P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)

Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Buktikan bahwa: P (A c B c ) = 1 P (A) P (B) + P (AB) P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB) 2. Diketahui P (A B) = P (A B c ) = 0.7. Hitung P(A). Apakah diperlukan asumsi kebebasan untuk kejadian A dan B? Jelaskan! P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) = 0.7; P (A B c ) = P (A) + P (B c ) P (AB c ) = 0.7. Jika kedua persamaan diatas dijumlahkan diperoleh, 2P (A) + P (B) + P (B c ) [P (AB) + P (AB c )] = 1.4. Jadi, P (A) = 0.4, karena P (B) + P (B c ) = 1 dan P (AB) + P (AB c ) = P (A) (untuk A dan B saling bebas ataupun tidak) 3. Misalkan Avi, Evi, dan Ivi bermain dengan cara melantunkan koin. Jika keluaran koin dari salah satu dari mereka tidak berbeda maka permainan berakhir. Jika tidak, maka lantunan koin diulang. Hitung peluang bahwa permainan berakhir pada lantunan koin yang kedua. Ruang sampel S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BBB, BBM, BMB, BMM}. Peluang permainan berakhir pada lantunan koin yang pertama adalah P ({MMM}) + P ({BBB}) = 1/8 + 1/8 = 1/4. Sedangkan peluang permainan berlanjut setelah lantunan pertama adalah 1 P (permainan berakhir pada lantunan pertama) = 3/4. Jadi, permainan berakhir pada lantunan kedua dengan peluang (3/4)(1/4) = 3/16. 1

4. Zeita melantunkan sebuah dadu merah dan sebuah dadu hijau. Misalkan A = dadu merah menunjukkan titik 2 atau 4, B = jumlah titik dadu untuk kedua dadu paling banyak 7. Apakah kejadian A dan B saling bebas? P (A) = P (2) + P (4) P (24) = 1/3 P (B) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/36 = 21/36 = 7/12 Jadi, P (A)P (B) = 7/36 Sementara itu, P (AB) = P ({(2, 1),..., (2, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}) = 8/36 2

Diskusi 2 Tanggal 5 Februari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Kuis Selamat Datang 2. Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memiliki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran? Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memiliki dua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi, P (LK U) = P (LK U) P (U) = P ({{LL} {LL, LLc, L c L}}) P ({LL, LL c, L c L}) P ({LL}) = P ({LL, LL c, L c L}) = (1/4)/(3/4) = 1/3 3. Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan p i adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Misalkan K i, i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah P (T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 3

Diskusi 3 Tanggal 12 Februari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total; 1. Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan p i adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? P (T K 1 )P (K 1 ) P (K 1 T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 p 1 )(1/3) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 2. Iva memegang sebuah koin yang memiliki sisi MUKA dan BELAKANG dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki dua sisi MUKA. Iva kemudian memilih sebuah koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul MUKA. Misalkan Iva memilih sebuah koin lagi secara acak dan melantunkan untuk keduakalinya dan muncul MUKA. Kemudian Iva melakukan hal yang sama untuk ketigakalinya dan muncul MUKA. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin bersisi MUKA dan BELAKANG? Misalkan M kejadian muncul MUKA; K 1 kejadian memiliki koin dengan sisi MUKA dan BELAKANG; K 2 kejadian memiliki koin dengan dua sisi MUKA. P (K 1 M) = P (M K 1)P (K 1 ) P (M) P (M K 1 )P (K 1 ) = P (M K 1 )P (K 1 ) + P (M K 2 )P (K 2 ) (1/2)(1/2) = (1/2)(1/2) + (1)(1/2) 4

