Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika - Seperti yang telah kita ketahui bersama, suatu permasalahan dapat dituliskan dalam bahasa matematika. Suatu permasalahan tentu mempunyai bentuk penyelesaian yang optimum. 1. Fungsi Objektif z = ax + by Fungsi tujuan dalam pembuatan model matematika dinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk z = ax + by yang akan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan) tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dari program linear adalah fungsi z = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut. a. Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y Kendala: 5x + 4y 20 x + 2y 24 x, y 0, dengan x, y ϵ C b. Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3y Kendala: x + y 500 4x + 2y 200 x, y 0 x, y ϵ C 2. Cara Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif Dari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuan utama dari program linear, yaitu menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari suatu fungsi objektif. Untuk
menyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengan nilai optimum, langkah-langkah pemecahannya adalah sebagai berikut. a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika. b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai. c. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesius yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear. d. Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif. e. Menafsirkan/menjawab permasalahan. Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum dari program linear, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik. a. Metode Uji Titik Sudut Metode uji titik sudut adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by dengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian membandingkan nilai-nilai yang telah diperoleh. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by. Contoh Soal 1 : Tentukan nilai optimum dari model matematika berikut. Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y Kendala: 3x + 2y 12 x, y 0 x, y ϵ R Penyelesaian :
Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinat disajikan dalam tabel berikut. x 0 4 y 6 0 (x, y) (0, 6) (4, 0) Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0). Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah itu, tentukan daerah penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia. Gambar 1. Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinat. Dari Gambar 1, terlihat daerah penyelesaian dari kendala-kendala adalah daerah segitiga OAB, sehingga diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(4, 0), dan B(0, 6). Selanjutnya, selidiki nilai bentuk objektif z = x + y untuk masing-masing titik sudut tersebut. Titik O(0, 0) A(4, 0) B(0, 6) x 0 4 0 y 0 0 6 z = x + y 0 4 6 z maks
Dari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + y adalah 6, yaitu untuk x = 0 dan y = 6. Contoh Soal 2 : Diketahui suatu model matematika sebagai berikut. Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10y Kendala-kendala: 5x + 4y 20 9x + 8y 72 x, y 0 x, y ϵ C Tentukan nilai minimum dari model matematika tersebut. Pembahasan : Dari kendala-kendala yang ada yaitu 5x + 4y 20 dan 9x + 8y 72, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat Cartesius. x 0 4 y 5 0 (x, y) (0, 5) (4, 0) x 0 8 y 9 0 (x, y) (0, 9) (8, 0) Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan titik-titik potong tersebut dengan garis lurus. Setelah itu, kita arsir daerah penyelesaiannya, seperti gambar di bawah ini.
Gambar 2. Titik potong garis 5x + 4y 20 dan 9x + 8y 72. Dari gambar di samping, terlihat daerah penyelesaiannya adalah segi empat ABCD. Dengan demikian, diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah A(4, 0), B(8, 0), C(0, 9), dan D(0, 5). Selanjutnya, akan diselidiki nilai 8x + 10y untuk masing-masing titik sudut tersebut. Titik A(4, 0) B(8, 0) C(0, 9) D(0, 5) x 4 8 0 0 y 0 0 9 5 Z = x + 10y 32 64 90 50 z min z maks Dari tabel di atas, terlihat bahwa nilai minimum bentuk objektif z = 8x + 10y adalah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0. Contoh Soal 3 : Diketahui luas lahan parkir 360 m 2. Untuk sebuah mobil dan sebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m 2 dan 24 m 2. Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jika biaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah bus Rp3.000,00. Jawaban :
Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika dengan cara membuat tabel seperti berikut. Mobil (x) Bus (y) Persediaan Luas Lahan 6 24 360 Daya Tampung 1 1 30 Biaya Parkir 1.500 3.000 Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Dari tabel di atas dapat dibuat model matematika berikut. Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000y Kendala: 6x + 24y 360 atau x + 4y 60 x + y 30 x 0 y 0 x, y ϵ C Kita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30 dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada kedua tabel berikut. x 0 60 y 51 0 (x, y) (0, 15) (60, 0) x 0 30 y 30 0 (x, y) (0, 30) (30, 0) Kita buat daerah himpunan penyelesaian kendala-kendala dalam bidang Cartesius. Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.
