PROGRAM LINIER A. Pengertian Program linier adalah suatu cara ang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan ang berhubungan dengan optimalisi linier (nilai maksimal atau nilai minimal). B. Model Matematika Model matematika adalah sistem pertidaksamaan linier dua variabel ang dibentuk dari soal cerita. Contoh: Pedagang sepatu mempunai kios ang hana cukup menampung 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I dibeli dengan harga Rp0.000,00 setiap pasang, sedangkan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunai modal sebesar Rp.000.000,00 untuk membeli sepatu jenis I dan jenis II, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah. A. 4 150, 40, 0, 0 B. 4 150, 40, 0, 0 C. 4 150, 40, 0, 0 D. 8 00, 40, 0, 0 E. 4 00, 40, 0, 0 Jika: banak sepatu jenis I = banak sepatu jenis II = maka, model matematikana: tentang daa tampung : 40... (1) hana cukup 40 berarti tentang modal : 0.000 80.000.000. 000 karena uang modal berarti disederhanakan menjadi 4 150... () sarat mutlak : 0... () karena banak sepatu tidak mungkin negatif : 0... (4) karena banak sepatu tidak mungkin negatif Jadi, ang benar pilihan C. C. Grafik Daerah Penelesaian b p p + = p a b + a = ab 1 Andri Nurhidaat, S.Pd
Contoh 1: Gambarlah grafik, 0, dan 0! (, ) 0 1 ( 0, 1 ) 0 (, 0 ) 1 += Titik uji (0,0): 0 + (0) 0 Benar Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penelesaian. Jadi, daerah penelesaianna adalah sebelah bawah garis Contoh : Daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linier gambar di bawah ini dengan nomor daerah. A. I B. II C. III D. IV V E. V II I III IV 5 5 15 ditunjukkan pada 0 0 Andri Nurhidaat, S.Pd
V II I III IV 5 + 5 =15 + =18 + = Untuk menentukan atau, kita lihat dari posisi daerah penelesaianna. Jika daerah penelesaianna di sebelah kiri atau bawah, maka. Sedangkan jika daerah penelesaianna di sebelah kanan atau atas, maka. Berarti daerah ang memenuhi: 5 15,, 0, dan 0 adalah daerah I Contoh : Sistem pertidaksamaan linier ang memenuhi daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini adalah. 4 A. 4,, 0, 0 B. 4,, 0, 0 C. 4,, 0, 0 D. 4,, 0, 0 E. 4,, 0, 0 4 + 4 = 8 + = + = 4 Karena daerah penelesaianna di bawah berarti sama-sama. Jadi sistem pertidaksamaan atau model matematika ang benar adalah 4,, 0, 0 (E) Andri Nurhidaat, S.Pd
7 5 (, ),5 5 + = 7 + = 5 plusindo.wordpress.com D. Nilai Optimal dari Fungsi Objektif Nilai optimal terdiri atas nilai maksimal dan nilai minimal. Fungsi objektif adalah fungsi sasaran untuk dapat menentukan nilai maksimal atau nilai minimal. Contoh 1: Nilai minimal dari f (, ) 4 5 ang memenuhi pertidaksamaan 7, 5, 0, dan 0 adalah... A. 14 B. 0 C. D. 5 E. 5 Menentukan titik potong: 7 5 Sehingga: 5 ( ) 5 5 Maka titik potongna (, ) Titik Pojok (, ) Fungsi objektif f (, ) 4 5 (5, 0) f ( 5,0) 4(5) 5(0) 0...Nilai minimal (0, 7) f ( 0,7) 4(0) 5(7) 5 (, ) f (,) 4() 5() Contoh : Sebuah pesawat dengan rute Jakarta Surabaa dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banak 90 penumpang ang terdiri dari penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa barang seberat 1 kg dan kelas ekonomi 10 kg dengan daa angkut maksimal bagasi adalah 1.000 kg. Harga tiket penumpang kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah... A. Rp45.000.000,00 B. Rp57.000.000,00 C. Rp8.000.000,00 D. Rp7.000.000,00 E. Rp80.000.000,00 Jika: banak penumpang kelas bisnis = banak penumpang kelas ekonomi = 4 Andri Nurhidaat, S.Pd
