PENGENALAN KEPADA KAEDAH BEANGKA. Pngnalan Kadah brangka adalah tknik pnlsaian hampiran di mana masalah matmatik dirumuskan supaa ia bolh dislsaikan mlalui oprasi aritmtik. Kbiasaanna ia akan mlibatkan angka ang bsar dan lch dan kmajuan komputr mmainkan pranan ang bsar k arah mmajukan pnggunaan kadah brangka ini. Sblum brmulana ra komputr kadah pnlsaian suatu masalah matmatik adalah mnggunakan:. Kadah analitik atau tpat ang mmbri jawapan ang trbaik bagi suatu sistm ttapi trhad kpada masalah ang mudah.. Kadah graik bagi mncirikan siat sistm namun ia tidak bgitu tpat.. Pngiraan dngan kalkulator stlah mmahami tori dan kadah pnlsaianna. Trdapat kprluan mngapa ssorang itu mmplajari kadah brangka:. Kadah brangka adalah alat ang mampu mnlsaikan masalah ang mana dalam kadaan sbnar adalah mustahil untuk dislsaikan dngan cara analitik.. Banak pakj di pasaran mlibatkan kadah brangka dan ini mnbabkan tori asas mngnaina prlu diahami.. Tidak smua pakj bolh mnlsaikan ssuatu masalah olh itu pngtahuan ang diprolhi dari kadah brangka diharapkan dapat mmbantu mmbangunkan sndiri pakj ang brssuaian.
4 / Kadah Brangka Kjurutraan 4. Kadah brangka adalah satu alat untuk mmprcpatkan pmblajaran komputr. 5. Kadah brangka mnggalakkan pmahaman matmatik. Aktiviti atau tugas sorang jurutra mrangkumi rka bntuk pmbuatan pnlidikan dan pndidikan. Tugas-tugas banak mlibatkan ormulasi matmatik ang diprolhi dari pmrhatian izikal. Masalah bolh dislsaikan mlalui tknik matmatik ang mudah atau dngan bantuan komputr untuk masalah ang lbih rumit. Dngan mnggunakan kadah brangka prsamaan matmatik diprmudahkan mlalui pross pndiskrtan dan pnlsaian dijalankan mlalui pnghampiran brangka. Akhirna hasil pngiraan prlu dimanipulasi dan ditasirkan kpada bntuk ang brmakna dan diahami. Atas dasar ini pngtahuan kadah pngiraan scara brangka sangat brguna kpada sorang jurutra. ajah. mnunjukkan tiga asa dalam pross mnlsaikan ssuatu masalah kjurutraan. Formulasi Pnlsaian ntrprtasi AJAH. Pross pnlsaian masalah scara am Prbincangan kadah brangka akan mliputi tujuh tajuk trpnting dalam pnlsaian masalah kjurutraan iaitu:. Sistm prsamaan linar Pnlsaian sistm prsamaan srntak biasa ditmui dalam bidang mkanik gunaan analisis litar pmindahan haba dan sbagaina. Contoh sistm ang paling mudah adalah a a a a b b
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 5 di mana nilai-nilai dan harus didapatkan. Prsoalanna ialah bagaimana untuk mnlsaikanna jika suatu sistm prsamaan mmpunai n prsamaan di mana trdapat n pmbolh ubah harus dicari. Kadah-kadah Gauss adalah ang paling biasa digunakan untuk mnlsaikan masalah di atas. Strusna kadah lain ang lbih popular gunakan untuk sistm ang lbih bsar iaitu llaran Jacobi dan Gauss- Sidl.. Punca prsamaan Punca prsamaan pula mlibatkan masalah pnntuan nilai ang mmnuhi prsamaan 0 Nilai-nilai ini diknali sbagai punca kpada prsamaan. Trdapat lapan kadah ang diprtimbangkan iaitu kadah graik kadah pmbahagi dua kadah kdudukan palsu kadah titik ttap kadah Nwton-aphson kadah skan kadah Müllr dan kadah Bairstow.. ntrpolasi dan pmadanan lngkung a mrupakan pnganggaran suatu nilai ungsi kpada suatu pmbolh ubah brdasarkan data ang ada. Katakan nilai-nilai diskrt ungsi dan pmbolh ubah dibrikan dalam jadual di bawah: 0 0 Prsoalanna ialah bagaimana untuk mndapatkan jika a di nama masih dalam julat data ang ada. Tiga kadah ang akan dibincangkan ialah kadah bza trbahagi Nwton kadah Lagrang dan kadah splin. 4. Pngoptimuman a mlibatkan pncarian nilai-nilai kstrim iaitu maksimum dan minimum bagi suatu ungsi di mana ia slaluna mmnuhi kadaan brikut: 0 Pndkatan scara brangka ang bolh digunakan untuk mnlsaikan masalah pngoptimuman tanpa kkangan adalah kadah intrpolasi kuadratik dan kadah Nwton. Strusna untuk pngoptimuman brkkangan pnlsaian dngan cara graik dan kadah simplks dibrikan. 5 Trbitan dan kamiran brangka Sorang jurutra akan banak brhadapan dngan masalah trbitan dan kamiran. Pnggunaan trbitan brangka tidak trhad kpada rumitna suatu
6 / Kadah Brangka Kjurutraan prsamaan ttapi juga kpada kadah pnlsaian ang mlibatkan nombor ang banak. Bagi kamiran pula rumus kamiran suatu ungsi bolh ditulis dalam bntuk b a d di mana pnlsaian pnghampiran dapat dijalankan dngan luas bawah gra ungsi. Kadah ang digunakan untuk mngira luas di bawah gra ialah dngan kadah aturan trapzium aturan Simpson ormula Nwton- Cots dan kuadratur Gauss. 6. Prsamaan kbzaan biasa Banak hukum izik mlibatkan prsamaan kbzaan biasa di mana trbitan satu pmbolh ubah brsandar trhadap satu pmbolh ubah tidak brsandar. Sbagai contoh halaju suatu zarah dibrikan dngan kadar prubahan jarak dngan masa. Pnlsaian mndapatkan pmbolh ubah brsandar ini bolh dijalankan scara analitik dngan contoh masalah prsamaan kbzaan biasa sprti di bawah: d d 0 0 Pnlsaian trtutup bolh diprolhi dngan kadah kamiran ang mmbrikan Scara praktikna tidak smua prsamaan kbzaan dapat dislsaikan dngan cara analitik. Olh itu pnlsaian kpada kbanakan masalah kjurutraan ang mlibatkan prsamaan kbzaan mmrlukan kadah brangka. Prsamaan di atas hana mmrlukan satu kadaan sahaja dan diknali sbagai masalah nilai awal. Untuk masalah ini kadah ang akan dibincangkan dalam buku ini adalah kadah ung-kutta Eulr kadah pramal-pmbtul ormula Adams-Bashorth dan ormula Adams-Moulton. Di samping itu masalah nilai smpadan ang mmrlukan lbih dari satu kadaan srta masalah nilai ciri untuk ks prsamaan homogn juga dibincangkan. 7. Prsamaan kbzaan spara Apabila trdapat dua atau lbih pmbolh ubah tidak brsandar dalam satu prsamaan ia dinamakan prsamaan kbzaan spara contohna u u Q
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 7 Tujuan utama ialah untuk mnlsaikan nilai u. Prsamaan ini juga mmpunai nilai-nilai smpadan sama sprti prsamaan kbzaan biasa ang mmpunai sama ada nilai smpadan atau nilai awal contohna prsamaan lips dan prsamaan parabola. Sblum mlanjutkan subjk di atas dngan lbih trprinci prkaraprkara brkaitan dngan prmodlan matmatik dan pnlsaian masalah prlu diktahui trlbih dahulu. ni diikuti dngan komputr dan prisian dan akhirna tntang ralat.. Prmodlan Matmatik dan Pnlsaian Masalah Kjurutraan Sorang jurutra