BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik dapat dipandang sebagai suatu sistem yang bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik yang menggunakan waktu kontinu disebut dengan sistem dinamik kontinu dan sistem dinamik yang menggunakan waktu diskrit disebut dengan sistem dinamik diskrit. Perhatikan persamaan diferensial yang didefinisikan sebagai berikut: ( ) (1.1) dengan adalah fungsi dari dan merupakan fungsi dari. Persamaan (1.1) disebut juga dengan persamaan diferensial skalar autonomous. Skalar karena pada dimensi satu dan autonomous sebab fungsi tidak bergantung pada (Hale & Kocak, 1991: 4). Fungsi ( ) dikatakan solusi dari persamaan (1.1) pada interval jika ( ) ( ( )) untuk setiap. Solusi khusus dari persamaan (1.1) dengan nilai awal saat dapat dituliskan sebagai berikut:. (1.2) Persamaan (1.2) disebut dengan masalah nilai awal dan setiap solusinya disebut solusi yang melalui saat. Solusi persamaan (1.2) sering dinotasikan dengan ( ) atau ( ). Jika merupakan fungsi, yaitu 1
fungsi yang turunan pertamanya kontinu, maka persamaan diferensial autonomous di atas dapat dipandang sebagai suatu sistem dinamik kontinu. Solusi dari sistem dinamik kontinu terkadang sulit untuk diperoleh, sehingga untuk mengetahui sifat solusi dari sistem tersebut dapat dianalisis melalui nilai-nilai eigen yang dimilikinya. Suatu titik disebut titik ekuilibrium atau titik kritis dari sistem (1.1) jika memenuhi ( ) (Hale & Kocak, 1991: 11). Titik ekuilibrium dikatakan stabil jika solusi dari sistem akan semakin mendekati titik ekuilibrium seiring dengan bertambahnya waktu dan sebaliknya akan tidak stabil jika solusi sistem akan menjauhi titik ekuilibrium seiring dengan bertambahnya waktu. Titik ekuilibrium dari suatu system ada yang rentan akan suatu gangguan. Hanya dengan sedikit saja gangguan, titik ekuilibrium dari sistem dapat berubah. Hal ini dapat mengakibatkan perubahan kestabilan titik ekuilibrium yaitu stabil menjadi tidak stabil atau sebaliknya. Keadaan seperti ini yang disebut dengan bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan keadaan dinamik dari suatu sistem seiring dengan perubahan nilai parameter (Roat, 2012: 28). Sistem dinamik diskrit didefinisikan sebagai ( ) (1.3) dengan dan adalah variabel waktu diskrit (Hunter, 2011: 13). Salah satu bagian dari sistem dinamik diskrit adalah scalar mapping. Disebut scalar mapping karena persamaan (1.3) merupakan persamaan beda berdimensi satu yang disebut juga dengan mapping f dan bernilai 2
skalar. Jika diberikan suatu nilai awal, maka dapat diperoleh dari hasil iterasi mapping terhadap. Setelah diperoleh, dapat diperoleh dari hasil iterasi mapping terhadap dan begitu seterusnya. Jadi diperoleh barisan bilangan riil sebagai berikut ( ) ( ) merupakan barisan dari persamaan (1.4) yang diperoleh dari iterasi mapping. Pada sistem dinamik diskrit, titik kesetimbangan disebut dengan titik tetap dan dinotasikan dengan. Titik disebut titik tetap dari jika memenuhi ( ) (Hale & Kocak, 1991: 72). Kestabilan dari titik tetap dapat dianalisa melalui barisan hasil iterasi dari mapping terhadap terhadap. Titik tetap akan stabil jika barisan hasil iterasi dari mapping semakin mendekati titik tetap dan sebaliknya akan tidak stabil jika barisan hasil iterasi dari mapping terhadap menjauhi titik tetap. Seperti halnya pada sistem dinamik kontinu, scalar mapping juga mengalami bifurkasi. Bifurkasi yang terjadi pada sistem dinamik kontinu sudah banyak dianalisis. Oleh karena itu, pada tugas akhir ini akan dianalis bifurkasi yang terjadi pada sistem dinamik diskrit, yaitu scalar mapping. 3
B. Batasan Masalah Pembatasan ruang lingkup permasalahan yang perlu diperhatikan dalam tugas akhir ini yaitu: 1. scalar mapping yang dibahas adalah scalar mapping berdimensi satu dengan satu parameter dan scalar mapping berdimensi satu dengan dua parameter. 2. tidak membahas mengenai chaos. C. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, maka diperoleh rumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana kestabilan dari titik tetap pada scalar mapping? 2. Bifurkasi apa yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus monotone map? 3. Bifurkasi apa yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus logistic map? D. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini yaitu: 1. Mengetahui kestabilan dari titik tetap pada scalar mapping. 2. Mengetahui bifurkasi yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus monotone map. 3. Mengetahui bifurkasi yang dapat muncul pada scalar mapping untuk kasus logistic map. 4
E. Manfaat Penulisan Adapun manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah memperkaya wawasan bagi penulis maupun pembaca mengenai dinamika yang terjadi pada scalar mapping, yaitu kestabilan dan juga bifurkasi yang terjadi pada scalar mapping. 5