Dengan mensubstitusikan y = 10 ke salah satu persamaan, diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (20, 10). Gambar 3. Titik potong garis 6x + 24y 360 atau x + 4y 60. Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaiannya mempunyai empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), dan C(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x + 3.000y untuk masing-masing titik sudut. Perhatikan tabel berikut. Titik O(0, 0) A(30, 0) B(20, 10) C(0, 15) x 0 30 20 0 y 0 0 10 15 Z = x + 3.000y 0 45.000 45.000 60.000 z maks Dari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalah z = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10.
Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilan maksimum, yaitu Rp 60.000,00 jika ia dapat menerima parkir mobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah. b. Metode Garis Selidik ax + by = k Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi objektif z = ax + by adalah dengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Langkah-langkah untuk menggunakan metode garis selidik ini adalah sebagai berikut. 1. Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X di titik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a). 2. Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melalui titik-titik perpotongan pada batas-batas daerah himpunan penyelesaian. 3. Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada di paling kanan menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada di paling bawah atau di paling kiri pada daerah himpunan penyelesaian menunjukkan nilai minimum. Contoh Soal 4 : Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektif z = 2x + 3y yang memenuhi x + y 7, x 0, dan y 0, x, y ϵ R. Penyelesaian : Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah seperti gambar di samping. Untuk menggunakan metode garis selidik ax + by = k, ikutilah langkah-langkah berikut. a) Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) 2x + 3y = 6. Anggap sebagai garis k0. b) Tariklah garis k1 yang sejajar garis k0 melewati titik A(7, 0). Tarik garis k2 yang sejajar k1 dan melalui titik B(0, 7). Kemudian, tarik garis k3 yang sejajar k2 dan melalui titik (0, 0).
Gambar 4. Nilai maksimum da minimum dari z = 2x + 3y. Terlihat bahwa dari Gambar 4, garis k2 letaknya paling atas, berarti nilai maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0, 7). Jadi, nilai maksimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(7) = 21. Garis k3 letaknya paling bawah, berarti nilai minimum dicapai pada titik O(0, 0) sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(0) = 0. Contoh Soal 5 : Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut. Pembahasan : Untuk menjawab permasalahan di atas, terlebih dahulu kita terjemahkan ke dalam model matematika. Untuk mempermudah, kita buat tabel seperti berikut.
Kandungan Pupuk I (x) Pupuk II (y) Kebutuhan Fosfor 30 20 600 g Nitrogen 30 40 720 g Harga 17.500 14.500 Misalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y. Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut. Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y. Dari gambar di samping, terlihat bahwa titik B merupakan perpotongan garis 3x + 2y = 60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukan koordinat titik B sebagai berikut. Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salah satu persamaan garis di atas, diperoleh x = 16. Oleh karena itu, koordinat titik B adalah B(16, 6). Gambar 5. Koordinat titik B. Terlihat dari Gambar 5, titik B terletak paling kiri dari batas-batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada titik B(16, 6), yaitu : z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000.
Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalah Rp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6 bungkus pupuk II. Contoh Soal 6 : Tentukan nilai maksimum dari 4x + y yang memenuhi 3x + y 8, x 0, y 0 dan x, y ϵ C. Kunci Jawaban : Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. Gambar 6. Titik sudut. Dari Gambar 6. diperoleh titik sudut O(0, 0), A( 2 2/3, 0), dan B(0, 8). Karena absis dari titik A bukan merupakan bilangan cacah, harus dicari titik pada daerah yang diarsir, dengan absis dan ordinat merupakan bilangan cacah dan letaknya dekat titik A (2 2/3, 0). Titik yang sesuai dengan syarat di atas adalah (2, 0) dan (2,1).
Titik O(0, 0) A1(2, 0) A2(2, 1) B(0, 8) x 0 2 2 0 y 0 0 1 8 = 4x + y 0 8 9 8 z maks Dari tabel di atas, diperoleh nilai maksimum fungsi z = 4x + y adalah z = 9, untuk x = 2 dan y = 1. Anda sekarang sudah mengetahui Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif.