Tranformai Laplace Slide: Tri Harono PENS - ITS 1
1. Pendahuluan Tranformai Laplace dapat digunakan untuk menyatakan model matemati dari item linier waktu kontinu tak ubah waktu, Tranformai Laplace dapat menyeleaikan penyeleaian peramaan differenial item linier waktu kontinu tak ubah waktu, Tranformai Laplace dapat digunakan untuk mencari ketabilan item linier waktu kontinu tak ubah waktu, Dalam ilmu pengaturan, tranformai Laplace dinyatakan ebagai teori kontrol klaik, yang digunakan untuk mencari ketabilan item, Tranformai Laplace dapat mencari repon atau fungi tanggapan item linier waktu kontinu tak ubah waktu 2
2. Definii Tranformai Laplace Suatu fungi (inyal atau gelombang) f(t) yang dinyatakan dalam interval waktu t poitif, dapat dinyatakan dalam bidang dengan menggunakan tranformai Laplace, dengan hail tranformai F(), Definii tranformai Laplace : F t ( ) e f ( t) dt 3
2. Definii Tranformai Laplace Penulian tranformai Laplace: F t ( ) L{ f ( t)} f ( t) e dt Dimana : L = tranformator, f(t) = fungi waktu, F() = hail tranformai (dalam bidang frekweni atau bidang 4
3. Tranformai Laplace untuk fungi kontan Contoh: Carilah tranformai Laplace untuk fungi f(t) = 1; t Tranformai Laplace: t F ( ) e f ( t ) dt F( ) 1 F( ) e t.1dt 5
3. Tranformai Laplace untuk fungi kontan Contoh: Carilah tranformai Laplace untuk fungi f(t) = k; t Tranformai Laplace: t F ( ) e f ( t ) dt F( ) F( ) k e t. kdt 6
4. Tranformai Laplace untuk fungi kontan, dengan interval waktu terbata Untuk interval waktu terbata a t b Tranformai Laplace dari fungi kontan f(t)=k : t b t F( ) e f ( t) dt F( ) t t a b t a e t. kdt t t F( ) k ( e t a e t b ) 7
4. Tranformai Laplace untuk fungi kontan, dengan interval waktu terbata Contoh: Carilah tranformai Laplace untuk fungi f(t) = 1; t 1 Tranformai Laplace: 1 t ( ) ( ) F e f t dt F( ) 1 e t.1dt 1 F( ) ( 1 e 1 ) 8
4. Tranformai Laplace untuk fungi kontan, dengan interval waktu terbata Contoh: Carilah tranformai Laplace untuk fungi f(t) = k; a b Tranformai Laplace: t b t F( ) e f ( t) dt F( ) a b a e t. kdt F( ) k a b ( e e ) 9
4. Tranformai Laplace untuk fungi kontan, dengan interval waktu terbata Keimpulan: Untuk fungi tep (kontan) f(t) = k; dengan interval waktu terbata Tranformai Laplace: 1 k t t F( ) ( e a e b ) F( ) k F( ) F ( ) F ( ) t e a t a k t b e t b t t a t b
4. Tranformai Laplace untuk fungi kontan, dengan interval waktu terbata Soal:Carilah tranformai Laplace dari fungi 1. f 2. f 3. f 4. f 5. f ( t) 1; ( t ) ( t) ( t) ( t) 3; 12; A; C; 2 t 7 t 4 12 t 23 a t d t T 11
5. Linierita dari Tranformai Laplace Tranformai Laplace adalah operai linier, Yaitu: Bila terdapat beberapa fungi, mial f(t) dan g(t) yang maing-maing mempunyai tranformai Laplace dan ada bilangan kalar a, b, maka berlaku hukum linierita bb: L{ af ( t) bg( t)} al{ f ( t)} bl{ g( t)} L{ af ( t) bg( t)} af( ) bg( ) 12
