BAB I PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang

1 BAB I PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Bendungan atau dam adalah konstruksi yang dibangun untuk menahan laju air menjadi waduk, danau, atau tempat rekreasi. Salah satu dari bendungan di Indonesia, yaitu Bendungan Jenderal Soedirman, Kabupaten Banjarnegara, Provinsi Jawa Tengah. Lokasi Bendungan Jenderal Soedirman meliputi wilayah Sungai Serayu yang dibendung dan membentuk waduk yang luas. Fungsi utama dari Waduk Mrica sebagai pembangkit listrik tenaga air yang pengelolaannya berada di bawah PT. Indonesia Power. Bendungan Panglima Besar Jenderal Soedirman merupakan struktur yang berada di atas tanah. Kondisi struktur yang demikian, maka sangat dimungkinkan bahwa bendungan tersebut mengalami pergeseran atau kerusakan. Jika bendungan terdeformasi maka dapat memberikan kerugian yang banyak dan sangat berbahaya untuk permukiman di sekitar bendungan. Kerusakan bendungan menimbulkan dampak negatif seperti jebolnya bendungan. Kerusakan atau jebolnya Bendungan Jenderal Soedirman dapat menenggelamkan dan merusak desa-desa yang berada di bawahnya. Kerugian yang terjadi akan sangat besar. Untuk mengantisipasi dampak yang terjadi, maka dilakukan pemantauan pada Bendungan Jenderal Soedirman. Pemantauan bendungan sebagai pencegahan bahaya dilakukan sesuai dengan karakteristik bendungan di lapangan (Gumilar dkk, 013). Pemantauan dilakukan dengan melakukan pengukuran sudut dan jarak titik-titik pantau dari titik referensi yang ditetapkan menggunakan alat Total Station oleh pihak PLTA PT. Indonesia Power. Pengukuran dilakukan secara berkala untuk memperoleh posisi (X,Y) setiap titik pantau. Ketelitian yang tinggi sangat diperlukan agar dapat merepresentasikan pemantauan dari bendungan. Nilai koordinat horizontal titik pantau dengan ketelitian tinggi dapat dihasilkan menggunakan strategi perhitungan yang baik. Strategi yang dapat digunakan salah satunya dengan perhitungan kuadrat terkecil. Perhitungan kuadrat terkecil dapat

menghasilkan nilai koordinat horizontal dengan estimasi terbaik. Hal ini terjadi karena kriteria kuadrat terkecil untuk memecahkan persamaan pengamatan, yaitu nilai kuadrat residunya dijadikan minimum (Xu, 010). Pada perataan kuadrat terkecil terdapat beberapa metode perhitungan, antara lain metode minimum constraint, metode inner constraint dan metode parameter berbobot. Hitung kuadrat terkecil metode parameter sering digunakan dalam pengolahan data pemantauan bendungan dengan pengukuran berbentuk jaring. Bentuk pengukuran Bendungan Jenderal Soedirman berupa pengukuran dengan satu titik ikat. Karakteristik setiap metode dapat mempengaruhi ketelitian nilai koordinat hasil dari hitungan. Karakteristik dari metode parameter minimum constraint dan inner constraint ini sama, yaitu merupakan metode untuk perataan jaring bebas dimana proses perataan constraint sesuai dengan kekurangan rank matriks normal. Perataan jaring bebas ini dilakukan untuk mengecek konsistensi antar sesama data ukuran atau tingkat presisinya (SNI). Metode minimum constraint dan inner constraint pada intinya menjadikan matriks (A T PA) -1 tidak singular (Leick, 004). Metode perataan parameter berbobot sudah masuk dalam kategori perataan jaring terikat karena titik ikat yang memiliki ketelitian diperhitungkan dalam perhitungannya. Perataan jaring terikat atau terkendala penuh, yaitu perataan dengan menggunakan lebih dari satu titik kontrol (titik tetap) dan data ukuran yang kualitasnya dinyatakan baik oleh hasil analisis perataan jaring bebas (SNI). Konfigurasi titik pantau dan bentuk jaring dari setiap bendungan berbeda-beda mengikuti kondisi lapangan dari bendungan, salah satunya kondisi pengukuran pada Bendungan Jenderal Soedirman yang menggunakan bentuk pengukuran radial. Dari karakteristik perhitungan jaring bebas dan terikat, maka dapat dilakukan suatu kajian mengenai metode manakah yang paling tepat untuk pengolahan data pemantauan Bendungan Jenderal Soedirman. Pada penelitian ini dilakukan analisis perbandingan tingkat ketelitian hitungan perataan titik kontrol Bendungan dari metode minimum constraint dan inner constraint serta metode parameter berbobot untuk mengetahui metode pengolahan manakah yang paling tepat untuk data pemantauan Bendungan Jenderal Soedirman.

I.. Identifikasi Masalah 1. Perlu dilakukan kajian mengenai data hasil pengukuran beserta ketelitian titiktitik pantau Bendungan Jenderal Soedirman khususnya dengan pendekatan geodetik pada tahun 017.. Belum diketahui metode perataan yang paling tepat untuk hasil pengukuran titik-titik pantau Bendungan Jenderal Soedirman. I.3. Pertanyaan Penelitian 1. Berapakah nilai ketelitian dari setiap titik pantau bendungan Jenderal Soedirman berdasarkan hasil pengukuran tahun 017?. Apakah terdapat perbedaan koordinat yang signifikan berdasarkan metode minimum constraint, inner constraint dan parameter berbobot, serta manakah metode pengolahan data yang menghasilkan nilai koordinat estimasi paling teliti? I.4. Batasan Penelitian 1. Data penelitian menggunakan data primer, yaitu data ukuran terbaru bulan Januari tahun 017.. Pengukuran menggunakan alat pengukur sudut dan jarak otomatis yaitu Total Station Leica Wild TC.1000 dan TC.1600. 3. Metode pengukuran menggunakan metode radial, yaitu satu titik sebagai titik berdirinya alat, titik lainnya menjadi titik referensi pengukuran titik-titik pantau di tubuh bendungan. 4. Proses hitungan menggunakan tiga metode hitung perataan, yaitu metode parameter minimum constraint, inner constraint dan parameter berbobot. 5. Analisis hasil pengukuran titik-titik kontrol dilakukan pada koordinat horizontal (koordinat X dan Y). 6. Analisis ketelitian setiap metode dilakukan dengan membandingkan nilai simpangan baku posisi titik pantau, uji signifikan parameter serta uji signifikansi parameter dua metode dengan tingkat kepercayaan 95%. 3

I.5. Tujuan Penelitian Berdasarkan pertanyaan penelitian yang diajukan, maka tujuan penelitian adalah sebagai berikut : 1. Memperoleh nilai koordinat X dan Y beserta ketelitian dari setiap titik pantau bendungan Jenderal Soedirman hasil pengukuran tahun 017.. Mengetahui signifikansi perbedaan nilai koordinat yang dihasilkan dari metode minimum constraint, inner constraint, dan parameter berbobot berdasarkan hasil uji signifikansi antara dua metode serta mengetahui metode pengolahan data yang menghasilkan nilai koordinat estimasi paling teliti dilihat dari ketelitian parameter yang dihasilkan. I.6. Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini antara lain : 1. Untuk bidang keilmuan, penelitian yang dilakukan dapat dijadikan contoh studi kasus dalam pemanfaatan metode hitung kuadrat terkecil yang sesuai khususnya pada hasil pengukuran radial, melalui studi analisis perbandingan ketelitian antara dua metode yang berbeda.. Untuk pihak pengelola bendungan, penelitian ini dapat memberikan gambaran ketelitian hasil pengukuran titik-titik pantau Bendungan Jenderal Soedirman, sehingga dapat dimanfaatkan untuk perbaikan metode pemantauan maupun pengolahan datanya, dalam rangka menjaga keselamatan bendungan. I.7. Tinjauan Pustaka Bendungan merupakan stuktur di atas tanah yang perlu dilakukan pemantauan sebagai tindakan preventif untuk keselamatan bendungan. Pemantauan menghasilkan ukuran sudut dan jarak untuk mendapatkan nilai koordinat dua dimensi dari titik-titik pantau bendungan. Perhitungan matematis menggunakan metode parameter terkendala minimum untuk mengolah data sudut dan jarak di Bendungan Jenderal Soedirman telah dilaksanakan pada penelitian Yulaikhah dan Widjajanti (005) pada data pengamatan tahun 00, 003, dan 004. Penelitian dilakukan menggunakan data pada kala 17 titik pantau di tubuh bendungan dan pengukuran menggunakan jaring 4

trianggulaterasi dengan alat Teodolit. Hasil perhitungan berupa nilai koordinat dua dimensi dengan ketelitian yang beragam dalam fraksi millimeter hingga desimeter. Nilai ketelitian parameter yang dihasilkan dipengaruhi oleh bentuk jaring yang digunakan, namun bentuk jaring pada tubuh bendungan telah dipasang secara permanen saat dibangunnya bendungan (Yulaikhah dan Widjajanti, 005). Titik pantau yang telah dipasang secara permanen ini menyebabkan tidak dapat dilakukan pembentukan desain jaring baru sehingga hal yang dapat dilakukan berupa mencari metode perhitungan yang tepat untuk pengolahan data sudut dan jarak hasil pemantauan. Selain pengolahan menggunakan metode parameter minimum constraint kajian mengenai pengolahan data sudut dan jarak menggunakan metode parameter inner constraint telah dilakukan pada penelitian Shodiq (015). Pada penelitian ini digunakan data pengamatan Candi Prambanan tahun 1999, 001, 011, 013, dan 015 dengan bentuk jaring berupa poligon tertutup. Penelitian pada delapan titik pantau tanpa titik ikat sebagai constraint. Hasil berupa koordinat dua dimensi titiktitik pantau dengan ketelitian yang dihasilkan pada fraksi millimeter setiap kala. Metode pengolahan sudut dan jarak untuk mendapatkan nilai koordinat titik pantau selain menggunakan metode parameter minimum constraint dan inner constraint yaitu menggunakan metode parameter berbobot. Penelitian yang berkaitan dengan pengolahan data pemantauan bendungan menggunakan metode parameter berbobot telah dilakukan oleh Yulaikhah dan Apriyanti (013). Bentuk jaring yang digunakan, yaitu jaring trianggulaterasi pada titik pantau Waduk Sermo. Pada penelitian ini, kajian ketelitian estimasi koordinat di titik-titik pantau Bendungan Soedirman, dilakukan dengan membandingkan beberapa metode perhitungan parameter. Manakah yang paling tepat untuk pengolahan data sudut dan jarak hasil pemantauan bendungan dengan bentuk pengukuran berupa radial. Metode perhitungan menggunakan tiga metode parameter, yaitu minimum constraint, inner constraint dan parameter berbobot. Penelitian ini membandingkan ketelitian tiga metode untuk hasil pengukuran titik-titik pantau tubuh bendungan Jenderal Soedirman yang belum dilakukan sebelumnya. 5

I.8. Dasar Teori I.8.1. Metode Penentuan Posisi Horizontal Jaring kontrol horizontal merupakan sekumpulan titik kontrol horizontal yang satu sama lainnya dikaitkan dengan data ukuran jarak dan/atau sudut, dan koordinatnya ditentukan dengan metode pengukuran/pengamatan tertentu dalam suatu sistem referensi koordinat horizontal tertentu (SNI). Posisi titik pada jaring kontrol horizontal dalam sistem dua dimensi (D) yaitu hanya memiliki koordinat X dan Y. Pengukuran jaring kontrol horizontal dapat menggunakan dua metode, yaitu teristris dan extrateristris. Pada pengukuran teristris bentuk jaring yang sering digunakan, yaitu poligon, triangulasi, trilaterasi, triangulaterasi, pemotongan ke muka, dan pemotongan ke belakang (Basuki, 006). Penentuan posisi horizontal selain menggunakan metode jaring juga terdapat penentuan menggunakan metode radial. Metode radial ini untuk menentukan koordinat horizontal satu titik, biasanya digunakan untuk pengukuran detil. Pengukuran metode radial memiliki bentuk yang bebas (Abidin, 00). Secara umum penentuan koordinat horizontal secara teristris menggunakan radial, didasarkan pada rumus dasar (SNI) dan pada Gambar I.1. Gambar I.1. Prinsip dasar penentuan koordinat (SNI) Xj = Xi + dij.sin Aij...(I.1) Yj = Yi + dij.cos Aij...(I.) dij Aij : jarak antara titik i dan j, dan : sudut jurusan sisi ij. : titik yang diketahui koordinatnya = : titik yang dicari koordinatnya Penentuan posisi selain menggunakan jaring radial umumnya menggunakan metode poligon, pengikatan ke muka (intersection), metode pengikatan ke belakang 6

(resection), kombinasi antara metode-metode tersebut, trianggulasi, trilaterasi, dan triangulaterasi (Abidin, 00). Geometri dari beberapa metode tersebut dijelaskan pada Tabel I.1. Tabel I.1. Bentuk-bentuk pengukuran posisi horizontal (Modifikasi Abidin, 00) Metode Contoh Geometri Data Ukuran Poligon Sudut dan Jarak Pengikatan ke muka Sudut di titik tetap Pengikatan ke belakang Sudut pada titik yang akan diketahui posisinya Triangulasi Sudut di semua titik Trilaterasi Semua komponen jarak diukur Triangulaterasi Semua sudut dan semua jarak Pengukuran dengan jaring bentuk radial memiliki konsep yang sama dengan penentuan koordinat pada SNI. Selain itu, pengukuran secara extrateristris misalkan dengan GPS merupakan sistem yang saat ini paling banyak digunakan untuk survei penentuan posisi. Kontrol kualitas pada pengukuran GPS didasarkan pada kekuatan 7

jaring, sebaiknya baseline yang diamati saling menutup dalam suatu loop (jaringan) dan tidak terlepas begitu saja (radial) (Abidin, 00). Jaring radial lebih lemah secara geometri dari pada baseline yang tertutup dan membentuk loop, hal ini dibuktikan dengan jumlah nilai faktor kekuatan jaring radial lebih besar dari faktor jaring tertutup. Gambar I.. Model jaringan dan model radial (Modifikasi Ma ruf, 010) Dalam hal ini : B, C, D, E : nama titik A : nama titik tetap I.8.. Hitung perataan kuadrat terkecil Hitung perataan merupakan suatu metode untuk menentukan nilai koreksi yang harus diberikan pada hasil pengukuran, sehingga hasil pengukuran tersebut memenuhi syarat geometri (Wolf, 1980). Syarat geometri ini harus terpenuhi dari hubungan suatu pengukuran dengan pengukuran lain. Sifat statistik dari pengukuran dianalisis berdasarkan pembahasan dari stokastik dan model matematis dan hukum varian kovarian perambatan variabel acak (Leick, 004). Hitung kuadrat terkecil bertujuan agar jumlah kuadrat residualnya (V T PV) minimum, dan tidak mungkin ada nilai hasil hitungan lain yang jumlah kuadrat residualnya (V T PV) lebih kecil (Hadiman, 1991). Hitung kuadrat terkecil berhubungan erat dengan dua komponen penting, yaitu stokastik dan model matematik (Okwuashi dan Asuquo, 01). Matriks varian kovarian yang berisi tentang ketelitian observasi merupakan komponen stokastik yang berasal dari kalibrasi instrument. Model matematis menunjukkan hubungan antara parameter (u) dan hasil observasi (n), untuk model matematis secara umum sebagai berikut (Leick, 004) : La = f(xa)...(i.3) 8

La : matriks nilai observasi f(xa) : fungsi dari parameter konsep dari perhitungan kuadrat terkecil dilakukan dengan cara mencari nilai hasil penjumlahan kuadrat residunya minimum (Mikhail dan Gracia, 1981). (V T PV) = minimum...(i.4) I.8.3. Hitung perataan metode parameter terkendala minimum (minimum constraint) Salah satu metode hitung kuadrat terkecil adalah metode parameter. Suatu matriks yang memiliki kekurangan rank (rank deficiency) akan menyebabkan matriks tersebut singular sehingga terdapat perataan dengan persyaratan minimal sesuai kekurangan ranknya, yaitu metode parameter minimum constraint (Soeta at, 1996). Tujuan dari hitung perataan kuadrat terkecil metode parameter adalah untuk mendapatkan nilai koordinat estimasi terbaik. Metode parameter memiliki syarat pengukuran lebih, atau hasil observasinya melebihi jumlah parameter yang dicari (redundan), karena terdapat pengukuran yang lebih sehingga terdapat suatu derajat kebebasan (r). Derajat kebebasan dinyatakan sebagai berikut (Mikhail dan Gracia, 1981). r = n u...(i.5) dimana : r : jumlah derajat kebebasan n : jumlah pengukuran u : jumlah parameter yang dicari Hitung perataan minimum constraint merupakan suatu penyelesaian hitung perataan dengan penetapan titik yang dianggap referensi (besaran fixed) sebanyak kekurangan rank-nya (rank defect) (Soeta at, 1996). Suatu pengukuran mengalami kekurangan rank karena belum terdapat titik yang terdefinisi, hal ini akan menyebabkan matriks (A T PA) -1 tidak dapat diinverskan karena merupakan matriks singular. Pengukuran secara triangulaterasi terdapat kekurangan rank minimal sebanyak 4, sehingga hasil ukuran yang berupa sudut dan jarak akan terdefinisi dengan menentukan satu titik referensi / acuan (koordinatnya), satu azimuth dan satu jarak dari 9

titik referensi ke titik yang akan dihitung koordinatnya sehingga perlu adanya dua titik sebagai titik referensinya. Model matematis hitung perataan metode minimum constraint yang digunakan sebagai berikut (Leick, 004). Model non linier sebagai berikut : La = f(xa)...(i.6) Penentuan nilai estimasi residu terbaik menggunakan persamaan sebagai berikut (Leick, 004) : V = AX + F...(I.7) Dalam hal ini : V : vektor residu pengamatan (V 1, V, V 3,, V n ), dimensi matriksnya (nx1) A : matriks desain yang elemennya merupakan turunan pertama ukuran terhadap parameter, dimensi matriks A yaitu (nxu) X : matriks parameter dengan dimensi (nx1) F : matriks sisa pengurangan nilai pendekatan dengan ukuran (nx1) Penentuan nilai estimasi parameter terbaik menggunakan persamaan sebagai berikut (Leick, 004) : N = A T PA... (I.8) U = A T PF... (I.9) X = N 1 U... (I.10) X = A T PA 1 A T PF... (I.11) Dalam hal ini : P = σ o lb -1... (I.1) σ o P lb : varian apriori : matriks bobot pengamatan, dimensi matriks bobot (nxn) : matriks varian kovarian pengukuran Penentuan nilai varian aposteori terbaik menggunakan persamaan sebagai berikut (Leick, 004) : σ o = VT PV n u...(i.13) Dalam hal ini: 10

σ o V P n u : varian aposteori : matriks residu pengukuran : matriks bobot : jumlah pengamatan : jumlah parameter yang dicari Persamaan (I.13) digunakan untuk menentukan nilai varian kovarian parameter sebagai berikut (Leick, 004) : xx = σ o (A T PA) 1...(I.14) Dalam hal ini : xx : matriks varian kovarian parameter σ o : varian aposteori Dimana diagonal dari matriks ini ( xx) merupakan varian parameter. Akar dari diagonal matriksnya merupakan ketelitian dari parameter estimasi. Matriks ketelitian residu disusun dengan persamaan sebagai berikut : Ʃvv = σ o (P 1 A(A T PA) 1 A T )...(I.15) I.8.4. Hitung perataan metode inner constraint Metode inner constraint merupakan metode hitung perataan yang mengacu pada metode parameter. Metode inner constraint memiliki ciri khas dengan penambahan suatu matriks E. Simbol (r) merupakan notasi jumlah persamaan pada desain matriks (Leick, 004) : R (nau) = R (A T PA) = r u...(i.16) Karena jumlah persamaan kurang dari atau sama dengan jumlah parameter maka hal ini menyebabkan terjadinya cacat rank atau tidak memiliki rank defect. Secara umum kekurangan rank yang berasal dari u r dikarenakan oleh kurangnya titik koordinat yang diketahui (Leick, 004). Kekurangan rank ini menyebabkan matriks (A T PA) menjadi normal, yaitu tidak dapat diinverskan atau matriks singular. Perataan inner constraint dalam jaring pengukuran memiliki tujuan agar matriks (A T PA) dapat diinverskan. Setiap sistem koordinat memiliki jumlah rank yang berbeda-beda. Pada sistem koordinat satu dimensi membutuhkan satu unsur yang diketahui yaitu unsur tinggi, sistem koordinat dua dimensi membutuhkan minimal 11

empat unsur diketahui dan untuk tiga dimensi membutuhkan minimal tujuh unsur yang diketahui (Soeta at, 1996). Perbedaan ini menyebabkan matriks kondisi (E) berbeda pada setiap sistem koordinatnya. Bentuk matriks E untuk sistem koordinat dua dimensi jaring trianggulaterasi sebagai berikut (Soeta at, 1996) : E = [ E 1 0 0 1 0 1 1 0 xi yi xr ]...(I.17) yr yi xi yr xr : merupakan matriks kondisi dengan dimensi (4xr, dimana r merupakan jumlah titik pantau) Estimasi parameter menggunakan metode inner constraint dapat ditentukan sebagai berikut (Leick, 004) : X = - Q A T PF... (I.18) Q = (A T PA + E T E) -1 E T (EE T EE T ) -1 E... (I.19) X = - (A T PA + E T E) -1 A T PF... (I.0) X P E (Leick, 004) : : matriks parameter yang berdimensi (nx1) : matriks bobot berdimensi (nxn) : matriks kondisi dua dimensi dengan dimensi matriks (4xr, dimana r merupakan jumlah titik pantau) Solusi dari persamaan mengharuskan untuk memenuhi syarat sebagai berikut (A T PA) E T = 0... (I.1) AE T =EA T = 0... (I.) Dari persamaan (I.19) persamaan Q digunakan untuk menentukan nilai varian kovarian parameter, persamaan sebagai berikut (Leick, 004) : x = σ o Q... (I.3) x = σ o (A T PA + E T E) -1... (I.4) x : matriks varian kovarian parameter Akar elemen diagonal dari matriks x merupakan ketelitian dari parameter hasil observasi. σ o : varian aposteori 1

Matriks varian aposteori pada metode inner constraint dicari dengan persamaan sebagai berikut (Leick, 004) : σ o = (V T PV) / n u + d...(i.5) n : jumlah persamaan u : jumlah parameter d : rank deficiency Ketelitian dari residu ukuran menggunakan metode inner constraint ditentukan dari akar kuadrat elemen diagonal matriks Ʃvv. Adapun matriks Ʃvv ditentukan dengan rumus I.6 : Ʃvv = σ o (P 1 A(A T PA + E T E) 1 A T )...(I.6) I.8.5. Hitung perataan metode parameter berbobot Hitung perataan kuadrat terkecil metode parameter berbobot merupakan metode dengan dasar metode parameter. Metode parameter berbobot merupakan suatu penyelesaian hitung parameter yang mana terdapat informasi atau keterangan tentang parameter yang dicari, informasi tersebut kemudian dipakai sebagai constraint dengan memberikan bobot tertentu terhadap parameter (Soeta at, 1996). Parameter berbobot menyertakan jenis pengukuran baru dari observasi yang mengarah pada parameter, untuk merinci parameter supaya terhindar dari bentuk singular dari persamaan normal, atau menyertakan hasil hitungan sebelumnya (Leick, 004). Pada metode parameter berbobot terdapat dua kelompok hitungan yaitu : 1. Hitungan pertama yang terdiri dari contoh persamaan ukuran yang merupakan fungsi dari parameter,. Kelompok hitungan kedua terdiri dari ukuran pengamatan koordinat dari parameter yang dicari. Berikut bentuk umum persamaan parameter berbobot (Leick, 004) : l1a = f1 ( xa )...(I.7) la = f ( xa )...(I.8) Dari persamaan sebelumnya, model linier menjadi seperti berikut (Leick, 004): 13

v1 = A1x + l1... (I.9) v = Ax + l... (I.30) Dalam hal ini : l1 l v1 v A1 A : vektor nilai ukuran (observasi) dari fungsi pertama : vektor nilai ukuran (observasi) dari fungsi kedua : vektor residu pertama : vektor residu kedua : matriks turunan ukuran terhadap parameter pertama : matriks turunan persamaan kedua Pada perhitungan parameter berbobot memiliki dua persamaan matematis, yang pertama yaitu persamaan matematis ukuran (jarak dan sudut) dan yang kedua persamaan matematis dari parameter (koordinat x dan y). Persamaan matematis sebagai berikut. Persamaan matematis pertama (Mikhail dan Gracia, 1981): D 1 = (X X 1 ) + (Y Y 1 )... (I.31) β = tan 1 ( X X 1 Y Y 1 ) tan 1 ( X 1 X Y 1 Y )... (I.3) Persamaan matematis kedua : X1 + V1 = X 1...(I.33) Y1 + V = Y 1... (I.34) D1 : jarak dari titik satu ke dua X1, Y1, X, Y : koordinat titik pantau X 1, Y 1 : koordinat pendekatan Dari persamaan sebelumnya, maka persamaan untuk menentukan nilai parameter sebagai berikut (Leick, 004) : u1 = A T 1 P1 l1... (I.35) N1 = A T 1 P1 A1... (I.36) X = X* + X... (I.37) X* = -N -1 1 u1... (I.38) T = (P -1 + A N -1 1 A T ) -1... (I.39) X = -N -1 1 A T T (AX* + l )... (I.40) 14

X = - (A1 T P1A1 + A T PA ) -1 (A1 T P1l1 + A T Pl )...(I.41) Persamaan untuk menentukan matriks varian kovarian parameter sebagai berikut (Leick, 004) : xx = σ 0 (A T 1 P 1 A 1 + A T P A ) 1...(I.4) Akar dari diagonal matriks xx merupakan ketelitian dari setiap parameter yang dicari. Dimana nilai varian aposteori σ 0 pada parameter berbobot menggunakan model matematis sebagai berikut (Leick, 004) : σ o = (V T PV) / n1 + n u...(i.43) Dimana untuk menentukan matriks V T PV menggunakan persamaan (Leick, 004) : V T PV = V T PV* + V T PV...(I.44) V T PV* = -u1 T N -1 1 u1 + l1 T P1 l1...(i.45) V T PV = (Ax* + l ) T T (Ax* + l)...(i.46) Ketelitian dari residu (V) ukuran disusun dengan persamaan sebagai berikut : Ʃvv = σ o (P 1 A(A T 1 P 1 A 1 + A T P A ) 1 A T )...(I.47) 1.8.6. Perambatan Kesalahan Acak (Perambatan Varian) Perambatan kesalahan acak digunakan untuk menentukan kelompok pengukuran kedua pada perhitungan parameter berbobot. Kelompok pengukuran kedua berupa koordinat titik-titik pantau beserta ketelitiannya. Umumnya parameter yang dicari adalah bukan besaran yang diukur, tapi besaran lain yang mempunyai hubungan linier (jika bukan linier, dilakukan linierisasi terlebih dahulu) dengan ukuran. Sebagai contoh koordinat, yang didapat dari pengukuran sudut dan jarak (pada poligon). Oleh karena itu, perlu dicari ketelitian parameter tersebut, yang merupakan perambatan dari ketelitian pengukuran (Soeta at, 1996). Persamaan sebagai berikut (Soeta at, 1996) : Y = G x...(i.48) Y : parameter yang dicari x : besaran yang diukur 15

A : hubungan linier antara parameter dan besaran ukuran (Matriks Jacobi). Diperoleh : E (Y) = E (Gx) = G E(x)...(I.49) (x1 μ1) Misalkan (X Mx) = [. ] (xn μn) Ʃx = E {(X Mx) (X Mx) T }...(I.50) X = (x1, x, x3,, xn) = parameter ke 1 sampai ke n Mx = (μ1, μ, μ3,, μn) = rata-rata ke 1 sampai ke n Ʃy = E {(y My) (y My) T }...(I.51) Ʃy = E {{y E(y)} {y E(y)} T } Ʃy = E {{y G E(y)} {y G E(y)} T } Ʃy = E {{Ax G E(y)} {Ax G E(y)} T } Ʃy = G E {{x E(y)} {x E(y)} T } G T Ʃy = G E {{x Mx} {x Mx} T } G T Ʃy = G Ʃx G T...(I.5) Ʃy = matriks kovarian parameter Ʃx = matriks kovarian ukuran 1.8.7. Linierisasi Persamaan Pengamatan Beberapa pekerjaan pada penentuan koordinat dua dimensi didasarkan pada hasil ukuran yang berupa sudut dan jarak (Mikhail dan Gracia, 1981). Penentuan nilai koordinat dua dimensi ini menggunakan hitung kuadrat terkecil yang memiliki persamaan ukuran. Persamaan ukuran dilakukan untuk membentuk matriks A dengan bentuk yang linier. Pekerjaan pengukuran yang menghasilkan sudut dan jarak ini memiliki persamaan pengukuran yang belum linear sehingga diperlukan adanya suatu linierisasi dari sudut dan jarak. Berikut persamaan pendekatan jarak dan sudut (Leick, 004) : 16

