Modul ke: 6 Logika Matematika Tautologi dan Kontradiksi Argumen 1/Penarikan kesimpulan yang valid: modus ponen, modus tolen Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO Program Studi SISTEM INFORMASI http://www.mercubuana.ac.id
Kemampuan Akhir Yang Diharapkan Memahami bentuk Tautologi dan Kontradiksi Mampu membuat penarikan kesimpulan secara valid
TAUTOLOGI, EKIVALEN DAN KONTRADIKSI 1.Tautologi Perhatikan bahwa beberapa pernyataan selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: Junus masih bujang atau Junus bukan bujang akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang. Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi.
TAUTOLOGI, EKIVALEN DAN KONTRADIKSI 2. Ekivalen Perhatikan kalimat: Guru pahlawan bangsa dan tidak benar bahwa guru bukan pahlawan bangsa. Kedua kalimat ini akan mempunyai nilai kebenaran yang sama, tidak perduli bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan semula. (Coba periksa dengan menggunakan tabel kebenaran). Definisi : Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pernyataan p ekivalen dengan pernyataan q dapat ditulis sebagai p q. Berdasarkan definisi diatas, sifat-sifat pernyataan-pernyataan yang ekivalen (berekivalensi logis) adalah: 1. p p 2. jika p qmakaq p 3. jika p qdanq rmakap r
TAUTOLOGI, EKIVALEN DAN KONTRADIKSI Sifat pertama berarti bahwa setiap pernyataan selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan dirinya sendiri. Sifat kedua berarti bahwa jika suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan yang lain, maka tentu berlaku sebaliknya. Sedangkan sifat ketiga berarti bahwa jika pernyataan pertama mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan kedua dan pernyataan kedua mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan ketiga maka nilai kebenaran pernyataan pertama adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan ketiga. Jika pernyataan tertentu p ekivalen dengan pernyataan q, maka pernyataan p dan q dapat saling ditukar dalam pembuktian. Ingat pada pernyataan segi tiga sama sisi yang ekivalen dengan segi tiga yang sudutnya sama besar. Dalam pembuktian pada geometri sering kali kita menggunakan kedua pernyataan itu dengan maksud yang sama.
TAUTOLOGI, EKIVALEN DAN KONTRADIKSI 3. Kontradiksi Sekarang perhatikan kalimat : Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa. Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari Pratiwi seorang mahasiswa maupun Pratiwi bukan mahasiswa. Jika r : Pratiwi mahasiswa maka ~ r : Pratiwi bukan mahasiswa maka pernyataan di atas berbentuk r ~ r (Coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari komponenkomponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya.
Modus Ponens Diasumsikan p q benar. Jika diketahui p benar, supaya p q benar, maka q harus benar. p q p --------- q Contoh: P : digit terakhir suatu bilangan adalah 0 Q : bilangan tersebut habis dibagi 10 Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10. (p q) Digit terakhir suatu bilangan adalah 0. (p) Disimpulkan: Bilangan tersebut habis dibagi 10. (q)
Modus Tollens Hampir sama dengan modus ponens. Hanya saja pada modus tollens, digunakan kontraposisi dari implikasi. Diasumsikan p q benar. Jika diketahui q benar, supaya p q benar, maka p harus benar. p q q --------- p Contoh: P: Saya kangen Q: Saya akan melihat fotomu Jika saya kangen, maka saya akan melihat fotomu. (p q) Saya tidak melihat fotomu. ( q) Disimpulkan: Saya tidak kangen. ( p)
Argumen Valid & Invalid (1) Suatu Argumen dikatakan Valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubstitusikan ke dalam hipotesa, jika semua hipotesa tersebut benar, maka kesimpulan juga benar. P1 P2 Pn ------ q Jika semua hipotesa benar tetapi ada kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut dikatakan invalid
Argumen Valid & Invalid (2) Untuk mengecek apakah suatu argumen merupakan kalimat yang valid, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat 2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan 3. Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua hipotesa bernilai benar 4. Dalam baris kritis tersebut, jika semua nilai kesimpulan benar, maka argumen itu valid. Jika di antara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut adalah invalid.
Argumen Valid & Invalid (3) Contoh 1. Tentukan apakah Argumen di bawah ini Valid/Invalid a). P (Q R) R P Q b). P (Q R) Q (P R) P R
Argumen Valid & Invalid (4) Penyelesaian Contoh 1a. a). P (Q R) R P Q Hipotesa 1 Hipotesa 2 Konklusi
Argumen Valid & Invalid (5) Penyelesaian Contoh 1a. Tabel kebenaran: Hipotesa 2 Hipotesa 1 Konklusi Baris Kristis Karena semua konklusi bernilai T (True) maka argumen tersebut Valid
Argumen Valid & Invalid (6) Penyelesaian Contoh 1b. a). P (Q R) Q (P R) P R Hipotesa 1 Hipotesa 2 Konklusi
Argumen Valid & Invalid (7) Penyelesaian Contoh 1b. Tabel kebenaran: Hipotesa 2 Konklusi Hipotesa 1 Karena ada konklusi bernilai F (False) maka argumen tersebut Invalid
Terima Kasih BAGUS PRIAMBODO