5. Linierita dari Tranformai Laplace Pembuktian linierita di ata dengan definii: t L{ af ( t) bg( t)} e [ af ( t) bg( t)] dt L{ af ( t) bg( t)} L{ af ( t) bg( t)} t t a e f ( t) dt b e g( t) dt al{ f ( t)} bl{ g( t) } L{ af ( t) bg( t)} af( ) bg( ) 13
6. Tranformai Laplace dari gabungan fungi kontan Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi eperti pada gambar berikut: f(t) 1 6 16 t -4 14
6. Tranformai Laplace dari gabungan fungi kontan Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi eperti pada gambar berikut: 1 9 f(t) 6 12 2 t -4 15
6. Tranformai Laplace dari gabungan fungi kontan Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi eperti pada gambar berikut: 8 g(t) -8-1 6 12 2 t 16
6. Tranformai Laplace dari fungi ekponenial Poitif at Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi: f ( t) e ; t 17 Solui : F( ) e f ( t) dt t t F( ) e. e 1 F( ) a at dt
6. Tranformai Laplace dari fungi ekponenial Negatif Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi: ( ) at f t e ; t Solui : F( ) e f ( t) dt t t F( ) e. e dt 1 F( ) a 18 at
6. Tranformai Laplace dari fungi Sinuoida Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi: f ( t) int; t Solui : F( ) e f ( t) dt F( ) F( ) e t t 2 2.intdt 19
6. Tranformai Laplace dari fungi Sinuoida Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi: f ( t) cot; t Solui : F( ) e f ( t) dt F( ) F( ) e t t 2 2.cotdt 2
6. Tranformai Laplace dari fungi Ramp (Tanjakan) Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi ramp: f Solui : ( t) t; t F( ) e f ( t) dt F( ) F( ) 1 e 2 t t. tdt 21
6. Tranformai Laplace dari fungi Ramp (Tanjakan) Contoh: Dapatkan tranformai Laplace dari fungi ramp: f Solui : n ( t) t ; t F( ) e f ( t) dt F( ) F( ) e n! t t n1. t dt 22 n
7. Tabel Tranformai Laplace Contoh Tabel Tranformai Laplace 23 No. F(t) F() 1 k k 2 e -at 1 a 3 kt 4 t n 5 6 k 2 n! n1 int 2 2 cot 2 2
8. Shifting Theorem (Teorema Pergeeran) e at f ( t) F( a) Frequence domain (kawaan frekweni ) f a ( t a) e F( ) Time domain (kawaan waktu t) 24
SOAL: Carilah tranformai Laplace dari fungi-fungi berikut untuk t : 1. g( t).5t 2. g ( t ) e 3. g( t) e 4. g( t) e 5. g( t) e 2 t / 2 t t t e 3t t in 4 in( t ) ( c ( Aco t bt) Bin t) 25
9. Tranformai Laplace untuk Derivative dan Integral Tranformai Laplace dari differenial orde atu fungi f(t) ecara ederhana merupakan: perkalian antara F() dengan Definii : df L( f ) L( ) L( f ) f () dt L( f ) F( ) f () Ket.: F() adalah tranformai Laplace dari f(t), f() adalah nilai awal fungi f(t) 26
9. Tranformai Laplace untuk Derivative dan Integral Bukti: Menggunakan definii tranformai Laplace dan integral parial t L( f ) e f ( t) dt L( f ) t [ e f ( t) e f ( t) dt L( f ) F( ) f () t 27