Diskusi 4 Tanggal 26 Februari 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang pada nilai peubah acak; fungsi peluang; fungsi distribusi; ekspektasi; variansi; distribusi diskrit; distribusi kontinu; ekspektasi bersyarat 1. Enam laki-laki dan 5 perempuan melamar suatu pekerjaan di PT KhrshFin. Empat dari mereka terpilih secara acak untuk diwawancarai. Misalkan X menyatakan banyak perempuan yang terpilih. Tentukan fungsi peluang f(x). Tentukan peluang bahwa satu atau dua perempuan terpilih. Berapa banyak perempuan yang diharapkan terpilih? Fungsi peluang untuk X adalah P (X = k) = C5 k C6 4 k C4 11, k = 0, 1, 2, 3, 4 2. Suatu peubah acak X memiliki distribusi peluang p, x = 1.9 0.1, x = 0.1 0.3, x = 20p P (X = x) = p, x = 3 4p, x = 4 0, x yang lain Tentukan fungsi distribusi F (x). p + 0.1 + 0.3 + p + 4p = 1. Didapat p = 0.1. 0, x < 1.9 0.1, 1.9 x < 0.1 0.2, 0.1 x < 2 F (x) = 0.5, 2 x < 3 0.6, 3 x < 4 1, x 4 3. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 5

0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) = 7/10, 0 x < 1 1, 1 x f( 3.1) = 3/5 = 6/10; f(0) = 1/10; f(1) = 3/10 4. Lihat soal No 1, berapa banyak perempuan yang diharapkan terpilih? 6

Diskusi 5 Tanggal 5 Maret 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang pada nilai peubah acak; fungsi peluang; fungsi distribusi; ekspektasi; variansi; distribusi diskrit; distribusi kontinu; ekspektasi bersyarat 1. Suatu hasil produksi (misalkan sebuah TV) akan rusak dengan peluang 0.1. Hasil produksi saling bebas. Jika terdapat 3 hasil produksi (3 buah TV), berapa peluang bahwa paling banyak 1 TV rusak? 2. Suatu jasa pengetikan skripsi memperkerjakan A, B, C. Rata-rata banyaknya kesalahan ketik per halaman adalah 3 saat pengetinya A, 4.2 jika diketik B dan 2.1 apabila C yang mengetik. Jika pada tulisan dengan 7 halaman mungkin diketik oleh A, B, C dengan peluang sama, berapa peluang tidak ada kesalahan ketik? Berapa peluang ada paling banyak 3 kesalahan ketik? 3. Misalkan Avi, Evi, dan Ivi bermain dengan cara melantunkan koin. Jika keluaran koin dari salah satu dari mereka berbeda maka permainan berakhir. Jika tidak, maka lantunan koin diulang. Tentukan distribusi peluang banyak lantunan koin yang dilakukan. Hitung peluang bahwa permainan berakhir pada lantunan koin yang ketiga. 4. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: Y = y 0 1 2 3 4 5 6 P(Y=y) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05 Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. (i) Berapa peluang bahwa paling banyak 1 pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol? (ii) Hitung E(W ) 7

Diskusi 6 Tanggal 12 Maret 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang pada nilai peubah acak; fungsi peluang; fungsi distribusi; ekspektasi; variansi; distribusi diskrit; distribusi kontinu; ekspektasi bersyarat 1. Maskapai penerbangan Serigala Air mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? 2. Meta berada di pemberhentian angkot pada pukul 10. Meta tahu bahwa angkot akan datang pada suatu waktu yang berdistribusi Uniform antara jam 10 dan 10.30. Berapa peluang bahwa Meta harus menunggu lebih dari 10 menit? Jika sampai pukul 10.15 angkot tidak datang, berapa peluang bahwa Meta harus menunggu setidaknya 10 menit lagi? 3. Maya berhitung bahwa waktu tempuh dari tempat kos ke kampus berdistribusi normal dengan mean 40 (menit) dan deviasi standar 7 (menit). Jika Maya ingin yakin 95% tidak akan terlambat datang ke kampus untuk kuliah jam 1 siang, jam berapa (paling telat) sebaiknya Maya berangkat dari tempat kos? 4. Sepuluh tahun lalu, di perusahaan SYanti BumiPuteri, nilai klaim untuk asuransi rumah berdistribusi eksponensial. Diketahui, 25% klaim kurang dari 1000 (dolar). Kini, nilai klaim tetap berdistribusi eksponensial. Tapi, karena inflasi, setiap klaim yang diajukan memiliki nilai dua kali lebih besar dari klaim yang sama yang diajukan 10 tahun lalu. Tentukan peluang sebuah klaim yang diajukan hari ini kurang dari 1000. 8

Diskusi 7 Tanggal 19 Maret 2014, Waktu: suka-suka menit Peluang pada nilai peubah acak; fungsi peluang; fungsi distribusi; ekspektasi; variansi; distribusi diskrit; distribusi kontinu; antrean eksponensial 1. Tentukan { fungsi distribusi dari fungsi peluang berikut: x 2, 2 x < 3 f(x) = 1/4, 4 < x < 6 2. Misalkan X i, i = 1, 2 peubah acak-peubah acak dengan fungsi peluang f(x i ) = θ e θx i, x i > 0. Hitung P (X 1 < X 2 ) 3. Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrean di Bank berdistribusi eksponensial dengan mean 10. Peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani adalah.. Sedangkan peluang seseorang menunggu lebih dari 15 menit setelah dia menunggu lebih dari 10 menit adalah.. P (X > 15) = exp( 15(1/10)) = exp( 3/2) P (X > 15 X > 10) = P (X > 5) = exp( 5(1/10)) = exp( 1/2) 4. Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller A dan B yang sibuk melayani nasabah Uvi dan Ivi. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang, Ovi, yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabahnya. Diketahui waktu layanan (service time) teler A dan B adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θ. Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah pertama yang akan meninggalkan Bank? Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank? 0, 1/2. Misalkan S A dan S B adalah waktu layanan teller A dan B. Peluang Ovi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank sama artinya dengan peluang waktu layanan Ovi di teller A (atau di teller B), setelah Uvi (atau Ivi) selesai dilayani, lebih besar dari waktu layanan Ivi (atau Uvi) di teller B (atau di teller A). 9

Dengan kata lain, P (S O > S U + S I ) = P (S O > S I S I > S U )P (S I > S U ) + P (S O > S U S U > S I )P (S U > S I ) = P (S O > S I )P (S I > S U ) + P (S O > S U )P (S U > S I ) 5. Misalkan Laila memasuki sebuah Bank yang memiliki seorang teller. Laila melihat ada 5 nasabah di Bank, 1 orang sedang dilayani dan 4 orang yang lain antri. Laila pun antre. Jika waktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Laila di Bank? Misalkan T lama waktu Laila di Bank. E(T I ) = E(S I ) + 5 E(S i ) = 6/µ i=1 6. Mesin 1 (M1) sedang bekerja. Mesin 2 (M2) akan dipasang untuk dipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesin i berdistribusi eksponensial dengan mean λ i, i = 1, 2, berapa peluang M1 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidak dapat dipakai lagi)? P (M1 rusak pertama) = P (M1 rusak pertama M1 msh bekerja sampai waktu t) P (M1 msh bekerja sampai wkt t) + P (M1 rusak pertama M1 rusak pd wkt t)p (M1 rusak pd wkt t) = P (M1 < M2)P (M1 > t) + (1) P (M1 < t) = λ 1 λ 1 + λ 2 exp( λ 1 t) + (1 exp( λ 1 t)) 7. Anjing!!! Umur (masa hidup atau lifetime) seekor anjing bulldog dan herder adalah peubah acak eksponensial yang saling bebas, dengan mean θ b dan θ h. Seekor anjing telah (baru saja) mati. Hitung sisa umur yang diharapkan (expected additional lifetime) dari anjing yang lain? 10

E(sisa umur Anjing) = E(sisa umur Bulldog Herder mati) P (Herder mati) + E(sisa umur Herder Bulldog mati) P (Bulldog mati) = E(T b T h < T b )P (T h < T b ) + E(T h T b < T h )P (T b < T h ) = 1 θ b θ h θ h + θ b + 1 θ h θ b θ h + θ b 11

Diskusi 8-10 Tanggal 2,16,23 April 2014, Waktu: suka-suka menit Ekspektasi bersyarat; ruang keadaan; peluang keadaan; peluang bersyarat; 1. Sebuah koin memiliki peluang θ untuk muncul MUKA. Pelantun koin akan dikatakan sukses jika lantunan koinnya muncul M (pertama kali). Tentukan banyak lantunan yang diharapkan (expected number of flips) untuk sukses. 2. Hista akan membaca satu bab buku Prob atau satu bab buku Stats. Banyak kesalahan ketik pada sebuah bab buku Prob adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean 2; pada buku Stats dengan mean 5. Asumsikan bahwa Hista memilih buku Prob atau Stat secara acak. Tentukan banyak kesalahan ketik yang diharapkan yang akan Hista temukan. Ross (2010) hal 108. 3. Ayus saat ini berada di rumah tahanan (rutan) alias penjara. Dia ingin melarikan diri namun hal ini tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa kalau Ayus hendak keluar dari rutan dia kan menghadapi tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu dua jam. Pintu kedua pun demikian, akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu tiga jam. Sedangkan pintu ketigalah yang membawa Ayus langsung bebas. Jika diasumsikan bahwa Ayus memilih pintu-pintu 1, 2 dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of hours) yang dibutuhkan Ayus untuk bebas? Misalkan X adalah lama (jam) yang dibutuhkan Ayus untuk keluar dari rutan dan mendapatkan kebebasan. E(X) = E(X I 1 )P (I 1 ) + E(X I 2 )P (I 2 ) + E(X I 3 )P (I 3 ) = E(X I 1 )(0.5) + E(X I 2 )(0.3) + E(X I 3 )(0.2) = (2 + E(X))(0.5) + (3 + E(X))(0.3) + (0)(0.2) = 9.5 4. Sebuah koin akan muncul MUKA (M), jika dilantunkan, dengan peluang θ. Koin tersebut terus dilantunkan hingga terdapat pola B, B, M. Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dilakukan, hitung E(X). Ross (2010), Bab 3, no 27. 12

Diskusi 8-10 Tanggal 2,16,23 April 2014, Waktu: suka-suka menit Ekspektasi bersyarat; ruang keadaan; peluang keadaan; peluang bersyarat; 1. Yin melantunkan sebuah koin dan dadu secara bersamaan. Jika muncul MUKA, Yin mendapat nilai 2 kali keluaran dadu. Jika muncul BELAKANG, dia mendapat nilai setengahnya. Tentukan nilai atau keuntungan yang Yin harapkan. 2. Chan dan Chen adalah dua orang pemburu. Kali ini mereka akan memburu burung. Mereka menunggu saat burung-burung yang mereka buru terbang dan saat itulah mereka akan menembak secara bersamaan. Namun demikian, Chan dan Chen menembak burung secara acak dan saling bebas satu sama lain. Peluang tembakan Chan dan Chen (saling bebas) mengenai sasaran adalah sama yaitu 0.6. Hitung banyaknya burung yang tertembak. Asumsikan bahwa banyaknya burung di sarang adalah peubah acak Poisson dengan mean 6. 3. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? 13

Diskusi 8-10 Tanggal 2,16,23 April 2014, Waktu: suka-suka menit Ekspektasi bersyarat; ruang keadaan; peluang keadaan; peluang bersyarat; 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Jika 0 adalah keadaan hujan dan 1 adalah keadaan tidak hujan, gambarkan cerita diatas dalam diagram transisi keadaan (d.t.k). 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. D.t.k nya adalah... 3. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan X n menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Tentukan d.t.k untuk proses diatas. 4. Ivi adalah mahasiswa tingkat akhir di ITB. Dia tinggal tidak jauh dari kampus. Cukup berjalan kaki saja dari tempat kos ke kampus dan sebaliknya. Akhirakhir ini hujan datang hampir setiap hari. Mau tidak mau, Ivi menggunakan payung dalam perjalanan kos-kampus atau kampus-kos. Jika hari hujan dan payung ada ditempat dia berada maka dia akan menggunakan payung tersebut. Jika hari tidak hujan, Ivi selalu lupa untuk membawa payung. Misalkan α adalah peluang hujan setiap kali Ivi akan menuju kampus atau kos. Dapatkah anda menentukan d.t.k cerita diatas? 14