Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) = f(a). Jika f tidak kontinu di a, kita mengatakan f discontinuous at a. Secara geometri, suatu fungsi dikatakan kontinu di setiap titik pada suatu interval jika grafiknya tidak terputus pada interval tersebut: The graph can be drawn without removing your pen from the paper. Gambar 4.1 Contoh. Gambar 2 menunjukkan grafik dari suatu fungsi f. Pada titik berapa saja f tidak kontinu? Mengapa? Gambar 4.2 Fungsi f tidak kontinu di 3 titik, masing-masing dengan alasan berbeda
f tidak kontinu di x = 1, sebab grafik f terputus di titik tersebut. Secara matematis, disebabkan f(1) tidak terdefinisi. f tidak kontinu di x = 3, sebab f(3) terdefinisi, tetapi lim f(x) tidak ada (limit kiri limit kanan). f tidak kontinu di x = 5, sebab f(5) terdefinisi dan lim f(x) ada (limit kiri = limit kanan), tetapi lim f(x) f(5). Contoh. Tentukan titik-titik dimana f tidak kontinu. (a) f(x) =, jika x 2. (c) f(x) = 1, jika x = 2 (b) f(x) =, jika x 0 1, jika x = 0 (d) f(x) = x (a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefinisi, sehingga f tidak kontinu di 2. (b) f(0) = 1 terdefinisi, tetapi lim f(x) = lim tidak ada, sehingga f tidak kontinu di 0. (c) f(2) = 1 terdefinisi, dan lim f(x) = lim = lim ()() = lim (x + 1) = 3, Tetapi lim f(x) f(2), sehingga f tidak kontinu di 2. (d) Fungsi bilangan bulat terbesar f(x) = x tidak kontinu di setiap bilangan bulat, karena lim x tidak ada jika n bilangan bulat (limit kiri limit kanan).
Gambar 4.3 Definisi 4.2 (a). Fungsi f dikatakan kontinu kanan di titik a jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) = f(a). Definisi 4.2 (b). Fungsi f dikatakan kontinu kiri di titik a jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) = f(a). Contoh. Pada setiap bilangan bulat n, fungsi f(x) = x kontinu kanan, tetapi tidak kontinu kiri, sebab lim x = n = f(n) lim x = n 1 f(n). Definisi 4.3 Suatu fungsi yang daerah asalnya memuat interval tertutup [a, b] dikatakan kontinu pada interval [a, b] jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu pada interval terbuka (a, b) dan juga kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b. Contoh. Buktikan bahwa fungsi f(x) = 4 x kontinu pada interval tertutup [ 2,2].
(i) Jika 2 < a < 2, dengan menggunakan aturan limit diperoleh: lim f(x) = lim 4 x = lim (4 x ) = 4 a = f(a). Berdasarkan definisi, f kontinu di a untuk 2 < a < 2. Dengan kata lain, f kontinu di interval terbuka ( 2,2). (ii) Dengan cara yang sama diperoleh lim f(x) = lim 4 x = 0 = f( 2), lim f(x) = lim 4 x = 0 = f(2). Jadi, f kontinu kanan di 2 dan kontinu kiri di 2. Dari (i) dan (ii), terbukti bahwa fungsi f(x) = 4 x kontinu pada interval tertutup [ 2,2]. Teorema 4.4 Jika f dan g kontinu di a, dan c suatu konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a. (1) f + g (c) fg (5) cf. (2) f g (d3 f/g, jika g(a) 0. Teorema 4.5 Suatu fungsi polinomial (suku banyak) P(x) = a x + a x + + a x + a x + a, kontinu di setiap bilangan, yaitu kontinu pada R = (, ). Contoh. Jika f(x) = x 2x + 5x + 1, maka f adalah suatu polinomial dan menurut Teorema 4.5 fungsi ini kontinu pada R = (, ). Khususnya karena f kontinu di 3, maka lim x 2x + 5x + 1 = 3 2(3) + 5(3) + 1 = 25. Teorema 4.6 Suatu fungsi rasional f(x) = (), dengan P dan Q merupakan polinomial, () kontinu di setiap bilangan pada domain/daerah asalnya. Contoh. Jika f(x) =. Tentukan semua bilangan dimana f kontinu. Daerah asal f adalah himpunan bilangan real R kecuali x 9 = 0 x = ±3. Jadi, domain fungsi f adalah himpunan semua bilangan real kecuali 3 dan 3. Karena f suatu fungsi rasional, maka menurut Teorema 4.6, f kontinu pada semua bilangan real kecuali 3 dan 3, yaitu kontinu di {x x 3 dan x 3}.
Teorema 4.7 Fungsi-fungsi berikut kontinu di setiap titik pada domain/ daerah asalnya: Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi trigonometri, fungsi invers trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritma. Contoh. Evaluasi lim. Teorema 4.7 menyatakan bahwa y = sin x kontinu. Fungsi y = 2 + cos x merupakan penjumlahan dua fungsi kontinu (2 dan cos x), sehingga juga kontinu. Fungsi y = 2 + cos x tidak pernah sama dengan 0, karena cos x 1 untuk setiap x, sehingga y = 2 + cos x > 0 di setiap bilangan. Akibatnya f(x) = kontinu di setiap bilangan. Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi fungsi kontinu lim = lim f(x) = f(π) = Kekontinuan Fungsi Komposisi = = 0. Teorema 4.8. Jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka komposisi fungsi f g yang diberikan oleh (f g)(x) = f(g(x)) kontinu di a. Contoh. Fungsi h(x) = sin(x ) merupakan komposisi fungsi f g dimana f(x) = sin x dan g(x) = x. Perhatikan bahwa g kontinu pada R, sebab g fungsi polinomial, dan f kontinu di setiap bilangan. Sehingga berdasarkan Teorema 4.8, h = f g kontinu pada R. Teorema Nilai Antara Teorema 4.9. Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan f(a) f(b), maka untuk suatu N di antara f(a) dan f(b) terdapat suatu bilangan c di antara a dan b sehingga f(c) = N. Gambar 4.4
Contoh. Tunjukkan terdapat akar dari persamaan 4x 6x + 3x 2 = 0 antara 1 dan 2. Misal f(x) = 4x 6x + 3x 2. Kita mencari solusi dari persamaan, yaitu suatu titik c antara 1 dan 2 sedemikian sehingga f(c) = 0. Diambil a = 1, b = 1, dan N = 0 pada Teorema 4.9. Diperoleh f(1) = 4 6 + 3 2 = 1 < 0 f(2) = 32 24 + 6 2 = 12 > 0. Sehingga f(1) < 0 < f(2), yaitu N = 0 berada antara f(1) dan f(2). Selanjutnya, karena f fungsi polinomial, maka f kontinu di setiap bilangan, khususnya pada [1,2]. Sehingga berdasarkan Teorema Nilai Antara terdapat c antara 1 dan 2 sedemikian sehingga f(c) = 0. Dengan kata lain, persamaan 4x 6x + 3x 2 = 0 mempunyai minimal satu akar c di (1,2). Gambar 4.5 Catatan: Secara geometri, akar suatu persamaan f(x) = 0 merupakan titik potong antara kurva tersebut dengan sumbu-x.