banak brgantung kpada prmodlan matmatik dalam mngndalikan suatu krja. Ssuatu modl harus mmpunai makna izikal dan slaluna ia diprmudahkan dari kadaan sbnar. Modl matmatik mungkin mudah sahaja untuk dislsaikan sprti prsamaan linar ang bolh mmbri pnlsaian tpat. Atau ia bolh mnjadi lbih sukar sprti prsamaan kbzaan spara ang mlibatkan ruang tiga-dimnsi dan masa. Masalah sprti ini mungkin tidak bolh dislsaikan dngan mnggunakan kadah kalkulus mudah atau bntuk trtutup. Ssuatu maklumat itu diprolhi daripada pmrhatian atau ujikaji ang mmbntuk hubungan mpirik atau analisis tori di mana akhirna hubungan umum atau prmodlan matmatik dapat dibntuk. Prmodlan matmatik ini mrupakan ormulasi atau prsamaan ang mnrangkan ciri pnting sistm atau pross izikal dalam bntuk matmatik. Scara amna pmbolh ubah tak brsandar pmbolh ubah brsandar paramtr. ungsi daa dngan pmbolh ubah brsandar mrupakan pncirian ang mnrangkan tingkahlaku ssuatu kadaan atau sistm. Tingkahlaku ini akan brgantung kpada pmbolh ubah tidak brsandar sprti masa dan ruang ang trlibat; paramtr ang mnrangkan siat dan komposisi sistm; dan ungsi daa di mana pngaruh luaran ang brtindak k atas sistm. Bntuk am prmodlan matmatik dalam prsamaan. bolh mmbntuk satu prsamaan ang mudah atau lbih rumit sprti ang dibincangkan awal tadi. Sbagai contoh katakan sbuah sarikat pmbikinan komponn prdam hidraulik ingin mngtahui klakuan prdam bila diknakan suatu daa impak. Alat ujikaji ditunjukkan dalam ajah.. Bbrapa andaian
8 / Kadah Brangka Kjurutraan prlu dibuat iaitu; tidak ada gsran pada prdam dan pada jasad dan brat prdam jauh lbih kcil dari brat jasad. Prmodlan ang mudah suatu prdam ialah dngan mngambil rintangan rdaman brkadar trus dngan klajuan mampatan. Dngan mnggunakan hukum Nwton satu jasad ang brgrak bolh dimodlkan mlalui dv F ma m. dt dngan m ialah jisim jasad dan v ialah klajuan jasad. Daa ang dialami olh jasad akan diimbangi olh rintangan prdam iaitu dv m cv. dt dngan c ialah pkali rdaman. a bolh disusun smula mnjadi dv c v.4 dt m Prsamaan di atas bolh dislsaikan dngan mnggunakan kadah analitik atau kakulus mudah. Kadaan smpadan untuk ks di atas ialah halaju v U pada masa t 0. Strusna ia mmbrikan v t U dngan c m.5 Dngan ini lngkuk halaju jasad trdam bolh diramalkan mlalui prmodlan matmatik iaitu mngunakan prsamaan.5. ni mnunjukkan pada t v 0. Mkanisma pngunjur trak Trak-dngan pmbrat Pnimbal Prdam Sl oto pngukuran laju AJAH. Prgrakan jasad dngan rdaman
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 9 Contoh. Jasad ang ditunjukkan dalam ajah. brjisim 5 kg dan brgrak dngan klajuan.5 m/s di kdudukan impakna. Dngan mnggunakan pkali rdaman sbagai 5 Ns/m dapatkan halaju dngan masa ang diambil dngan prtambahan 0. s. Pnlsaian Gunakan prsamaan.5 bagi mnjalankan pross pngiraan sprti dalam jadual di bawah. t s v m/s 0.0.500 0. 0.90 0. 0.55 0. 0.5 0.4 0.0 0.5 0. 0.6 0.075 0.7 0.045 0.8 0.07 0.9 0.07.0 0.00. 0.006. 0.000 Prsamaan.5 dinamakan pnlsaian analitik atau tpat. Walaupun contoh. dapat dislsaikan trdapat banak prmodlan matmatik ang tidak dapat dislsaikan dngan pnlsaian tpat sprti ini. Dalam ks-ks trsbut pnlsaian brangka digunakan sbagai pilihan pnghampiran kpada pnlsaian tpat. Jika prsamaan.4 prlu dislsaikan scara brangka prubahan halaju bolh dibuat dngan dv v vi vi dt t ti ti dngan ni mmbrikan v t v c i i v. i i ti m
0 / Kadah Brangka Kjurutraan v c m i v i v i t i t i.6 Dngan trbitna prsamaan.6 prmodlan matmatik dapat dislsaikan mnggunakan oprasi aritmtik ang mudah. Contoh. Slsaikan masalah ang dibrikan dalam contoh. ttapi kali ini mnggunakan prsamaan.6. Pnlsaian Gunakan prsamaan.6 bagi mnjalankan pross pngiraan dalam jadual di bawah. t s v m/s 0.0.500 0. 0.844 0. 0.475 0. 0.67 0.4 0.50 0.5 0.084 0.6 0.048 0.7 0.07 0.8 0.05 0.9 0.008.0 0.005. 0.00. 0.000 Kputusan-kputusan dalam contoh. dan contoh. diplotkan dalam ajah.. Jlas klihatan dalam pngiraan scara brangka di atas trdapat prbzaan dngan pngiraan sbnar krana ia adalah pnlsaian hampiran sprti ang dinatakan dalam Bahagian.. Walau bagaimanapun prbzaan ini dapat diprbaiki jika langkah masa dipndkkan. Satu lagi contoh pnggunaan kadah brangka ang biasa dalam kjurutraan ialah dalam masalah litar lktrik. Katakan litar lktrik ang ditunjukkan dalam ajah.4 dianalisis dngan mnggunakan hukum Kirchho pada stiap glung. Prsamaan untuk stiap glung adalah
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 0 0. 0.4 0.6 0.8..4 0 0. 0.4 0.6 0.8. t v Pnlsaian brangka Pnlsaian tpat AJAH. Prbandingan lngkuk halaju untuk contoh. dan contoh. V 4 8 7 9 6 5 4 V AJAH.4 Masalah dalam litar lktrik Glung : 0 5 4 9 6 V Glung : 0 6 7 V Glung : 0 4 8 7 Glung 4: 0 4 4 4 8 4 9 Kumpulkan smua prsamaan di atas dan bntukkan kpada matrik di bawah: 0 0 0 0 0 0 4 9 8 4 8 9 8 8 7 7 7 7 6 6 9 6 9 6 5 V V
/ Kadah Brangka Kjurutraan Prsamaan matriks di atas bolh ditulis dalam bntuk dngan [] ialah matriks rintangan {} ialah vktor arus ang hndak dicari dan {V} ialah vktor voltan ang mwakili kadaan smpadan atau ungsi daa untuk ks ini. Prsamaan ini bolh dislsaikan dngan mnggunakan salah satu kadah dalam Bab. Dalam kajian katas sistm tnaga ang trbntuk adalah brdasarkan hukum imbangan atau hukum kabadian tnaga. Tnaga bolh wujud dalam bntuk tnaga mkanik haba tindakbalas kimia lktromagnt dan lain-lain. Ksmua ini disimbangkan mngikut hukum kabadian tnaga. Sbagai contoh jika bban diknakan kpada suatu jasad jasad trsbut akan mngalami ubahbntuk. Krja luaran olh bban dijlmakan kpada tnaga dalaman dan disimpan dalam jasad. Hukum kabadian tnaga mnatakan bahawa krja luaran sharusna sama dngan tnaga dalaman. Bila bban dilpaskan tnaga dalaman akan digunakan untuk mngmbalikan jasad kpada bntuk asal. Dalam kbanakan masalah kjurutraan hukum kabadian biasana diungkapkan dalam bntuk V input output Jika 0 maka input output dan ini dinamakan kadaan mantap. Kadaan mantap dalam ks rdaman dalam contoh. ialah ni mnbabkan c 0 v m v 0. Struktur Litar aktor AJAH.5 Kndraan Contoh prmodlan masalah dalam kjurutraan
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / Contoh-contoh hukum kabadian untuk ks-ks ang digambarkan dalam ajah.5 ang digunakan dalam bidang-bidang kjurutraan brikut:. Bidang Kjurutraan Awam mnggunakan prinsip kabadian daa bagi mndapatkan ksimbangan daa pada sbuah struktur kkuda.. Bidang Kjurutraan Elktrik mnggunakan prinsip kabadian tnaga bagi mngira ksimbangan arus dan voltan dalam suatu litar.. Bidang Kjurutraan Kimia mnggunakan prinsip kabadian jisim bagi mngira ksimbangan sbuah raktor. 4. Bidang Kjurutraan Mkanik mnggunakan prinsip kabadian momntum bagi mngira ksimbangan daa dalam sbuah kndraan.. Komputr dan Prisian Kadah brangka tidak trlpas dari dua prkara; iaitu matmatik dan komputr. Matmatik diprlukan bagi mmodlkan masalah dalam kjurutraan shingga trbntukna ormula. Kmudian ormula ini didiskrtkan mlalui kadah brangka ang ssuai agar mndapat pnlsaian pnghampiran. Kadah ini akan mlibatkan banak nombor di mana pnggunaan komputr sangat brssuaian untuk mnjalankan pross pngiraan brangka mlalui pmbinaan arahan-arahan trtntu. Arahan kpada komputr ini dinamakan prisian. Bahasa ang digunakan olh prisian untuk brkomunikasi dngan komputr diknali sbagai bahasa pngaturcaraan contohna BASC Algol Cobol Pascal Fortran dan C. Dan dngan prkmbangan psat dalam tknologi maklumat muncul pula bahasa pngaturcaraan brorintasikan objk ang banak digunakan dalam prskitaran brttingkap sprti Visual Basic C dan Java. Program ang ditulis dalam mana-mana bahasa dinamakan kod sumbr. Kod ini kmudianna ditrjmahkan kpada bahasa msin ang diahami olh mikropmpross komputr supaa dapat komputr trsbut mnjalankan pngiraan. Kdua-dua komputr dan prisian mngalami prkmbangan ang psat ktika ini. Komputr ang ada skarang adalah pribadi PC stsn krja krangka krja dan suprkomputr. Pross atau langkah pmbikinan suatu prisian adalah sprti brikut:. ka bntuk algoritma. Pnulisan aturcara. Pnahpijatan dan ujian 4. Dokumntasi 5. Pnlnggaraan dan Prbaikan.
4 / Kadah Brangka Kjurutraan Simbol JADUAL. Simbol-simbol dalam carta alir Fungsi Mula/brhnti Aliran logik Pross atau olahan data nput/output Pmilihan kputusan Sndi/prhntian dalam muka ang sama Sambungan k muka ang brlainan Glung kawalan bilangan. Mulakan pngiraan. Mula. Masukkan nilai prtama. Masukkan a. Masukkan nilai kdua. 4. Tambahkan kdua-dua nilai. Masukkan b c a b BEGN tambah NPUT a NPUT b c = a + b PNT c END tambah 5. Ctakkan kputusan. Ctakkan c 6. Tamatkan pngiraan. Tamat a Algoritma b Carta alir c Psudokod AJAH.6 Algoritma carta alir dan psudokod untuk aturcara pnambahan
ka bntuk algoritma biasana mngandungi komponn: Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 5. Algoritma suatu turutan langkah-langkah logik ang diprlukan untuk mnjalankan suatu prkara.. Carta alir prsmbahan algoritma scara graik di mana simbolna bolh dirujuk kpada Jadual... Psudokod satu st arahan langkah dmi langkah ang mnghampiri kod komputr. Sbagai contoh algoritma carta alir dan psudokod untuk satu aturcara pnambahan dua angka dibrikan dalam ajah.6..4 alat Pnlsaian masalah brangka slaluna mmbrikan jawapan hampiran ang tidak bgitu tpat disbabkan olh ralat. Olh itu tujuan utama subjk ini ialah untuk mngtahui samada ktpatan pnlsaian bolh diprbaiki atau jika tidak ktidaktpatanna bolh ditntukan. alat bukanlah satu ksilapan ttapi lbih mrujuk kpada prbzaan di antara nilai sbnar dan kuantiti pnghampiran. alat ang timbul dalam bidang sains kjurutraan dan lain-lain trbahagi kpada dua iaitu ralat ormula matmatik dan ralat pnlsaian brangka. alat ang prtama adalah disbabkan andaian ang dibuat smasa pnrbitan suatu ormula matmatik dan tidak akan dibincangkan di sini manakala ralat pnlsaian brangka trbahagi kpada dua jnis iaitu:. alat Pangkasan Smasa mnggunakan ormula-ormula ang tidak trhingga kita mngambil sbutan trhingga dan sbutan slbihna dipangkas atau dibuang. Prhatikan siri ungsi sinus di bawah: n sin i i i!! 5 5! 7 7! i a mrupakan suatu siri ang tidak trhingga di mana n. Untuk mndapatkan nilai sin0.5 siri ini harus dipangkas brgantung kpada kprluan kjituan iaitu nilai n ang dipilih. Contohna
6 / Kadah Brangka Kjurutraan n : n : n : sin0.5 0.5000000000 0.5 sin0.5 0.5 0.479666667!! 5 5 0.5 0.5 sin0.5 0.5 0.4794708! 5!! 5! dan strusna di mana nilai sbnar sin0.5 0.4794559.. alat Pmbundaran Kbanakan pngiraan sama ada ang mnggunakan komputr atau tidak banak mlibatkan bilangan digit atau tmpat prpuluhan tidak trhingga misalna 0.. 788884 6.4596559 Olh itu nombor-nombor ini prlu dibundarkan kpada n digit trtntu. Prhatikan bila pangkasan atau pmbundaran dilakukan ia akan mnbabkan ralat. Dalam hal ini praturan ang digunakan untuk mmbundarkan satu nombor ang mmpunai lbih dari n digit kpada n digit adalah:. Jika digit n 5 biarkan n tanpa prubahan. Jika digit n 5 tambah satu unit digit n. Contoh brikut mnunjukkan bagaimana pmbundaran dilakukan kpada mpat digit nombor:.75.75.7765.78 Prhatikan bahawa ralat mutlak kdua-dua contoh di atas mmbri nilai kurang dari 0.5 0 atau 0.5E0. ni mnunjukkan bahawa nombor-nombor trsbut tlah dibundarkan dngan btul kpada tiga titik prpuluhan. alat prbundaran inilah ang slalu trjadi apabila mnggunakan komputr. Komputr akan mnjalankan pngiraan oprasi aritmtik dngan kpantasan ang tinggi. Olh itu ukuran trhadap ralat dan hasil oprasi aritmtik ini prlu diktahui supaa dapat mngawal kadaanna.
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 7.4. Ukuran alat Jika * adalah pnghampiran kpada maka alat alat mutlak alat rlati sbnar * Jika nilai sbnar tidak diktahui ralat rlati pnghampiran alat dalam pngiraan brangka slaluna dibrikan olh ralat rlati pnghampiran ang bolh ditulis juga dngan a nilai trkini nilai trdahulu nilai trkini di mana kdua-dua nilai trkini dan trdahulu mrupakan nilai pnghampiran. Bagi nombor ang brdkatan dngan satu ukuran ralat mutlak dan rlati mmbri nilai ang hampir sama. Walau bagaimanapun nombor ang tidak mnghampiri satu sama ada sangat bsar atau sangat kcil bza di antara kdua-duana bsar. ni ditunjukkan dalam contoh-contoh.-5 di bawah. Contoh. Andaikan * 0.456 dan 0.45678. Dapatkan ralat mutlak dan ralat rlati sbnar. Pnlsaian alat mutlak 045678. 0456. alat rlati 0.00000078 0.78 0 6 0.000006 0.6 0. 0.00000078 0.45678 5. ni jlas mnunjukkan bahawa prbzaan kdua-dua jnis ralat adalah kcil. % *
8 / Kadah Brangka Kjurutraan Contoh.4 Andaikan * 0.00005 dan 0.00006. Dapatkan ralat mutlak dan ralat rlati sbnar. Pnlsaian alat mutlak alat rlati 0.00006 0.00005 0.0000. 0.0000 0.00006 0.6667. ni jlas mnunjukkan bahawa prbzaan kdua-dua jnis ralat adalah bsar. Contoh.5 Andaikan * 0.456 0 0 dan 0.45678 0 0. Dapatkan ralat mutlak dan ralat rlati sbnar. Pnlsaian alat mutlak alat rlati 0.45678 0.456 0 0.00000078 0 0.780 4 0.6 0.. 0 0.00000078 0 0.45678 0 5 0 0 ni jlas mnunjukkan bahawa prbzaan kdua-dua jnis ralat adalah sangat bsar. 0
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 9.4. Aritmtik dan Prambatan alat Jika pngiraan dijalankan pada suatu nombor ang tlah mmpunai ralat kputusan slanjutna juga akan mmpunai ksan ralat tadi. Prambatan ralat ialah untuk mngtahui bagaimana ralat asal mrambat apabila nombor atau ungsi dijumlahkan ditolakkan didarabkan atau dibahagikan dngan suatu nombor atau ungsi lain. Katakan nilai pnghampiran ialah * dan * daripada nilai sbnar dan manakala ralat masing-masing adalah dan. Pnambahan. Maka prambatan ralat hasil pnambahan dan adalah atau dngan ralat rlati pnghampiran ialah Pnolakan. Maka prambatan ralat hasil pnolakan dan adalah atau dngan ralat rlati pnghampiran ialah NOTA: alat pnambahan dan pnolakan mmpunai nilai ralat mutlak ang sama iaitu:
0 / Kadah Brangka Kjurutraan Pndaraban. Abaikan dan iana mmbrikan Maka prambatan ralat hasil pndaraban dan adalah. alat rlati pnghampiran ialah Pmbahagian. Maka prambatan ralat adalah dan ralat rlati pnghampiran ialah /
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / Contoh.6 Dapatkan ralat jika * 49. dan * 86.4 dngan 0.05 dan 0.05. Pnlsaian 60.6. 0.05 86.4 0.05 49. Olh itu nilai sbnar trltak antara 04.9 60.6. alat rlatina adalah 0.000.4. Prambatan alat dalam Fungsi Satu Pmbolh Ubah Prtimbangkan: Dngan mnggunakan pngmbangan siri Talor didapati Nilai adalah kcil dan kuasa bolh diabaikan maka * * * Sprti biasa untuk mndapatkan ralat rlati bahagikan ralat di atas dngan atau *. Contoh.7 Prtimbangkan ungsi 0 7 5 dngan.0 dan *. Dapatkan ralat mrambat mutlak dan rlati.
/ Kadah Brangka Kjurutraan Pnlsaian 4 7 5 7 5 6 0 7 5 4. 4.0 alat mutlak *.70. 6 4 alat rlati.4.4 Prambatan alat dalam Fungsi Brmultipmbolh Ubah Andaikan dan maka. Strusna pngmbangan siri Talor akan mmbrikan. Maka ralat adalah dan sarat bagi nilai ralat mutlak adalah
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / alat rlatina adalah Hubungan ini bolh dilanjutkan kpada n pmbolh ubah sbagai n n Contoh.8 Andaikan dngan 0. 0. dan.7 0.0. Dapatkan ralat prambatan bagi ungsi pada titik 0..7. Pnlsaian 0.04..7 0. 0.0.7 0. alat mutlak Olh itu didapati ralat pada 0..7 adalah 0.04..5 ingkasan Sprti ang dinatakan dalam Bahagian. kadah brangka mrupakan kadah altrnati ang mmbrikan suatu pnlsaian hampiran kpada suatu masalah matmatik atau kjurutraan. Dalam stngah ks ia juga bolh mnghasilkan pnlsaian tpat contohna mlalui pnggunaan kadah pnghapusan Gauss dalam mnlsaikan suatu sistm prsamaan srntak sprti ang akan disntuh dalam Bab nanti. Namun dalam kbanakan ks ia mnghasilkan pnlsaian hampiran dngan ralat trtntu. Olh itu kajian dalam kadah brangka bukan sahaja trtumpu kpada tknik untuk mndapatkan jawapanna sahaja malah turut mnliti sama ada ralat ang dihasilkanna
4 / Kadah Brangka Kjurutraan adalah cukup kcil untuk mmbolhkan jawapan trsbut ditrima atau sbalikna. Strusna bab-bab slpas ini akan mmbincangkan tknik-tknik pnlsaian brangka untuk tajuk-tajuk ang tlah diknal pasti dalam Bahagian. dngan lbih trprinci. Latihan. Trangkan prbzaan istilah brikut: a. Pnlsaian tpat b. Pnlsaian brangka c. Prmodlan matmatik d. Prmodlan izikal. Pnlakuan. Brikan satu contoh kjurutraan bagi stiap tajuk brikut: a. Sistm prsamaan linar b. Punca prsamaan c. ntrpolasi d. Pngoptimuman. Kamiran brangka. Prsamaan kbzaan biasa g. Prsamaan kbzaan spara. Prsamaan anjakan dari contoh. dibrikan sprti brikut: U a. Plotkan lngkung anjakan mlawan masa untuk prsamaan di atas. b. Bangunkan prsamaan matmatik untuk sistm brjisim m dngan prdam ang sama mmpunai gsran ang mnbabkan rintangan. Dngan mngambil daa gsran F.5 N dapatkan pnlsaian brangka dan pnlsaian tpat bagi masalah ini. Plotkan lngkung anjakan mlawan masa dalam gra ang sama. 4. Bangunkan prsamaan kbzaan ang mwakili anjakan untuk sbuah sistm multipgas brkkakuan k k k n dngan sbuah prdam brpkali rdaman c untuk ks-ks di mana pgas-pgas diltakkan scara: t
Pngnalan Kpada Kadah Brangka / 5 a. brsiri b. slari. 5. Litar lktrik dalam ajah.4 mmpunai nilai rintangan ang sama dan sumbr voltan ang sama V V V. Bntukkan smula matriks dan slsaikan dan 4 dalam sbutan dan V. 6. a. Bagaimana prkmbangan komputr skarang ini dapat mmbantu saintis dan jurutra dalam mnjalankan krja mrka. b. Brikan klbihan dan kkurangan prisian bahasa pngaturcaraan sprti BASC Fortran dan C brbanding dngan prisian pngkomputran sprti MatLab Mathmatica dan MathCAD. 7. Binakan algoritma carta alir dan psudokod untuk oprasi-oprasi brikut: a. Pngalihan atau transposisi matriks A brsaiz m n. b. Pnambahan matriks A brsaiz m n dngan matriks B brsaiz m n. c. Pndaraban matriks A brsaiz m n dngan matriks C brsaiz n p. 8. Jalankan pngiraan brikut dngan mnggunakan kalkulator dan komputr: 999999999 999999998 Prhatikan prbzaanna dan kirakan ralat. Trangkan mngapa trdapat prbzaan pngiraan ang dibrikan olh dua pralatan trsbut. 9. Dalam matmatik kuantiti bolh ditakrikan dalam bntuk siri sbagai: p k k0 k! Dapatkan ralat pangkasan dan ralat rlati bagi untuk bilangan ungkapan 4 dan 5 brbanding dngan nilai sbnar.7888. 0. Dapatkan ralat mutlak dan ralat rlati bagi: a. / 9 dan * 0. b.. 494 dan *. 496 c. pi dan pi * / 7 d. g 9. 8065 dan g * 0.. Jika nilai dan z adalah dibri sprti brikut:
6 / Kadah Brangka Kjurutraan 0.5 0.05 4.07 0.0 z 0.0 0.0 tuliskan kuantiti-kuantiti brikut brsrta dngan ralat mutlakna: a. z b. z c. z d. z.. Jika nilai a b dan c adalah dibri sprti brikut: a 5.755 0.00 b 4.0 0.00 c.0057 0.000 dapatkan ralat mutlak dan ralat rlati untuk ungsi-ungsi di bawah: a. a b c aba c b. a b c ab b c c. a b c b ac d. b b 4ac a b c. a