Gambar I.3. Gambar jarak pendekatan (Mikhail dan Gracia, 1981) S ij = [(Xj Xi) + (Yj Yi) ] 1/... (I.53) Gambar I.4. Gambar azimut dan sudut pendekatan (Mikhail dan Gracia, 1981) θ ijk = arctan Xk Xi Yk Yi Xj Xi arctan...(i.54) Yj Yi Linierisasi persamaan jarak (Mikhail dan Gracia, 1981) : S ij = S * ij + ( S ij S ij S ij S ij ) Xi + ( ) Yi + ( ) Xj + ( ) Yj...(I.55) Xi Yi Xj Yj Turunan jarak terhadap Xi S ij Xi = - xi [(Xj Xi) + (Yj Yi) ] 1/ = - 1 [(Xj Xi) + (Yj Yi) ] 1/ () (Xj Xi) (Xj Xi) = = - (Xj Xi)...(I.56) [(X j X i ) +(Y j Y i ) ] 1/ Sij Turunan jarak terhadap Yi S ij Yi = - (Yj Yi) Sij... (I.57) Turunan jarak terhadap Xj S ij Xj (Xj Xi) = Sij... (I.58) Turunan jarak terhadap Yj 17

S ij Yj (Yj Yi) = Sij... (I.59) Linierisasi persamaan azimuth (Mikhail dan Gracia, 1981) : α ij = arctan Xj Xi...(I.60) Yj Yi Turunan azimuth terhadap Xi θij = ( 1 xi 1+( Xj Xi )) xi (Xj Xi) Yj Yi Yj Yi (Yj Xi) = ( (X j X i ) +(Y j Y i ) ) ( 1 ) = Yj Yi Yj Yi (Sij)...(I.61) Linierisasi persamaan sudut (Mikhail dan Gracia, 1981) : arctan Xk Xi Yk Yi θijk xi = - Yk Yi Xj Xi arctan...(i.6) Yj Yi + Yj Yi (Sik) (Sij) θijk = Xk Xi - Xj Xi Yi (Sik) (Sij) θijk Xj θijk Yj θijk Xk θijk Yk S ij... (I.63)... (I.64) = - Yj Yi...(I.65) (Sij) = - Xj Xi...(I.66) (Sij) = Yk Yi...(I.67) (Sik) = Xk Xi...(I.68) (Sik) : jarak pendekatan dari i ke j S ij Xi θ ij θ ijk θij xi θijk xi : turunan jarak terhadap parameter : azimuth pendekatan dari i ke j : sudut pendekatan antara i, j dan k : azimut diturunkan terhadap parameter : sudut diturunkan terhadap parameter 18

1.8.8. Pemberian Bobot Hitung kuadrat terkecil sangat bergantung pada dua komponen yaitu model stokastik dan model matematis. Nilai varian dari observasi atau ukuran merupakan komponen stokastik, hal ini untuk mengenalkan informasi tentang presisi dari observasi atau pengukuran. Matriks varian kovarian untuk menunjukkan komponen model stokastik. Pada beberapa bentuk, observasi atau pengukuran tidak saling berkolerasi dan matriks varian kovarian menjadi diagonal. Matriks varian kovarian ini menjadi suatu matriks bobot pengukuran (Leick, 004). Bobot pengamatan adalah perbandingan ketelitian antara suatu besaran pengamatan relatif terhadap besaran pengamatan yang lain. Pemberian bobot diberikan berbanding terbalik dengan nilai varian pengukuran (Mikhail dan Gracia, 1981). Setiap hasil pengukuran memiliki ketelitian yang berbeda-beda sehingga memerlukan bobot yang berbeda pada setiap ukuran. Persamaan matriks bobot ditunjukkan seperti berikut (Leick, 004) : Qlb = 1/ σ o Ʃlb...(I.69) P = Qlb -1 = σ o Ʃlb -1...(I.70) Dalam hal ini : Qlb P σ o : matriks kovaktor pengukuran, : bobot pengamatan, : varian apriori, Lb -1 : matriks varian pengukuran. Berikut matriks Lb -1 yang tidak saling berkorelasi : Lb -1 = 1 0 0 σ 11 0 [ 0 0 1 σ 0 1 σ 33 ] = invers dari matrik varian kovarian pengamatan. Matrik bobot yang dapat dibentuk adalah seperti di bawah ini : 1 0 0 σ 11 P = σ 0 0 [ 0 0 1 σ 0 1 σ 33 ] = matrik bobot. 19

1.8.9. Model Varian Estimasi nilai varian yang kurang tepat tidak lain adalah estimasi bobot pengukuran yang kurang tepat. Bobot pengukuran harus diestimasi atau diberi nilai secara hati-hati. Misalkan menggunakan nilai dari kalibrasi atau sampe pengukuran yang banyak, atau menggunakan hasil hitungan sebelumnya (Soeta at, 1996). Bobot pengukuran ( Lb -1 ) didapatkan dengan dua cara yaitu dengan cara menghitung varian dari hasil pengukuran menggunakan rumus statistik dan yang kedua menggunakan model varian yang berasal dari ketelitian alat. Varian pengukuran sudut dibentuk dengan persamaan seperti berikut (Mikhail dan Gracia, 1981). σ θ = σ BC + σ BR + σ BP + σ BT...(I.71) σ θ = σ BC + σ BR + σ BP + σ BT...(I.7) = { (D 1 + D D 1 D cosβ) σ C σ BC σ BR = σ R D 1 D } ρ "...(I.73) n...(i.74) σ R = 3 x d (untuk ketelitian piringan horizontal 1 s/d 10 )... (I.75) σ BP = σ P n... (I.76) σ P = 60 / M... (I.77) σ BT = D 1 + D D 1 D σ T ρ "...(I.78) ρ " = 1 / sin (1 )... (I.79) Dalam hal ini : σ θ : varian total ukuran sudut σ BC : kesalahan akibat pemusatan alat ukur di target σ BR : kesalahan akibar pembacaan pada skala piringan horizontal σ BP : kesalahan akibat pembidikan σ BT : kesalahan penempatan target σ θ : simpangan baku total ukuran sudut D 1, D : jarak dari target satu dan dua σ C3 : kesalahan pemusatan alat ukur σ T : ketelitian target 0

β : sudut ukuran d : pembacaan terkecil piringan horizontal M : perbesaran teropong alat ukur teodolit n : jumlah pengamatan Varian pengukuran jarak dibentuk dengan persamaan seperti berikut (Mikhail dan Gracia, 1981) : σ D = a + b D...(I.80) Dalam hal ini : σ D D b a : varian total jarak pengukuran : jarak dalam (km) : ketelitian relative alat (ppm) : ketelitian jarak yang tidak tergantung jarak (mm) I.8.10. Uji Statistik Hasil Hitung Perataan Setiap pengukuran mengandung kesalahan, sehingga diperlukan adanya pengujian secara statistik pada tingkat kepercayaan tertentu. Pengujian secara statistik ini yaitu uji global dan uji data snooping. Pengujian dilakukan untuk mengetahui adanya kesalahan sistematik dan blunder. 1.8.10.1. Uji global. Uji global merupakan uji yang dilakukan untuk mendeteksi masih atau tidak adanya kesalahan sistematis maupun kesalahan blunder. Uji global dilakukan dengan membandingkan varian apriori dan varian aposteori dari unit bobot serta menggunakan tabel Fisher (Mikhail dan Gracia, 1981). Hipotesis : Ho : σ o = σ o Ha : σ o σ o Hipotesis nol (Ho) akan diterima jika memenuhi syarat pada persamaan berikut (Soeta at, 1996) : σ o 1/ σ < F 1 α,f,...(i.81) o 1

σ o σ o 1/ F 1 α,f, : varian apriori : varian aposteori : nilai statistik dari tabel fisher yang memiliki argument α dan f Dari hasil persamaan yang tersusun diatas bisa disimpulkan bahwa aposteori varian berbeda signifikan dengan apriori varian, sehingga global test tidak diterima (Soeta at, 1996). Dengan demikian dimungkinkan adanya kesalahan pada (Soeta at, 1996) : 1. model matematik,. kesalahan hitung, 3. sistem yang ill condition, 4. ketidaktepatan estimasi bobot pengukuran, atau 5. terjadinya blunder. 1.8.10.. Uji Snooping. Selanjutnya jika ternyata data masih dipengaruhi kesalahan tak acak maka dilakukan uji data snooping, yaitu pengujian data secara individu dari setiap data (Leick, 004). Untuk mendeteksi ada tidaknya blunder, dilakukan uji statistik berdasarkan standar deviasi residual σ vi yang merupakan akar diagonal matriks Ʃvv (Soeta at, 1996) : Hipotesis : Ho Ha : pengukuran ke i tidak terdapat blunder : pengukuran ke i terdapat blunder Hipotesis Ho diterima jika dipenuhi hubungan : V i 1/ F σ vi 1 αo,f,...(i.8) V i σ vi 1/ F 1 αo,f, : residu pengukuran ke-i : simpangan baku pengukuran ke-i : nilai statistik dari tabel fisher yang memiliki argument αo dan f

I.8.11. Uji Signifikan Parameter Dua Parameter Uji signifikan parameter dua metode digunakan untuk menguji perbedaan secara signifikan antara dua metode yang berbeda, yang diuji merupakan objek yang sama dari dua parameter berbeda. Dua nilai parameter diuji dengan tabel t-student sebagai berikut (Mikhail, 1976) : Ho Ha : nilai parameter metode pertama dengan metode kedua sama : nilai parameter metode pertama dengan metode kedua berbeda secara signifikan nilai Ho diterima jika memenuhi persamaan berikut : X 1i X i t σ X1i + σ α/,f...(i.83) Xi X 1i X i σ X1i σ Xi : nilai parameter ke i metode pertama : nilai parameter ke i metode kedua : simpangan baku parameter ke i metode pertama : simpangan baku parameter ke i metode kedua t α/,f : nilai statistik dari tabel t-student dengan argumen α dan f 1.9. Hipotesis Berdasarkan kajian pustaka yang ada, hipotesis yang dapat dikemukaan untuk penelitian ini, yaitu terdapat beda koordinat yang signifikan antara hasil perhitungan menggunakan metode parameter berbobot dan metode lainnya pada data ukuran titiktitik pantau tubuh Bendungan Jenderal Soedirman. Metode parameter berbobot memiliki estimasi paling baik untuk data ukuran bendungan Jenderal Soedirman atau dianggap sebagai metode yang menghasilkan nilai simpangan baku paling teliti dibandingkan dengan metode inner constraint dan minimum constraint. 3