Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 1 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id Tel. / Fax.: +62 714 321099 1
Teori Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Obyek diskrit dalam kehidupan sehari hari : buku, komputer, mahasiswa, nilai ujian,dll Pada prakteknya, data yang diolah komputer adalah dalam bentuk diskrit, misalnya angka, karakter, suara, gambar (digital) Dalam membicarakan obyek diskrit, kita sering menjumpai situasi yang berhubungan dengan sekumpulan obyek dalam suatu kelompok atau kelas 2
Enumerasi (Mendaftar semua anggotanya) Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal Contoh 1 - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2,..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }. 3
Enumerasi Cont Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. 4
Enumerasi Cont (2) Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} maka 3 A 5 B {a, b, c} R c R {} K {} R 5
Enumerasi Cont (3) Contoh 3 Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}} maka a P1 a P2 P1 P2 P1 P3 6
Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3,...} N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2,...} Z = himpunan bilangan bulat ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...} Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}. 7
Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 4 i. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5 A = { x x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} ii. iii. M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil matakuliah mtk terapan, M={x x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah mtk terapan} B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai berikut B={2,4,6,8} 8
Notasi Pembentuk Himpunan Cont.. Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan: 1. Dibagian dikiri tanda melambangkan elemen himpunan 2. Tanda dibaca dimana atau sedemikian sehingga 3. Bagian dikanan tanda menunjukkan syarat keanggotaan himpunan 4. Setiap tanda, didalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan 9
Diagram Venn Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpuna ini diperkenalkan oleh matematikawan inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. Didalam diagram venn, himpunan semesta U digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran didalam didalam segi empat tersebut. Anggota anggota suatu himpunan berada didalam lingkaran, sedangkan anggota himpunan lain berada dalam lingkaran yang lain pula Ada kemungkinan 2 himpunan memiliki anggota yang sama dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota u yang tidak termasuk didalam himpunan manapun digambarkan diluar lingkaran 10
Diagram Venn Contoh Misalkan U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: A dan B mempunyai anggota bersama yaitu 2 dan 5. anggota yang lain yaitu 7 dan 4tidak termasuk didalam himpunan A dan B 11
Kardinalitas (jumlah elemen himpunan) Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka Jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(a) atau A Contoh 6 (i) B = { x x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3 Himpunan yang tidak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka R =tak hingga, begitu juga himpunan bilangan bulat tak negatif, himpunan garis yang melalui titik pusat koordinat, himpunan titik di sepanjang garis y = 2x + 3, dan lain-lain. 12
Himpunan Kosong Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).himpunan yang tidak memiliki satu elemenpun Notasi : atau {} Contoh 7 (i) E = { x x < x }, maka n(e) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(p) = 0 (iii) A ={x x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(a)=0 13
Himpunan Kosong Cont Perhatikan bahwa himpunan {{}} dapat juga ditulis sebagai{ }, begitu pula himpunan {{},{{}}} dapat juga ditulis sebagai {,{ }}. Pehatikan juga bahwa { } bukan himpunan kosong melainkan dia memuat satu elemen yaitu Istilah seperti kosong, hampa, nihil ketiganya mengacu pada himpunan yang tidak mengandung elemen, tetapi istilah nol tidak sama dengan ketiga istilah diatas, sebab nol menyatakan sebuah bilangan tertentu. 14
Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn: U A B 15
Himpunan Bagian (Subset) Cont Contoh 8 i. { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} ii. {1, 2, 3} {1, 2, 3} iii. N Z R C iv. Jika A = { (x, y) x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A. 16
Latihan 1. Tunjukkan bahwa A={a,b,c} adalah himpunan bagian sebenarnya dari B={a,b,c,d,e,f} 17
Penyelesaian Untuk menunjukkan bahwa A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B, perlihatkan bahwa setiap elemen didalam A juga elemen didalam B dan sekurang-kurangnya ada 1 elemen B yang tidak terdapat didalam A. Setiap elemen dari A adalah juga elemen dari B sehingga A B. sebaliknya d B tetapi d A, oleh karena itua tidak sama dengan B. dengan demikian A adalah himpunan bagian sebenarnya dai B, kita tuliskan AcB 18
Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A 19
Himpunan yang Sama Cont Analisa Contoh 9 berikut: i. Jika A = { 0, 1 } dan B = { x x (x 1) = 0 }, maka A = B ii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B iii. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: a. A = A, B = B, dan C = C b. jika A = B, maka B = A c. jika A = B dan B = C, maka A = C 20
Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B Contoh 10 Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B ={ a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4 21
Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. U Notasi : A // B A B Diagram Venn: Contoh 11. Jika A = { x x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,... }, maka A // B. 22
Referensi Matematika Diskrit : Rinaldi Munir 23