Matematika Ekonomi Bab I Himpunan 1.1 Pengantar Pernahkah kalian masuk ke sebuah supermarket? Tentu hampir semua orang pernah ke sana. Hal yang kita lihat adalah susunan barang yang sejenis ditempatkan pada tempat yang sama. Tentu ada maksud terhadap tindakan tersebut, yang mana tidak lain adalah untuk mempermudah kita mencari dan mendapatkan barang dengan cepat. 1.2 Pengertian Himpunan Himpunan adalah sekumpulan obyek yang diberikan batasan serta dirumuskan secara tegas dan dapat dibedakan satu dengan yang lainnya 1.3 Penulisan Suatu Himpunan Himpunan dituliskan dengan notasi { } dan anggotanya ditulis di dalam kurung kurawal tersebut. Ada dua (2) cara penulisan suatu himpunan; 1) Pertama : cara Tabulasi (Roster Method) A = {IESP, Manajemen, Akutansi} B = {Merah, Kuning, Hijau} CONTOH 1-1 2) Kedua : cara pencirian (Rule Method) A = { x I x jurusan di FEB UGM} B = { x I x Warna Lampu Lalu Lintas} Suatu elemen yang merupakan anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan notasi (epsilon). Sedangkan untuk menyatakan bukan anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan CONTOH 1 2 : (a) A = { x I x kopmoditi non migas } Maka 1. Kopi A 3. Kopra A 2. Ikan Gabus A 4. Pertalite A 1.4 Jenis Himpunan dan Diagram Venn a. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga - Himpunan Berhingga Himpunan berhingga ialah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung - Himpunan Tak Berhingga Himpunan berhingga ialah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak dapat dihitung 1
CONTOH 1 3: Himpunan berhingga B = { x I x Jurusan di FEB UGM } B = {IESP, Manajemen, Akutansi} Himpunan tak berhingga P = { x I x Bilangan Asli } P = { 1, 2, 3, 4,...} b. Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki anggota. Notasinya atau { } c. Himpunan Semesta dan Himpunan Bagian Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua obyek atau elemen yang menjadi perhatian kita. Notasinya U atau S Himpunan Bagian Himpunan A merupakan bagian dari B jika dipenuhi dua syarat yaitu: (1) Setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B (2) Paling tidak ada satu buah anggota himpunan B yang bukan merupakan anggota himpunan A Notasinya : C d. Komplemen Suatu Himpunan CONTOH 1-7 : himpunan universal U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = { 1, 3, 5, 7 } maka A c = { 2, 4, 6, 8 } e. Himpunan yang Sama CONTOH 1 8 A = { 1. 2. 3. 4 } dan B = { 4, 3, 2, 1 } Maka A = B f. Himpunan Ekivalen (Setara dalam hal jumlah) Notasinya : ~ CONTOH 1 9: A = { a, b, c } maka: B = { apel, pir, alpukat } n (A) = 3 C = { 1, 3, 5 } n (B) = 3 Jadi A ~ B ~ C n (C) = 3 2
g. Banyaknya Himpunan Bagian Suatu Himpunan n (A) = n 2 n CONTOH 1 10 A = { a, b, c } = 2 n = 2 3 = 8 h. Diagram Venn Diagram venn adalah diagram yang menunjukkan gambaran suatu himpunan atau gambaran himpunan dalam hubungannya dengan himpunan yang lain. 1.5 Operasi Himpunan 1) Operasi Gabungan (Union) u Notasinya ; A u B = { x I x A atau x B } CONTOH 1 12 A = {3, 4, 5, 6} maka A u B = { 3, 4, 6, 7, 8, 9} B = {4, 6, 8, 9} Diagram venn-nya: CONTOH 1 13: C = {a, b, c} D = {1, 2, 3} maka C u D = { 1, 2, 3, a, b, c } Diagram venn-nya: CONTOH 1 14: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka A u B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 1, 2, 3 } Diagram venn-nya: 3
2) Operasi Irisan (Interseksi) Notasinya ; A n B = { x I x A dan x B } CONTOH 1 15 A = { a, b, c } maka A n B = { a, b } B = { a, b, d } Diagram venn-nya: CONTOH 1 16 : P = {1, 2, 3 } maka P n Q = { 1, 2, 3 } Q = { 1, 2, 3, 4, 5 } Diagram venn-nya: CONTOH 1 17 : P = { a, b, c } maka P n R = atau { } R = { k, l, m, n } Diagram venn-nya: 4
3) Operasi Selisih Notasinya ; A - B = { x I x A dan x B } CONTOH 1 18: A = { 5, 6, 7, 8 } maka, A B = { 6, 8 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } Diagram venn-nya: CONTOH 1 19 : P = { a, b, t, r, s } maka P R = { b, s } R = { a, t, r } Diagram venn-nya: 4) Operasi Tambah Notasinya ; A + B = { x I x A atau x B, dan x (A n B)} = { x I x (A u B) dan x (A n B)} Contoh 1 20: A = { a, b, c, d, e } maka A + B = { a, b, c, d, f, g } B = { d, e, f, g } Diagram venn-nya: 5
1.6 Hukum-hukum Operasi Himpunan (1) Hukum Komutatif a. A u B = B u A b. B n A = B n A (2) Hukum Asosiatif a. ( A u B ) u C = A u ( B u C ) b. ( A n B ) n C = A n ( B n C ) (3) Hukum Distributif a. A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A n C ) b. A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C ) (4) Hukum De Morgan a. ( A u B ) C = A C n C C b. ( A n B ) C = A C u C C (5) Hukum Idempoten a. A u A = A b. A n A = A (6) Hukum Kelengkapan (7) Sifat-sifat lain dari Operasi Himpunan 1.7 Sistem dan Himpunan Bilangan Pengelompokan Bilangan a. Diagram Cabang b. Diagram Venn Jenis Bilangan dan Himpunan Bilangan (1) Bilangan Bulat B B = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... } (2) Bilangan Asli A A = { 1, 2, 3, 4, 5... } (3) Bilangan Cacah C C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5... } (4) Bilangan Prima P P = { 2, 3, 5, 7... } (5) Bilangan Rasional Q Q = { 2, 3, 4, 5, 6 } (6) Bilangan Irrasional Q C Q C = { 3, 5,... } 6
(7) Bilangan Komplek K = { 5 + 2i, 5 2i,... } Contoh Soal 1: Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki? Pembahasan: untuk mencarinya, kita gunakan rumus himpunan berikut: n{aλb} = (n{a} + n{b}) - (n{s} - n{x}) n{aλb} = (30 + 28) - (40-4) n{aλb} = 58-36 n{aλb} = 12 Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut adalah 12 ekor. Contoh Soal 2: Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah diagram venn-nya. Pembahasan: Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut: n{aλb} = (n{a} + n{b}) - (n{s} - n{x}) n{aλb} = (27 + 26) (45 5) 7
n{aλb} = 13 Maka dapat disimpulkan bahwa: Siswa yang menyukai matematika saja = 27-13 = 14 siswa Siswa yang menyukai bahasa inggris saja = 26-13 = 13 siswa Maka gambar diagram venn-nya adalah: Contoh Soal 3: Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja? Pembahasan: Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah: n{aλb} = (n{a} + n{b}) - (n{s} - n{x}) n{aλb} = (75 + 63) (150 32) n{aλb} = 138 118 n{aλb} = 20 siswa Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 20 = 55 orang 8
Siswa yang memilih masuk SMK saja = 63 20 = 43 orang Contoh Soal 4: Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur? Pembahasan: n{aλb} = (n{a} + n{b}) - (n{s} - n{x}) 9 = (18 + 25) - (40 - n{x}) 9 = 43-40 + n{x} 9 = - 3 + n{x} 9 + 3 = n{x} n{x} = 12 9
LATIHAN SOAL BAB I 1) H = { x I x < 20, x Bilangan Prima } a. Ubahlah cara penulisan himpunan H di atas dengan cara Tabulasi (Roster Method) b. Berapa banyak himpunan bagian dari H? 2) P = { 2, 3, 4 }, Q = { 4, 5, 6, 7 } dan R = { 7, 8, 9 } Tentukanlah : a. P u ( Q n R ) b. ( P u Q ) n ( P u R ) 3) Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut. Referensi: - Matematika Ekonomi Nata Wirawan - http://kikysimple.blogspot.co.id/2012/09/matematika-ekonomi-sesi-1-himpunan.html (2015) - http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/contoh-soal-himpunan-matematikadan.html (2015) nb. #This material merely used for education (nor for commercial). #UNISKA MUHAMMAD ARSYAD AL-BANJARY FE 2016/2017 #Matematika Ekonomi #Dosen: M. Rizki, S. Pd (Kandidat Magister) 10