STATISTIK ASAS Nordin Tahir Jabatan Ilmu Pendidikan IPG Kampus Ipoh
Statistik Asas Statistik asas merupakan satu teknik matematik untuk memproses, menyusun, menganalisis dan membuat kesimpulan tentang data yang berbentuk kuantitatif Dalam ujian dan peperiksaan, kaedah statistik digunakan untuk membuat analisis dan kesimpulan. Data yang dipungut ini biasanya tidak disusun dengan teratur. Untuk memudahkan kita merujuk kepada data ini, ia seharusnya direkodkan secara teratur dan sistematik.
Graf, Ogif, Histogram, Lengkung Taburan, dan Kekerapan Apabila skor ujian diperoleh daripada sekumpulan pelajar, ia biasanya akan berada dalam susunan rawak seperti yang ditunjukkan: 90, 56, 70, 70, 90, 70, 40, 56, 90, 86, 46, 57, 78, 90 Kesemua ini adalah skor-skor mentah. Oleh itu, seorang guru perlu mengorganisasi dan mempamerkan skor dalam bentuk yang teratur supaya ia lebih bermakna. Guru perlu membuat pengiraan mudah untuk mentafsirkan data secara tepat. Terdapat dua cara, iaitu taburan secara menaik dan menurun.
Taburan Secara Menaik dan Menurun Susunan Menaik: Data-data disusun daripada yang terendah kepada tertinggi seperti: 40, 46, 56, 56, 57, 70,70,70, 78, 86, 90, 90, 90, 90 Susunan Menurun: Data-data disusun daripada yang terendah kepada yang tertinggi. Contohnya: 90, 90, 90, 90, 86, 78, 70, 70, 70, 57, 56, 56, 46, 40
Taburan Kekerapan Skor 56% : 2 pelajar Skor 70% : 3 pelajar Skor 90% : 4 pelajar Bilangan pelajar yang memperoleh setiap skor tersebut dikatakan kekerapan Kekerapan merujuk kepada berapa kali sesuatu skor wujud dalam sesuatu taburan. Maka kekerapan untuk skor 90% ialah 4 (kekerapan tertinggi) manakala kekerapan untuk 56% ialah 2 (kekerapan terendah).
Jika mempunyai bilangan skor yang banyak, adalah berguna untuk dibina taburan kekerapan secara berkumpul serta graf taburan. Skor-skor dikumpulkan dalam sela kelas, dan bilangan skor yang ada dalam setiap sela digundalkan. Tanda-tanda gundal ini dikira untuk memperoleh kekerapan, iaitu bilangan skor dalam setiap sela kelas. Sebagai contoh, perhatikan bagaimana skor-skor berikut disusun dalam taburan kekerapan dengan julat kelas sebanyak 5. 33 12 6 45 27 25 11 37 22 16 48 26 37 21 3 26 14 34 22 19 40 24 22 15 32 24 27 30 23 31 19 24 27 20 33 14 27 20 29 23 31 22 16 36 27 9 28 25 17 29 13 18 44 12 28
Histogram (Graf Bar)
Poligon Kekerapan Poligon Kekerapan dibina dengan memplotkan titik di nilai tengah setiap sela kelas ke ketinggian selaras dengan bilangan kekerapan kelas berkenaan. Kemudian, sambungkan kesemua titik-titik dengan garis lurus. Titik awalan dan akhir harus berada pada paksi-x.
Kekerapan Himpunan (Ogif) Kekerapan himpunan ialah jumlah kekerapan data dan kekerapan data sebelumnya. Berdasarkan jadual di atas, kita boleh menentukan bilangan pelajar yang memperoleh skor yang sama atau kurang daripada sesuatu skor tertentu. Contohnya, bilangan pelajar yang memperoleh skor antara 15 19 skor atau kurang daripadanya ialah 16.
Lengkong Kekerapan Himpunan (Ogif) Lengkung taburan kekerapan himpunan juga dikenali sebagai ogif. Taburan kekerapan himpunan digunakan untuk melukis graf yang dinamakan ogif untuk mentafsir data yang diperoleh. Untuk melukis ogif, nilai data berada di paksi-x, manakala kekerapan himpunan berada pada paksi-y. Ogif yang dilukis di bawah berdasarkan Jadual di atas.
Lengkung Taburan Normal Lengkung taburan normal berbentuk loceng jika skor-skornya bertaburan normal. Kawasan di bawah lengkung mewakili semua skor (100%) di mana 50% daripada skor berada di atas min dan 50% daripada skor pula berada di bawah min. Manakala, min, median dan mod adalah sama. Kebanyakan skor berhampiran dengan min dan semakin jauh sesuatu skor daripada min bermaksud kurangnya bilangan calon yang memperoleh skor tersebut.
Taburan Pencong Positif Dalam konteks pengujian dan penilaian bilik darjah, kemungkinan kita tidak akan dapat satu lengkung taburan normal. Contohnya, taburan pencong positif merujuk kepada susunan ketiga-tiga ukuran kecenderungan memusat dari kiri ke kanan ialah: pertama, mod, iaitu nilai terendah; kemudian, median, iaitu nilai tengah; dan akhirnya, min, iaitu nilai tertinggi.
Taburan Pencong Negatif Bagi taburan pencong negatif pula, susunan ketiga-tiga ukuran kecenderungan memusat dari kiri ke kanan adalah : pertama, min, iaitu nilai terendah; kemudian, median, iaitu nilai tengah; dan akhirnya, mod, iaitu nilai tertinggi.
Min, Median, Mod ( Ukuran Kecenderungan Memusat) Ia merujuk kepada satu nilai purata sesuatu set skor. Terdapat tiga jenis ukuran kecenderungan memusat, iaitu min, median dan mod. Min menunjukkan purata markah yang diperoleh oleh pelajar dalam sesuatu ujian. Ia juga menggambarkan prestasi keseluruhan untuk tujuan memberbandingkan prestasi antara pelajar atau kumpulan dalam ujian yang sama. Min juga berguna semasa mengira sishan piawai dan skor sishan; Mod ialah skor yang mempunyai kekerapan yang paling tinggi dalam satu taburan. Simbol statistik mod ialah M0; Median ialah skor tengah dalam satu susunan taburan menaik atau menurun. Median boleh dikirakan dengan membahagikan satu set skor yang tersusun kepada dua bahagaian yang sama.
Pengiraan Min Pengiraan min itu penting kerana ia memudahkan kita menggunakan formula statistik untuk mengira sisihan piawai, skor Z dan skor T. Untuk data tidak terkumpul, min dikira dengan menjumlahkan semua skor dalam set, kemudian bahagikan jumlah ini dengan bilangan skor. Contohnya, min untuk skor-skor 70, 85 dan 100 dalam satu ujian ialah: 70+85+100 = 85 3 Min data dikira dengan menggunakan rumus yang berikut:
Contoh: Dalam satu ujian Matematik, skor untuk 10 orang pelajar adalah: 35, 42, 55, 67, 75, 88, 90, 94, 96 and 98. Kirakan min dengan menggunakan formula di atas. Min digunakan secara meluas kerana ia mengambil kira semua skor dalam taburan dan ia sangat jitu. Contohnya, min digunakan oleh guruguru untuk mengira nilai purata skor yang diperoleh oleh pelajar-pelajar dalam ujian buatan guru.
Pengiraan Min untuk Data Terkumpul Pengiraan min untuk data terkumpul lebih kompleks. Contohnya;
Median Median ialah skor tengah apabila jumlah bilangan skor adalah ganjil atau nilai purata dua skor di tengah-tengah taburan jika jumlah bilangan skor adalah genap dalam satu susunan taburan menaik atau menurun. Sebagai contoh, median untuk skor ujian ejaan (40,56,35,70,94) dan ujian penulisan (55,62,96,45,76,80) adalah berikut: Median berguna jika terdapat skor yang ekstrim (melampau) dalam sesuatu taburan. Contohnya, terdapat 3 skor dalam sesuatu ujian, iaitu 20, 20 dan 80. Walaupun min taburan ini ialah 40, tetapi ini tidak menggambarkan ukuran kecenderungan memusat. Dalam kes ini, nilai median 20 adalah lebih berguna sebagai ukuran kecenderungan memusat.
Mod Nilai mod pula boleh diperoleh dengan menyusun data yang tidak terkumpul itu secara menaik atau menurun. Mod ( Mo ) adalah skor yang mempunyai kekerapan yang paling tinggi dalam satu taburan. Satu taburan mungkin mempunyai satu atau lebih mod atau tidak mempunyai mod langsung. Mari kita perhatikan skor-skor ujian Matematik berikut: Contoh 1: 76, 55, 34, 80, 60, 95, 70 Taburan skor ini tidak mempunyai mod Contoh 2: 86, 70, 59, 70, 75, 68, 70 Taburan skor ini mempunyai satu mod (unimod) sahaja. Nilainya ialah 70. Contoh 3: 76, 62, 54, 68, 62, 54, 88, 71 Taburan skor ini mempunyai dua mod (dwi-mod). Nilai mod ialah 62 dan 54. Mod memberi satu gambaran umum tentang taburan. Sebagai contoh, dalam penghasilan baju-t, pengetahuan tentang mod akan membantu pengusaha menentukan saiz baju-t yang paling dikehendaki.