9. Tranformai Laplace untuk Derivative dan Integral Dari definii tranformai Laplace untuk derivatif pertama fungi f(t), maka dapat dinyatakan tranformai Laplace untuk derivatif kedua, ketiga dan eterunya L ( f ) 2 F ( ) f () f () L( f ) 3 F( ) 2 f () f () f () L( f ( n) ) n F( ) n1 f () ( n2) f () f ( n1) () 28
9. Tranformai Laplace untuk Derivative dan Integral Contoh: Carilah tranformai Laplace dari turunan pertama fungi berikut: 1. f(t)=t 2 2. f(t)=in 2 t 3. f(t)=t in2t 4. f(t)=t co2t 29
9. Tranformai Laplace untuk Derivative dan Integral Tranformai Laplace dari integral uatu fungi f(t) adalah t 1 L( f ( ) d ) L{ f ( t)} t 1 1 L( f ( ) d ) F( ) f ( t) dt t Ket. : operai inver dari diferenial adalah integral, ehingga Hail tranformai Laplace dari differenial f(t) = F() (Perkalian) Hail tranformai Laplace dari integral f(t) = (1/)F() (Pembagian) Dimana pembagian adalah operai inver dari perkalian 3
9. Tranformai Laplace untuk Derivative dan Integral Contoh: Diketahui 1 F( ) 2 2 ( ) Tentukan f(t ) 31
1. Inver Tranformai Laplace [Tranformai Laplace Balik] L f (t) F () L -1 32
1. Inver Tranformai Laplace [Tranformai Laplace Balik] Cara Penulian Inver T.L. : f(t)=l -1 {F()} Ada 2 cara inver tranformai Laplace : 1. Pecah Parial (menggunakan Tabel T.L.) 2. Integral Inver T.L. (menggunakan Teorema Reidu) 33
1.1. Inver Tranformai Laplace F( ) [Pecah Parial] H ( ) G( ) Yang perlu diperhatikan dalam F() adalah penyebutnya G(), bukan pembilangnya H(), Derajad dari G() lebih bear atau ama dengan derajad dari H(), G() berbentuk faktoriai, Dalam ilmu kontrol, untuk mencari ketabilan item, dapat digunakan nilai faktoriai dari G(). 34
1.1. Inver Tranformai Laplace Ada beberapa bentuk faktoriai dari G(), yaitu: i. Faktor tak berulang (-a) ii. [Pecah Parial] Faktor Berulang (-a) iii. Faktor Komplek tak berulang iv. Faktor Komplek berulang ( a)( a) [( a)( a 2 )] 35
i. Faktor tak berulang (-a) H ( ) A F( ) W ( ) G( ) ( a) 1 1 1 f ( t) AL { } L { W ( )} a f at ( t) Ae w( t) 36
i. Faktor tak berulang (-a) Contoh: Carilah inver T.L. dari fungi 2 F() berikut 1. F ( ) 2. F ( ) 3. F ( ) 4. F ( ) 1 ( 3 )( 5 ) 2 ( 3 )( 5 ) ( 1)( 3 ) 1 (.3 )( 3.4 ) 37
ii. Faktor Berulang (-a) H ( ) A B F( ) W ( ) G( ) ( a) ( a) 2 1 1 f ( t) AL 1 { } BL 1 { } L 1 { W( )} a ( a) 2 at f ( t) Ae Bte w( t) at 38
ii. Faktor Berulang (-a) Contoh: Carilah inver T.L. dari fungi 2 F() berikut 1. F ( ) 2. F ( ) 3. F ( ) 4. F ( ) 1 ( 3 ) 2 2 2 ( 4 4 ) 2 ( 3 ) ( 1) 1 2 (.6. 9 )( 1) 39
1.2. Inver Tranformai Laplace [Integral Inver T.L., Teo. Reidu] Inver T.L. dari uatu fungi F() dapat dicari dengan menggunakan integral inver T.L. Integral inver T.L., dapat dihitung dengan menggunakan teorema reidu Teorema reidu dari uatu fungi f(t) adalah : f ( t) 1 2j c G( ) ( a) n d lim a G ( n1) ( ( ) a) n ( a) n 4
1.2. Inver Tranformai Laplace [Integral Inver T.L., Teo. Reidu] Integral Inver T.L. dari uatu fungi F() : 1 f ( t) F( ). 2j c e t d Analogi integral inver dengan teorema reidu : ( n1) 1 t 1 G( ) G ( ) n a n j j a a c c f( t) F( ). e d d lim ( a) 2 2 ( ) ( ) n 41
1.2. Inver Tranformai Laplace [Integral Inver T.L., Teo. Reidu] Untuk faktor yang lebih dari atu, (-a) m,(-b) n, (-c) k 1 f ( t ) F ( ). e t d 2 j f ( t) c 1 G( ) 2 j ( a) ( b) ( c) c m n k ( m1) ( n1) ( k 1) G ( ) G ( ) G ( ) f ( t) ( b) ( c) ( a) ( c) ( a) ( b) d n k m k m n a b c 42
1.2. Inver Tranformai Laplace [Integral Inver T.L., Teo. Reidu] Contoh: Tentukan f(t) dengan menggunakan teorema 43 Reidu 1. F ( ) 2. F ( ) 3. F ( ) 4. F ( ) 5. F ( ) 6. F ( ) ( 1 ) 2 4 4 2 1 6 2 2 3 ( 2 ) ( 1 ) 2 2 2 2 2 ( 3 1 ) 2 2 ( 2 2 ) 2 2 2
1.2. Inver Tranformai Laplace [Integral Inver T.L., Teo. Reidu] Contoh: Tentukan f(t) dengan menggunakan teorema 44 7. F( ) 8. F ( ) 9. F( ) Reidu 1. F( ) ( 4) 2 2 2 1 2 ( 2 5) 2 ( 3) ( 9) 2 2 2 2 3 ( 2 5) 2 2 2
11. Tranformai Laplace untuk Penyeleaian Peramaan Differenial Tranformai Laplace (TL) dapat digunakan untuk menyeleaikan Peramaan Differenial (PD), Bila PD digunakan ebagai model matematika dari item linier tak ubah waktu, maka TL dapat digunakan untuk menyeleaikan item linier terebut, dalam arti mencari output ytem, Dalam penyeleaian atau mencari output ytem terdapat fungi penghubung antara input dengan output, yang dinamakan dengan Fungi Alih (Tranfer Function). Fungi Alih angat penting dalam ilmu kontrol ebagai indikator untuk menentukan ketabilan item linier tak ubah waktu 45
11. Tranformai Laplace untuk Penyeleaian Peramaan Differenial Contoh: Tentukan penyeleaian PD di bawah ini dengan menggunakan TL 1. y 4y 3y ; y() 3 y() 1 2. y y 2 t; y() y() 3. y 25 y t; y() 1 y().4 4. y 4y 4y ; y() y() 2 5. y 3y 2y 4 t; y() 1 y() 1 6. y 3y 2 y ( t a); y() y() 46
11. Tranformai Laplace untuk Penyeleaian Peramaan Differenial 7. y 2 y u( t) y() y() dimana u(t) adalah unit tep function, eperti pada gambar di bawah ini u(t) 1 1 t 47
12. Implementai Tranformai Laplace pada Rangkaian Litrik 8. Rangkaian RC eri dengan harga awal dari muatan kapaitor q dengan polarita eperti pada gambar. Tegangan terpaang adalah kontan V pada aat witch ditutup. Aru yang mengalir pada rangkaian adalah: 1 i q + 48
12. Implementai Tranformai Laplace pada Rangkaian Litrik 9. Diketahui uatu rangkaian RC eri, pada aat witch ditutup dihubungkan dengan umber tegangan DC eperti pada gambar. Tentukan aru i(t) yang mengalir pada rangkaian RC eri terebut, bila muatan awal kapaitor NOL. v(t) 1 1 i a b t 49
12. Implementai Tranformai Laplace pada Rangkaian Litrik 1. Diketahui uatu rangkaian RL eri, pada aat witch ditutup, tegangan terpakai pada rangkaian adalah kontan V. Aru yang mengalir pada rangkaian adalah : V i L R 5
51