(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011
Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi, misalnya, eksistensi nilai ekstrim dijamin bila kita mengetahui bahwa fungsi objektifnya kontinu pada suatu domain yang kompak.
Fungsi Kontinu Misal D R n, f : D R m, dan x 0 D. Fungsi f dikatakan kontinu di x 0 apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk x D dengan x x 0 < δ berlaku f(x) f(x 0 ) < ɛ. Selanjutnya, fungsi f dikatakan kontinu pada D apabila f kontinu di setiap titik di D. Catat bahwa nilai δ secara umum bergantung pada ɛ dan x 0. Dalam hal x 0 merupakan titik akumulasi dari D, f kontinu di x 0 apabila (i) f terdefinisi di x 0, (ii) lim f(x) ada, dan (iii) x x0 lim f(x) = f(x 0 ). Dalam hal x 0 D tapi bukan titik akumulasi x x 0 dari D (yakni, x 0 merupakan titik terisolasi dari D), maka f otomatis kontinu di x 0.
Proposisi 1 Jika x 0 merupakan titik akumulasi dari D, maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen: (i) f kontinu di x 0. (ii) lim x x0 f(x) = f(x 0 ). (iii) Untuk setiap barisan x k di D dengan lim k x k = x 0, berlaku lim k f(x k) = f(x 0 ).
Contoh 2 (a) Fungsi polinom, fungsi trigonometri, fungsi nilai mutlak, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritma merupakan fungsi kontinu pada daerah definisinya. (b) Fungsi karakteristik Q, yakni χ Q, merupakan fungsi yang tidak kontinu di mana-mana.
Contoh 3 Misalkan f : (0, 1] R didefinisikan sebagai { 0, x / Q f (x) = 1 q, x = p q, di mana p dan q bilangan bulat yang relatif prima (yakni, FPB(p, q) = 1). Maka, f tidak kontinu di setiap bilangan rasional, tetapi kontinu di setiap bilangan irasional.
Contoh 4 Misalkan f : (0, 1) R dengan f (x) = 1 x, dan x 0 (0, 1). Diberikan ɛ > 0, dapat dipilih δ = min{ x 0 2, ɛx2 0 2 }, sehingga jika x x 0 < δ maka f (x) f (x 0 ) = x x 0 xx 0 < ɛ. Perhatikan di sini δ bergantung pada ɛ dan x 0, dan bila x 0 mendekati 0, nilai δ menjadi semakin kecil untuk ɛ yang sama. (Dapat ditunjukkan bahwa memang tidak ada δ yang hanya bergantung pada ɛ dan berlaku untuk x 0 (0, 1) sembarang.)
Fungsi f yang bernilai real dan terdefinisi pada (a, b) R dikatakan mempunyai diskontinuitas loncat di x 0 (a, b) apabila ia mempunyai limit kanan dan limit kiri di x 0 tetapi tidak sama. Sebagai contoh, fungsi monoton hanya mempunyai diskontinuitas loncat (dan, jika f (a) dan f (b) terdefinisi, maka banyaknya titik diskontinuitas terhitung).
Contoh 5 Misalkan f : R R dengan { f (x) = 0, x = 0, sin 1 x, x 0. Maka, f tidak kontinu di 0, tapi 0 bukan merupakan titik diskontinuitas loncat.
Proposisi 6 Misalkan D R n dan f, g : D R m kontinu di x 0 D. Maka (i) f + g kontinu di x 0. (ii) αf kontinu di x 0 untuk setiap α R. (iii) Jika m = 1, maka fg kontinu di x 0. (iv) Jika m = 1 dan g(x) 0 untuk setiap x D, maka f g kontinu di x 0. (v) f g : D R kontinu di x 0.
Fungsi Komposisi Misalkan D R n, E R m, f : D E dan g : E R k. Fungsi komposisi dari g dengan f didefinisikan sebagai g f : D R k dengan g f(x) = g(f(x)). Proposisi 7 Jika f kontinu di x 0 D dan g kontinu di f(x 0 ), maka g f kontinu di x 0.
Proposisi 8 Fungsi : x x dari R n ke R merupakan fungsi yang kontinu. Akibat 9 Jika f : D R m kontinu di x 0 D, maka terdapat M > 0 dan suatu lingkungan-δ dari x 0 sedemikian sehingga f(x) M untuk x D B(x 0, δ).
Soal Latihan 1 Buktikan jika f : R R kontinu pada R dan f (x) = 0 untuk setiap x Q, maka f = 0. 2 Berikan sebuah contoh fungsi pada R yang kontinu hanya di sebuah titik. 3 Misalkan f : D R m kontinu di x 0 D dan f(x 0 ) 0. Buktikan bahwa terdapat m > 0 dan suatu lingkungan-δ dari x 0 sedemikian sehingga f(x) m untuk setiap x D B(x 0, δ).
Dalam hal tertentu, dapat terjadi nilai δ hanya bergantung pada ɛ, tidak pada x 0. Sebagai contoh, fungsi g(x) = x 2, x (0, 1), kontinu di x 0 (0, 1) sembarang, dan untuk setiap ɛ > 0 dapat dipilih δ = ɛ 2, sehingga jika x (0, 1) dan x x 0 < δ, maka g(x) g(x 0 ) = x + x 0. x x 0 < ɛ. Fungsi semacam ini dikatakan kontinu seragam pada (0, 1). Secara umum, f dikatakan kontinu seragam pada D apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, y D dengan x y < δ berlaku f(x) f(y) < ɛ.
Contoh 11 Fungsi f (x) = x 2 kontinu seragam pada (0, 1), bahkan pada (0, b) untuk b > 0 sembarang (lihat Soal Latihan 1). Namun demikian, fungsi ini tidak kontinu seragam pada (0, ). Andai f (x) = x 2 kontinu seragam pada (0, ). Maka ada δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, y (0, ) dengan x y < δ berlaku x 2 y 2 < 2. Tinjau x = m + 1 m dan y = m, dengan m > 1 δ. Maka, x y < δ, tetapi ( 1 ) f m + f (m) 2. m bertentangan dengan pernyataan sebelumnya.
Contoh 12 Pada subbab sebelumnya, kita telah membahas bahwa f (x) = 1 x kontinu di setiap x 0 (0, 1). Namun, diberikan ɛ > 0 sembarang, kita tidak dapat menemukan δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, y (0, 1) dengan x y < δ berlaku 1 x 1 y < ɛ. Andai f (x) = 1 x kontinu seragam pada (0, 1). Maka ada δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, y (0, 1) dengan x y < δ berlaku 1 x 1 y < 1. Namun, untuk n N yang cukup besar, x = 1 n dan y = 1 n+1 memenuhi x y < δ, tetapi 1 x 1 y = = n (n + 1) = 1, tidak sesuai dengan pernyataan sebelumnya. Jadi f (x) = 1 x tidak kontinu seragam pada (0, 1).
Contoh 13 Fungsi : x x kontinu seragam pada R m.
Soal Latihan 1 Buktikan bahwa f (x) = x 2 kontinu seragam pada (0, b) untuk setiap b R. 2 Buktikan bahwa f (x) = 1 x kontinu seragam pada (a, ) untuk setiap a > 0. 3 Buktikan bahwa f (x) = sin x kontinu seragam pada R. 4 Buktikan jika f, g : D R m kontinu seragam pada D, maka αf + βg kontinu seragam pada D untuk setiap α, β R.
Sebuah fungsi dua peubah, f (x, y), dapat dipandang sebagai suatu fungsi dari x saja, atau y saja, atau x dan y bersama. Misal D R n, E R m, dan f : D E R k. Untuk x 0 D, kita definsikan f(x 0, ) : E R k sebagai fungsi f(x 0, )(y) = f(x 0, y), y E. Serupa dengan itu, untuk y 0 E, kita definsikan f(, y 0 ) : D R k sebagai fungsi f(, y 0 )(x) = f(x, y 0 ), x D.
Fungsi f dikatakan kontinu per komponen di (x 0, y 0 ) D E apabila fungsi f(x 0, ) kontinu di y 0 dan fungsi f(, y 0 ) kontinu di x 0. Fungsi f dikatakan kontinu secara gabungan (atau, singkatnya, kontinu) di (x 0, y 0 ) apabila f kontinu di (x 0, y 0 ). Jika f kontinu secara gabungan di (x 0, y 0 ), maka f kontinu per komponen di (x 0, y 0 ); namun kebalikannya tidak berlaku.
Contoh 14 Misalkan f : R 2 R didefinisikan sebagai { 0, (x, y) = (0, 0) f (x, y) = 2xy, (x, y) (0, 0), x 2 +y 2 Maka, f kontinu per komponen di (0, 0) tetapi tidak kontinu (secara gabungan) di (0, 0) karena sepanjang garis y = mx, fungsi f bernilai konstan 2m 1+m 2.
Soal Latihan 1 Selidiki apakah fungsi dua peubah berikut { 0, (x, y) = (0, 0) f (x, y) = xy 2, (x, y) (0, 0), x 2 +y 4 kontinu atau hanya kontinu per komponen di (0, 0).