Sisihan Piawai Selain daripada mengetahui tentang ukuran kecenderungan memusat, kita perlu juga mengetahui berapa jauh skor-skor itu tersebar, iaitu sisihan piawai. Terdapat dua kaedah mengira Sisihan Piawai iaitu: 1. Sisihan Piawai untuk Data Tidak Terkumpul 2. Sisihan Piawai untuk Data Terkumpul
Sisihan Piawai untuk Data Tidak Terkumpul Cuba faham contoh di bawah: Skor untuk 5 orang pelajar ialah 1,2,3,4, dan 5
Sisihan Piawai untuk Data Tidak Terkumpul Contoh 2 : Mengira sisihan piawai untuk satu set skor yang tidak terkumpul.
Sisihan Piawai untuk Data Terkumpul Untuk data terkumpul rumus yang digunakan adalah seperti berikut:
Contoh: Jadual di bawah menunjukkan data terkumpul untuk satu ujian sains. Cuba kirakan sisihan piawai.
Pentafsiran Nilai Sisihan Piawai Sisihan Piawai ialah ukuran kebolehubahan atau sebaran skor-skor. Ia merupakan sejauh mana skor berubah keliling min. Semakin kecil nilai sisihan piawai, semakin kecil sebaran skor dalam taburan. Ini membawa implikasi bahawa data adalah berhampiran antara satu sama lain (homogen). Begitu juga, semakin besar nilai sisihan piawai, semakin besar sebaran skor dalam taburan. Ini bermakna data adalah tersebar luas antara satu sama lain (heterogen).
Kira sisihan piawai skor-skor berikut dan tafsirkan nilai sisihan piawai yang diperoleh bagi skor-skor berikut: 4, 7, 9, 3, 2 Sisihan piawai ialah 6.8, di mana ia kurang daripada 10. Nilai kecil menunjukkan bahawa kebanyakan skor adalah berhampiran dengan min 5. Ini bermaksud bahawa taburan bercorak homogen dan skor-skor tidak tersebar luas.
Skor Piawai Skor piawai menunjukkan kedudukan sesuatu skor dari segi berapa sisihan piawai skor tersebut berada di atas atau di bawah min taburan. Dan ia biasanya diwakili dengan skor-z atau skor-t. Skor-z dikira dengan menggunakan rumus berikut: Z = ( X X ) Skor-t dikira dengan menggunakan rumus berikut: t = 50 + 10z
Contoh: Skor untuk 5 orang pelajar dalam satu ujian ialah 5,8,10,4 dan 3. Cari skor-z dan skor-t untuk pelajar yang mempunyai 10 markah.
Pentafsiran Skor-z Sebagai contoh, Abdullah mempunyai skor sebanyak 55 dalam ujian Matematik; skor purata kumpulan normal ialah 60 dan sisihan piawai 15. Maka skor piawai Abdullah ialah: z = 55 60= - atau 1-0.33 15 3 Ini bermaksud skor Abdullah adalah satu pertiga sisihan piawai daripada min. Tanda negatif menunjukkan bahawa ia adalah satu pertiga sisihan piawai di bawah min. Bagi contoh kedua, katakan Abdullah mempunyai skor sebanyak 75 dalam satu ujian Sains; purata skor untuk kumpulan normal ialah 65 dan sisihan piawai ialah 10. Maka skor piawai Abdullah ialah: z = 75 65= 1 10 Ini bermakna Abdullah adalah satu sisihan piawai daripada min. Tanda positif menunjukkan bahawa ia adalah satu sisihan piawai di atas min.
Pentafsiran Skor-t Skor-t lebih biasa digunakan berbanding dengan skor-z untuk pelaporan keputusan ujian kerana ia menghasilkan integer positif. Ia juga lebih kerap digunakan untuk melapor prestasi ujian seseorang sebagai skor-t 33 berbanding dengan pelaporan prestasi yang sama dalam skor-z sebagai 1.7. Sebenarnya, kedua-dua skor ini adalah sama. Memandangkan skor-t sentiasa mempunyai min 50 dan sisihan piawai 10, maka, skor-t boleh ditafsir secara langsung.
Latihan 1. Cari mod untuk data berikut: 54, 76, 69, 54, 74, 88, 74, 65, 74 2. Skor yang diperoleh oleh 12 orang pelajar dalam ujian Sains yang ditadbir oleh guru adalah seperti berikut: 35, 23, 55, 35, 65, 67, 55, 35, 98, 88, 92, and 72 Kira min, median dan mod bagi skor-skor di atas. 3. Berikut adalah skor-skor untuk 6 orang pelajar dalam ujian Sains: 8, 10, 7, 12, 6, 11 Cari skor-z dan skor-t untuk pelajar yang mempunyai skor 7. 4. Jadual di atas menunjukkan keputusan Ali dan Fatimah dalam ujian-ujian Matematik dan Sains. - Kira skor-z dan skor-t untuk Ali dan Fatimah dalam Matematik dan Sains - Dengan menggunakan skor-z dan skor-t, bandingkan prestasi Ali dan Fatimah dalam Matematik dan Sains