada Berbagai Pencilan Akar Ciri Kumulatif Pencilan Komponen % % % % % % % % % % Analisis komponen utama pada data dengan pencilan 1% menunjukkan bahwa dua komponen utama pertama telah mampu menerangkan keragaman data sebesar.715 atau 71.5% (Tabel ). Pada data dengan pencilan 5%, proporsi kumulatif data yang mampu diterangkan dua komponen pertama menjadi sebesar 83.88%. kumulatif dua komponen pertama terus meningkat hingga mencapai 87.6% pada pencilan 1% dan 9.8% pada pencilan 15%. kumulatif data yang diterangkan kedua komponen pertama meningkat karena adanya peningkatan akar ciri kedua komponen pertama. Kedua komponen pertama merupakan komponen yang mengandung keragaman data terbesar sehingga akar cirinya terpengaruh besarnya keragaman data. Akar ciri hasil pada data pencilan akan meningkat, meskipun pencilan yang diberikan kecil (1%). Hal tersebut terjadi karena data dengan pencilan memiliki keragaman lebih tinggi daripada data tanpa pencilan. Keragaman data meningkat seiring dengan peningkatan proporsi pencilan sebagaimana ditunjukkan oleh peningkatan determinan matriks kovarian data pada Tabel. Determinan atau keragaman umum merupakan suatu cara menginformasikan semua ragam dan peragam dalam satu bilangan skalar (Johnson 1998). Analisis Komponen Utama Kekar pada data contoh (pencilan %) menghasilkan dua komponen utama pertama yang menerangkan 53.5% keragaman data. Akar ciri komponen pertama bernilai.49 dan memiliki proporsi kumulatif sebesar 33.1%. Komponen kedua memiliki akar ciri sebesar dan menghasilkan proporsi kumulatif sebesar 53.5% keragaman data. Hasil pada Tabel 3 menunjukkan bahwa pada data pencilan 1%, proporsi kumulatif keragaman data yang mampu diterangkan dua komponen pertama sebesar 57.1%. Pada data dengan pencilan 5%, dua komponen pertama menerangkan 5.56% keragaman data. kumulatif data yang diterangkan oleh dua komponen pertama cenderung stabil meskipun proporsi pencilan ditingkatkan, yaitu sebesar 53.17% pada pencilan 1% dan 53.97% pada pencilan 15%. Kestabilan proporsi kumulatif tersebut dikarenakan akar ciri kedua komponen pertama juga stabil. Kestabilan hasil dikarenakan melakukan perhitungan matriks kovarian tidak dari semua data, tetapi dari h pengamatan dengan nilai keterpencilan terkecil. Kumulatif Perbandingan dengan % 1% 5% 1% 15% Pencilan Gambar Kumulatif Dua Komponen Utama Pertama

4 7 dan menghasilkan struktur komponen utama yang tidak jauh berbeda pada data contoh (pencilan %). keragaman kumulatif antar kedua metode relatif sama pada data tersebut. Pada data dengan pencilan, proporsi keragaman kumulatif yang mampu diterangkan dua komponen pertama hasil semakin meningkat seiring peningkatan pencilan, sedangkan hasil tetap stabil (Gambar ). Peningkatan juga terjadi pada akar ciri komponen pertama yang dihasilkan, sedangkan akar ciri metode cenderung stabil (Gambar 3). Akar Ciri Komponen Pertama % 1% 5% 1% 15% Pencilan Gambar 3 Akar Ciri Komponen Utama Pertama Tabel 4 Keragaman Tiap Peubah pada Berbagai Pencilan Pencilan % 1% 5% 1% 15% X X X X X X X Vektor ciri atau koefisien kombinasi linier dua komponen utama metode maupun pada data contoh memiliki struktur yang mirip. Perbedaan tanda menggambarkan perbedaan arah vektor. Pada data pencilan, menghasilkan vektor ciri komponen pertama yang didominasi peubah dengan keragaman besar. Tabel 4 menunjukkan bahwa peubah X (radiasi panas) dan X6 (O 3 ) memiliki keragaman lebih tinggi dibanding peubah lainnya sehingga terlihat pada Lampiran 6 bahwa koefisien untuk kedua peubah tersebut pada komponen pertama (KU1) lebih besar dibanding peubah lainnya pada semua data pencilan. Beberapa peubah selain X dan X6 mengalami perubahan keragaman karena proses simulasi dilakukan dengan mengganti semua nilai pada suatu baris pengamatan dengan nilai dari data pencilan. Oleh karena itu, tidak hanya nilai pada peubah X dan X6 yang terganti atau nilai-nilai pada peubah lain juga berbeda dari nilai data contoh, meskipun memiliki nilai tengah yang sama. Metode menghasilkan dua komponen pertama dengan struktur koefisien berbeda pada tiap data pencilan (Lampiran 7). Pada data pencilan 1% dan 15%, struktur koefisien KU1 hasil metode akan mirip dengan hasil untuk data contoh (pencilan %). Akan tetapi, pada data pencilan 5% dan 1%, metode menghasilkan struktur koefisien KU1 berbeda dari hasil data contoh. Perbedaan struktur koefisien komponen utama tersebut akan menyebabkan interpretasi komponen yang berbeda. Tabel 5 Koefisien Kombinasi Linear Dua Komponen Utama Pertama pada Data Contoh KU1 KU KU1 KU X X X X X X X Komponen utama pertama hasil pada data contoh ditunjukkan pada Tabel 5. Komponen tersebut memiliki nilai yang positif untuk X hingga X7, sedangkan X1 bernilai negatif. Komponen tersebut merupakan pengaruh ketujuh peubah tersebut pada kadar pencemaran di udara. X3 hingga X7 ( CO, NO, NO, O 3, dan HC) merupakan polutan yang ada di udara sehingga kelima peubah tersebut memiliki efek yang sama terhadap kadar pencemaran udara. Semakin tinggi kadar polutan, makin tinggi pula kadar pencemaran udara. X atau radiasi panas berperan membantu pembentukan polutan sekunder. Sedangkan X1 atau kecepatan angin

5 8 berpengaruh negatif terhadap kadar pencemaran di udara. Angin menyebabkan ketidakstabilan atmosfer sehingga polutan lebih terdispersi dan menurunkan kadar pencemaran di udara. Pengamatan dengan nilai skor komponen pertama yang tinggi menunjukkan pengamatan dengan kadar pencemaran tinggi. Struktur komponen utama pertama hasil pada data contoh sama seperti komponen pertama hasil, tetapi memiliki tanda berbeda. Interpretasi komponen tersebut adalah pengaruh ketujuh peubah terhadap kadar tercemarnya udara. Pengamatan dengan nilai skor komponen utama pertama tinggi dan positif menunjukkan pengamatan dengan kadar pencemaran yang rendah atau tingkat udara bersih tinggi, dan sebaliknya. Komponen utama kedua baik maupun memiliki nilai yang tinggi pada peubah X dan X6. Oleh karena itu, komponen tersebut diartikan sebagai hubungan antara radiasi panas dan ozon (O 3 ). Ozon merupakan polutan sekunder yang terbentuk dengan bantuan radiasi surya sehingga makin rendah intensitas radiasi yang diterima, makin sedikit jumlah ozon yang terbentuk, dan sebaliknya. Pengamatan dengan nilai skor komponen kedua yang tinggi menunjukkan pengamatan dengan kadar ozon tinggi. Lampiran 7 menunjukkan bahwa komponen pertama pada data pencilan 5% dengan metode dicirikan oleh nilai koefisien yang tinggi pada X3 dan X5. Komponen tersebut merupakan hubungan antara CO dan NO. Interpretasi tersebut jelas berbeda dibanding interpretasi data contoh. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Analisis komponen utama metode menunjukkan hasil yang lebih baik daripada klasik. klasik sangat dipengaruhi oleh kehadiran pencilan sehingga keberadaan pencilan akan memberikan hasil yang berbeda jauh dari hasil sebenarnya, meskipun proporsi pencilan yang diberikan sangat kecil. Akar ciri komponen utama pertama meningkat seiring dengan peningkatan proporsi pencilan sehingga proporsi keragaman kumulatif data yang mampu dijelaskan komponen utama pertama semakin besar. Vektor ciri komponen utama pertama didominasi oleh peubah dengan keragaman besar. Sedangkan metode mampu mengatasi pengaruh kehadiran pencilan pada data. Akar ciri komponen utama pertama tidak terpengaruh besarnya pencilan sehingga proporsi keragaman kumulatif data yang mampu dijelaskan komponen pertama cenderung stabil. Vektor ciri komponen pertama metode memberikan interpretasi yang sama dengan saat tidak ada pencilan. Saran Pembobotan pengamatan merupakan salah satu bagian dalam algoritma FAST-MCD yang digunakan pada metode. Suatu pengamatan diberi bobot satu apabila jarak relatifnya terhadap nilai tengah penduga MCD lebih besar daripada nilai kritisnya, dan diberi bobot nol jika sebaliknya. Pada penelitian selanjutnya, masih perlu dilakukan pengkajian mengenai penggunaan pembobot selain satu dan nol. DAFTAR PUSTAKA Arya PS Air Pollution Meteorology and Dispersion. Oxford: Oxford University Press. Barnett V, Lewis T Outliers in Statistical Data. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. Ben-Gal I. 5. Outlier Detection. Di dalam: Maimon O, Rokach L. Data Mining and Knowledge Discovery Handbook. New York: Springer US. Chen H.. Principal Component Analysis with Missing Data and Outliers. ttutorial/tutorialrpca.pdf [15 Apr 9]. Croux C, Ruiz-Gazen A. 5. High Breakdown Estimators for Principal Components: the Projection-Pursuit Approach Revisited. Journal of Multivariate Analysis. 95: 6-6. Engelen S, Hubert M, Vanden-Branden K. 5. A Comparison of Three Procedures for Robust PCA in High Dimensions. Austrian Journal of Statistics. 34: Huber PJ Projection Pursuit. The Annals of Statistics. 13: Hubert M, Engelen S. 7. Fast Cross Validation of High-Breakdown Resampling Methods for PCA. Computational Statistics and Data Analysis. 51: Hubert M, Rousseeuw PJ, Aelst S van. 8. High-Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science. 3: