DEFINISI DAN RUANG SOLUSI Pada bagian ini akan dibaha tentang bai dan dimeni menggunakan pengertian dari kebebaan linear ( beba linear dan merentang ) yang dibaha pada bab ebelumnya. Definii dari bai diberikan berikut. Mial V ruang vektor dan diebut bai untuk V bila :. S beba linear. S merentang V S = v v... v r himpunan vektor-vektor di V. Maka S Setiap ruang vektor mempunyai bai dan tidak tunggal. Bai dari ruang vektor dibedakan menjadi dua yaitu bai tandar / bai baku dan bai tidak tandar atau tidak baku. Keamaan di antara kedua bentuk bai terebut terletak pada bilangan kardinalnya yaitu banyaknya unur bai ama. Beberapa bai tandar untuk ruang vektor R n P n dan M diberikan ebagai berikut :. S = e e... e n dengan e e e n n e n = (... ) merupakan bai tandar R n.. S = { n }... R e = (... ) e ( )... merupakan bai tandar untuk P n.. S = merupakan bai tandar untuk M. =... Dimeni dari ruang vektor didefiniikan ebagai bilangan kardinal dari bainya yaitu banyak unur bai. Oleh karena itu dim ( R n ) = n dim ( P n ) = n + dan dim ( M ) =. Sedangkan ruang vektor nol dikatakan tidak mempunyai bai ebab ruang vektor terebut hanya dibangun / direntang oleh vektor nol aja dan S = bergantung linear ( tidak beba linear ) namun ruang vektor nol didefiniikan berdemeni nol. Satu ifat apakah uatu himpunan merupakan bai dari uatu ruang vektor dapat dilihat atau beba linear atau merentang ( ) ruang vektor terebut bila dimeni ruang vektornya diketahui eperti diperlihatkan berikut. S = v v... v r merupakan bai untuk V bila dan hanya bila S beba linear atau merentang V. Mial V ruang vektor dan dim ( V ) = r. Maka Contoh : Tunjukkan bahwa himpunan S { + + } pangkat tiga P. = bai dari ruang polinom ( ) atau A atau B berarti bahwa pilih alah atu di antara A dan B Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung
Jawab : Sebab banyak unur S = dim ( P ) maka cukup ditunjukkan atau beba linear atau merentang. Akan ditunjukkan beba linear. Mial a b dan c kalar. Maka dibentuk peramaan a ( + ) + b( ) + c( + ) = Ini akan menghailkan SPL homogen dengan a b dan c ebagai peubahnya a + c = a +b = -a b + c = Matrik koefiien daro SPL homogen terebut adalah Sebab determinan matrik di ata tidak ama dengan nol ( determinan = ) maka S merupakan bai tidak tandar / baku dari P. Mial W merupakan ub ruang vektor dari ruang vektor V. Maka dim ( W ) kurang dari atau ama dengan dim ( V ). Hal ini ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh {( ) } W = y z = z merupakan ub ruang vektor dari R ( tunjukkan ). Tentukan bai dan dimeni dari W. Jawab : z z y y y z y z = z = z + = + Bai W adalah dim ( W ) =. Hal ini terlihat bahwa dim ( W ) dim ( R ) Ruang Solui Mial diberikan SPL homogen dengan n peubah dan m peramaan. Maka kita dapat menentukan olui SPL homogen terebut menggunakan eliminai Gau Jordan pada matrik yang diperbear. Bila olui SPL homogen tak trivial maka olui ditulikan dalam bentuk paramater. Himpunan olui SPL homogen akan membentuk ruang vektor yang diebut ruang olui dan dimeni dari ruang olui ama dengan banyaknya parameter. Sedangkan unur bai ruang olui adalah vektor / matrik koefiien ( n ) dari parameternya. Contoh : Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung Tentukan bai dan dimeni dari ruang olui SPL homogen berikut : + y + z = + y - z = + y - z = 6 + y + z = Jawab : OBE matrik yang diperbear dari SPL 6 Solui SPL : y z = = Karena jumlah parameter ( ) atu maka dimeni ruang olui ama dengan atu edangkan bai ruang olui S yaitu : ( ) S = = Soal Latihan ( No d ). Apakah himpunan yang diberikan berikut meruapakan bai dari ruang euclide yang euai? Jelakan!.. ln in π..
. ( Nomor 6 d ) Apakah berikut merupakan bai dari ruang vektor yang diberikan bila 6. S = ( ) ( ) ; R. 7. S = ( ) ( ) ( ) ; R. 8. S = ; M. 9. S = { + + } ; P.. S = { + + } ; P. ( Nomor d ) Apakah berikut merupakan ub ruang dari ruang vektor yang diberikan / Bila ya tentukan bai dan dimeninya. { = y } ; R { y z w y z w}. ( y). ( ) = = ; R.. { a + b + c a = b + c} ; P. {( + ) + ( + ) + ( + ) = + } a. b a b c a b c ; P b M a ; ( Nomor 6 d ) Selidiki apakah berikut merupakan ruang vektor! Bila ya tentukan bai dan dimeninya. a 6. Himpunan vektor di ruang yang berbentuk b dengan a = b c c 7. Himpunan polinom pangkat dua dengan jumlah kuadrat koefiiennya ama dengan nol. 8. Himpunan polinom pangkat tiga dengan uku kontan ama dengan nol 9. Himpunan matrik dengan jumlah elemen diagonal utama ama dengan nol. Himpunan matrik dengan elemen diagonal utama ama dengan nol. ( Nomor d ) Tentukan bai dan dimeni dari ruang olui dari SPL homogen berikut + y + z + w = Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung
- + z - w = y + z + w = a + b + c + d = -a -b - c + d = b - c - d = a - c - d = - y + z = - 6y + z = -6 + 9y - z = Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung