MATEMATIKA EKONOMI Program Studi : S1 Manajemen S1 Akuntansi Dosen Pengampu: Djayadi Nugroho, S.Kom, M.Kom Website: nugroho.stiemj.ac.id
PERSYARATAN KULIAH Kehadiran minimal 80 % Tugas terstruktur Tugas mandiri Ujian tengah semester Ujian akhir semester Di kelas nada dering HP dinonaktifkan Wajib pakai sepatu Tidak memakai kaos
Buku Referensi Dumairy, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi ke 2, Penerbit BPFE, Yogyakarta Chiang, Alpha C., Dasar dasar Matematika Ekonomi, Edisi ke 4, Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta Kalangi, Josep Bintang, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Buku 1, Penerbit Salemba Empat, Jakarta Soeprapto, Matematika (Kalkulus) Assauri, Sofyan, Pengantar Matematika Ekonomi H.Johannes & Budiono Sri Handoko, Pengantar MatematikauntukEkonomi, LP3S, Jakarta Weber, Jean E., Matemathical Analysis: Business and Economic Applications, 4 th edition, McGraw Hill, New York
SATUAN ACARA PERKULIAHAN Tatap Muka Pokok Bahasan Materi Referensi I II Pendahuluan 1. Sifat sifat matematika Ekonomi 2. Model ekonomi 3. Himpunan 4. Bilangan Pangkat, akardan logaritma III IV V VI VII Limit & Kesinambungan Fungsi Deferensial Fungsi Sederhana & Deferensial Fungsi Majemuk Aplikasi Deferensial Dalam Ekonomi 1. Pengertian limit 2. Kaidah kaidah limit 3. Kesinambungan 4. PenerapanEkonomi e o 1. Derivatif 2. Kaidah kaidah deferensial 3. Deferensial parsial & derivatif parsial 4. Nilai Ekstrim (max & min) 1. Elastisitas permintaan 2. Elastisitas penawaran 3. Elastisitas produksi 4. Biaya marjinal 5. Penerimaan marjinal VIII U T S U T S Dumairy (Bab 1 & 3) Chiang (Bab 1& 2) Kalangi (Bab 1 & 2) Dumairy (Bab 8) Chiang (Bab 6) Kalangi (Bab 13) Dumairy (Bab 9 ) Chiang (Bab 6) Kalangi (Bab 13) Dumairy (Bab 10 ) Chiang (Bab 7) Kalangi (Bab 15)
SATUAN ACARA PERKULIAHAN Tatap Muka IX Pokok Bahasan Materi Referensi Fungsi Dan Penggambaran Grafik 1. Pengertian & unsur unsur Fungsi 2. Jenis jenis Fungsi 3. Penggambaran fungsi Linear & non linear X XI Fungsi Linear 1. Pembentukan persamaan 2. Hubungan dua garis lurus 3. Mencari akar fungsi XII XIII Aplikasi Fungsi Linear 1. Fungsi permintaan,penawaran dan XIV XV Dl Dalam Bisnis i (Mikro) Aplikasi Fungsi Linear Dalam Bisnis (Makro) Keseimbangan pasar 2. Pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar 3. Pengaruh keseimbangan dua komoditi 4. Fungsi biaya, penerimaan, break even point (titik pulang pokok) 1. Fungsi konsumsi, tabungan dan multiplier 2. Pendapatan disposible 3. Fungsi pajak, investasi, impor 4. Analisis Pendapatan Nasional XVI U A S U A S Dumairy (Bab 5 ) Kalangi (Bab 3) Dumairy (Bab 6 ) Kalangi (Bab 4) Dumairy (Bab 6 ) Kl Kalangi i(bab 6) Dumairy (Bab 6 ) Kalangi (Bab 6)
SIFAT SIFAT MATEMATIKA EKONOMI
Matematika Ekonomi bukan merupakan cabang tersendiri dari ilmu ekonomi, tidak seperti keuangan negara atau perdagangan internasional. Matematika ekonomi lebih merupakan pendekatan untuk analisis ekonomi. Para ahli ekonomi (Ekonom) menggunakan simbol simbol matematis untuk menyatakan permasalahan dan juga menggunakan dalil dalil matematis yang terkenal untuk membantu didalam pembahasannya. Matematika ekonomi dapat digunakan dl dalam teori ekonomi makro atau mikro, keuangan negara, ekonomi perkotaan, dll
Perbedaan Mendasar No Matematika Ekonomi Non Matematika Ekonomi. 1 Asumsi dan Kesimpulan dinyatakan dl dalam simbol matematis Asumsi dan kesimpulan dinyatakan dl dalam kata katak 2 Mengandung Persamaan Mengandung kalimat kalimat persamaan 3 Permasalahan diselesaikan Permasalahan diselesaikan dg Dalil Matematis dengan Logika
Perbedaan Mendasar No Matematika Ekonomi Ekonometrika. 1 Penerapan Matematis pada Pengukuran data ekonomi aspek teoritis ii murni dari analisa ekonomi 2 Mengabaikanmasalah PengamatanEmpiris (Analisa Statistik Empiris) 3 Bahan Teori (Analisa Teoritis) Penaksiran dg Metode Statistik 4 Penalaran Deduktif Pengujian Hipotesa
Hubungan Antara Matematika Ekonomi Dan Ekonometrika k Teori harus diuji terhadap data empiris untuk kebenarannya sebelum diterapkan. Sedangkan Statistik memerlukan Teori Ekonomi untuk dapat menentukan arah penelitian yang paling relevan dan bermanfaat. Jadi Matematika Ekonomi sebagai prasyarat untuk mempelajarai Statistik dan Ekonometrika
Sifat sifat Matematika Ekonomi Bahasayang dipergunakanringkas dantepat Kaya akan dalil dalil matematis sehingga mempermudah pemakaiannya Mendorong kita untuk menyatakan asumsi asumsi secara jelas sebagai prasyarat mempergunakan dalil matematis Memungkinkan kita untuk mempergunakan sebanyak n Variabel
MODEL EKONOMI
Model Ekonomi = Penyederhanaan hubungan antara variabel variabel ekonomi Model Ekonomi dapat berbentuk model matematika dan Non Matematika Apabila berbentuk model matematika maka akan terdiri atas satu atau sekumpulan persamaan Persamaan terdiri atas sejumlah variabel, konstanta, koefisien dan atau parameter
Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Parameter Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah ubah dalam suatu masalah tertentu Misalnya : Harga (Price) = P, Jumlah yang diminta/ditawarkan (Quantity) = Q, Biaya (Cost) = C, Penerimaan (Revenue) = R, Investasi (Investment) = I, Tingkat Bunga (Interest Rate) = I, dan lain lain. Akan tetapi, jika telah dinyatakan bahwa P = 3 atau C =18,makanilai variabel blini sudah dh tertentu, yaitu3 untuk P dan 18 untuk C (dalam satuan yang dipilih secara tepat)
Variabel terdiri dari : Variabel Endogen = variabel yang nilai penyelesaiannya diperolehdari dalammodel Variabel Eksogen (variabel yang nilai nilainya diperoleh dari luar model atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada. Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubah ubah dalam suatu masalah tertentu.
Koefisien adalah angka pengali terhadap variabelnya, misal 5R; 4P atau 0.3C Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam suatu masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah yang lainnya. (Biasanya dilambangkan dengan huruf awal abjad Yunani atau Arab), misalnya α, β atau a, b dan c.
Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaanadalahadalah penyataan bahwa dua lambang adalah sama. Disimbolkan dengan tanda = (dibaca : sama dengan ) Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakanbahwa dua lambang adalahtidak sama. Disimbolkan dengan tanda < (baca lebih Kecil ) atau > (baca lebih besar)
Persamaan dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis terdiri dari 3 (Tiga) Macam, yaitu: 1. Persamaan Definisi (Identity, =) adalah suatu bentuk kesamaan diantara dua pernyataan yang mempunyai arti yang sama. Contoh : π = R C (Total Laba adalah selisih antara total pendapatan dan total biaya). 2. Persamaan Perilaku (behavioral equation) adalah suatu persamaan yg menunjukkan bahwa perubahan perilaku suatu variabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya yg ada hubungannya. Contoh : C = 75 + 10Q, C = 110 + Q 2 3. Persamaan Bersyarat (conditional equation) adalah suatu persamaan yang menggambarkan persyaratan untuk pencapaian keseimbangan (equilibrium). Misalnya; Q d = Q s (jumlah yang diminta = jumlah yang ditawarkan) dan S = I (tabungan yang diharapkan = investasii yang diharapkan)
Sistem Bilangan Nyata Bilangan Nyata Bil. Rasional Bil. Irrasional Bil. Bulat Bil. Pecahan Bil. Negatif Nol Bil. Positif
HIMPUNAN
Konsep Himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi ilmu matematika modern pada umumnya dan dibidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya. Karena dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan himpunan/sekelompok data observasi dari lapangan
Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas. Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D,,Z dan objek objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma Contoh : A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
SOAL : 1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atausama dengan 15 2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan 5 tetapi kurang dari 10 Jawaban : 1. B = { x 3 < x 15} 2. C = { x 5 x < 10}
Keanggotaan Suatu Himpunan Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(a) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(b) = 6
Contoh soal : Andaikankitamemilikidatabeberapahimpunansebagai berikut: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {0,1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9} C = {0,1,2,3,4} Kesimpulan yang bisa ditarik berkenaan data diatas adalah : 1. x U, dimana 0 x 9 5. A U B U C U 2. y A, dimana 0 y 4 6. A = C A B B C 3. z B, dimana 5 z 9 4. y C, dimana 0 y 4
Himpunan Kosong Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau D = { x x orang yang tingginya lebih dari 5 m} F = { x x bilangan prima antara 7 dan 11 } Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11? (coba pikir)
Himpunan Lepas Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama Contoh: L ={ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }, G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Coba kli kalian perhatikan, htik adakah dkhanggota himpunan L dan G yang sama? Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas.
Himpunan Tidak Saling Lepas Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama. Contoh : P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8.
Himpunan Bagian A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A B. Contoh: S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 } a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A? b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A?
Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B A Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C A
Rumus Banyaknya Himpunan Bagian Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(a) maka banyaknya himpunan bagian daria adalah dlhsebanyak k2 n(a). Contoh : Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut : 1. A = { a, b, c } 2. B={1,2,3,4,5} 3. C={2,3,4,5,6,7,8} Jawab : 1. n(a) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 2 3 =2x2x2=8 2. n(b) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 2 5 =2x2x2x2x2=32 3. n(c) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 2 7 =2x2x2x2x2x2x2=128
Himpunan Sama Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya. Contoh : A = { a, i,u,e,o} ; B={u,a,i,o,e} Kedua himpunan A dan B anggota anggotanya sama yaitu a,i,u,e,,,,, dan o maka himpunan A = B
Himpunan Ekuivalen Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah ua pu a d ata a u ae apab a ju a anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama. Contoh : P={a,i,u,e,o} Q={1,2,3,4,5} Kedua himpunan P dan Q anggota anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )
Irisan Dua Himpunan (Interseksi) Irisan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B. Contoh : BilaP={a,b,c,d,e}danQ={d,e,f,g,h}. Tentukan P Q Jawab : P Q = { d, e }
Gabungan Dua Himpunan ( Union) Gabungan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B. Contoh : BilaP={a,b,c,d,e}danQ={d,e,f,g,h}. Tentukan P Q Jawab : P Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }
Diagram Venn Langkah langkah menggambar diagram venn Daftarlah setiap anggota dari masing masing himpunan Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersamasama Letakkan anggota himpunan yang dimiliki lk bersama ditengah tengah h Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi Lingkaran yang dibuat tdidit tadi ditandaid i dengan nama nama himpunan Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu Buatlah segiempat yang memuat lingkaran lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap
Contoh : Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }; A = { 1,2,3,4,5,6 }; B = { 2,4,6,8,10 }; C = { 3,6,9,12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas! Jawab :
Jawab:
Contoh : Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? Jawab : N(S) () = 32,Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(a) = 21 B = {siswa gemar menari} n(b) = 16 C = {siswa gemar melukis dan menari} n(c) = n(a B) = 10
Jawab : N(S) = 32, Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(a) = 21 B = {siswa gemar menari} n(b) = 16 C = {siswa gemar melukis dan menari} n(c) = n(a B) = 10
Diagram Venn a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari. c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya
Contoh : Diketahui : S={x 10<x 20, x B}, M = { x x > 15, x S}, N = { x x > 12, x S} Gambarkanlah Diagram Ven nya! Jawab :
Jawab : S ={ x 10 < x 20, x B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } M = { x x > 15, x S } = { 16,17,18,19,20} N = { x x > 12, x S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} M N = { 16,17,18,19,20 } DiagramVennya adalah dlh sbb:
Contoh : Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso? c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay? Jawab : N(S)=60, Misalnya : A={siswa suka bk bakso} n(a) = 20 B = {siswa suka siomay} n(b) =46 (A B) C = {tidak suka kd keduanya} n((a B) C ) = 5 Maka A B = {suka keduanya} n(a B) = x
{siswa suka bakso saja} = 20 x {siswa suka siomay saja} = 46 x Perhatikan Diagram Venn berikut : n(s) = (20 x) + x + (46 x) + 5 60 = 71 x x = 71 60 = 11 a. siswa yang suka keduanya adalah x = 11 orang b. siswa suka bakso saja = 20 x = 20 11 = 9 orang c. siswasukasiomaysaja= 46 x = 46 11 = 35 orang