Lecture 1: ALGEBRA OF SETS Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), A B = {x x A x B} Irisan (intersection), A B = {x x A x B} Selisih (difference), A B = {x x A x B} = A B Selisih simetri (symmetric difference) A B = {x x (A B) dan x (A B)} = (A B) (A B) Hasil kali (cartesian product) A B = {(a, b) a A dan b B}. Kompisisi yang menyangkut satu himpunan, misalnya adalah komplemen (complement): A = {x x U dan x A} = U A. Berikut diberikan rumusru-mus pokok dari aljabar himpunan. Proposition 1. Jika A, B, dan C sembarang himpunan, maka berlaku (a) Sifat refleksif (reflexivityi) A A (b) Sifat antisimetris (antisymmetry) (A B dan B A) jika dan hanya jika A = B (c) Sifat transitif (transitivity) jika (A B dan B C) maka A C. Turunkan langsung dari bukti inklusi ( ). (c) Diambil sembarang x A. Karena A B, maka x B. Karena B C, maka x C. Jadi, x A x C, yaitu A C. (buktikan untuk (a) dan (b)) Theorem 2. Jika A, B, dan C sembarang himpunan, maka berlaku (a) Sifat idempoten A A = A A A = A (b) Sifat komutatif A B = B A A B = B A (c) Sifat asosiatif (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)
(d) Sifat distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (a) A A = {x x A dan x A} = {x x A } = A Begitu juga untuk A A = A, caranya analog. (b) A B = {x x A dan x B} = {x x B dan x A} = B A Begitu juga untuk A B = B A, caranya analog. (c) (buktikan) (d) Langkah 1: dibuktikan A (B C) (A B) (A C). Ambil sembarang x A (B C), maka berlaku x A atau x B C. Jika x A, maka x A B dan x A C, jadi x (A B) (A C) Jika x A, maka x B C x B dan x C x A B dan x A C x (A B) (A C) Terbukti: x A (B C) x (A B) (A C), artinya A (B C) (A B) (A C). Langkah 2: dibuktikan (A B) (A C) A (B C) Ambil sembarang x (A B) (A C), maka berlaku Jika x A, maka x A (B C). Jika x A, maka x B dan x C, sehingga x (B C), maka x A (B C). Terbukti: x (A B) (A C) x A (B C), artinya (A B) (A C) A (B C). Dari langkah 1 dan 2, terbukti sifat distributif. Begitu juga untuk A (B C) = (A B) (A C), caranya analog. Proposition 3. Jika A, B, dan C subset dari S, maka berlaku (a) Existence of a least element and a greatest element φ A S (b) Existence of joins A (A B) dan B (A B) Jika A C dan B C, maka (A B) C
(c) Existence of meets (A B) A dan (A B) B Jika C A dan C B, maka C (A B). Langsung dari definisi (buktikan). Proposition 4. Jika A dan B sembarang himpunan, maka A B A B = A A B = B A B = φ B A Artinya, pernyataan-pernyataan tersebut ekuivalen.. Langsung dari definisi (buktikan). Proposition 5 (Rumus De Morgan). Jika A dan B sembarang himpunan, (a) (A B) = A B (b) (A B) = A B (a) (buktikan) (c) Langkah 1: dibuktikan (A B) A B Ambil sembarang x (A B) x (A B) artinya x (A B) x A dan B x A x B x A x B x A x B x (A B ) Terbukti: x (A B) x (A B ). Artinya (A B) A B Langkah 2: dibuktikan A B (A B). analog. Dari langkah 1 dan 2, terbukti bahwa (A B) A B. Proposition 6. Jika A subset dari himpunan semesta U, maka (a) Double complement or involution law (A ) = A (b) Complement laws for the universal set and empty set φ = U U = φ
(a) Langkah 1: dibuktikan (A ) A Ambil sembarang x (A ) x A x A. Terbukti x (A ) x A. Artinya, (A ) A Langkah 2: dibuktikan A (A ) Ambil sembarang x A x A x (A ). Terbukti x A x (A ). Artinya, A (A ) Dari langkan 1 dan 2, terbukti bahwa (A ) A. (b) (buktikan) Proposition 7. Jika A subset dari himpunan semesta U, maka (a) φ A U (b) Hukum identitas (identity laws) A φ = A A U = A (c) Hukum dominasi (domination laws) A U = U A φ = φ (d) Hukum komplemen (complement laws) A A = U A A = φ. (buktikan). Proposition 8. Jika A dan B sembarang himpunan, maka (a) Hukum absorbsi (absorption laws) A (A B) = A A (A B) = A (b) A B = A B. (buktikan). Proposition 9. Jika A, B, dan C sembarang himpunan, maka (a) A B = (A B ) (B A ) (b) A B = B A (c) (A B) C = A (B C) (d) A (B C) = (A B) (A C). (a) A B = (A B) (A B) (definisi selisih simetri) = (A B) (A B) (definisi selisih) = (A B) (A B ) (h. De Morgan) = {A (A B )} {B (A B )} (h. distributif)
= {(A A ) (A B )} {(B A ) (B B )} (h. distributif) = {φ (A B )} {(B A ) φ} (h. komplemen) = (A B ) (B A ) (h. identitas) (buktikan (b), (c), dan (d)) Proposition 10. Jika A dan B subset dari himpunan semesta U, maka Jika A B = U dan A B = φ, maka B = A. (buktikan)