maka, model matematikana: tentang jumlah penumpang : 90... (1) karena jumlah penumpang paling banak 90 orang tentang daa angkut bagasi : 1 10 1. 000... () karena maksimal bagasi menampung 1.000 kg disederhanakan menjadi 5 500 sarat mutlak : 0... () karena banak penumpang tidak mungkin negatif : 0... (4) karena banak penumpang tidak mungkin negatif Grafik daerah penelesaian: 100 90 (50, 40) 500 90 +5 = 500 + = 90 Titik potong kedua garis: 90 5 5 5 450 5 500 1 5 500 = 50 50 90 ( 50) 90 40 Sehingga titik potong kedua garis tersebut (50, 40) Titik Pojok (, ) 500,0 Fungsi objektif f (, ) 800.000 700. 000 500 500 f,0 800.000 700.000(0)..7 f 0,90 800.000(0) 700.000(90).000. (0, 90) 000 (50, 40) f 50,40 800.000(50) 700.000(40) 8.000. 000... Pendapatan maksimal Jadi, pendapatan maksimal Rp8.000.000,00 dengan 50 penumpang kelas bisnis dan 40 penumpang kelas ekonomi. E. Latihan Soal 1. Tanah seluas 18.000 m akan dibangun rumah tipe anggrek dan tipe dahlia. Rumah tipe anggrek memerlukan tanah seluas 10 m, sedangkan tipe dahlia memerlukan tanah seluas 10 m. Jumlah rumah ang akan dibangun paling sedikit 5 rumah. Misalkan banak tipe anggrek rumah dan tipe dahlia rumah, maka model matematika masalah tersebut adalah... a. 4 450; 5; 0; 0 b. 4 450; 5; 0; 0 c. 4 450; 5; 0; 0 d. 4 450; 5; 0; 0 e. 4 450; 5; 0; 0 5 Andri Nurhidaat, S.Pd
IV V 10 plusindo.wordpress.com. Daerah ang memenuhi sistem pertidaksaman linier 9; 5 10 ; 0 ; 0 ;, R adalah... a. I b. II c. III d. IV 9 e. V I III II. Daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan penelesaian dari pertidaksamaan. (0,5) (0,) (5,0) (,0) a. 1, 5, 0, 0 b. 1, 5, 0, 0 c. 1, 5, 0, 0 d. 1, 5, 0, 0 e. 1, 5, 0, 0 4. Nilai maksimal dari fungsi objektif f (, ) dari daerah penelesaian ang diarsir pada gambar di bawah ini adalah... 1 4-8 8 a. 1 b. c. d. 8 e. Andri Nurhidaat, S.Pd
5. Seorang penjahit mempunai persediaan kain putih 10 m dan kain berwarna 15 m. Ia ingin membuat dua model pakaian, aitu pakaian model I dan model II. Untuk pakaian model I memerlukan 1 m kain putih dan m kain berwana, sedangkan pakaian model II memerlukan m kain putih dan 1 m kain berwarna. Sebuah pakaian model I dijual dengan harga Rp75.000,00, sedangkan sebuah pakaian model II dijual dengan harga Rp0.000,00. Keuntungan maksimum ang dapat diperoleh penjahit tersebut apabila semua pakaian ang dibuat terjual habis adalah. a. Rp00.000,00 b. Rp75.000,00 c. Rp480.000,00 d. Rp750.000,00 e. Rp900.000,00. Suatu perusahan meubel memerlukan 18 unsur A dan 4 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan unsur A dan unsur B. Barang jenis I dijual seharga Rp50.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp400.000,00 per unit. Agar penjualanna mencapai maksimum, banak masing-masing barang ang harus dibuat adalah... a. jenis I b. 1 jenis II c. jenis I dan jenis II d. jenis I dan 9 jenis II e. 9 jenis I dan jenis II 7 Andri Nurhidaat, S.Pd