PRESENTASI TUGAS AKHIR KI091391 SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS (Kata kunci:persamaan burgers, metode numerik, cubic B-spline, quasiinterpolant, higher order expansions) Penyusun Tugas Akhir : Nafanisya Desdemona Mulia (NRP : 5107.100.124) Dosen Pembimbing : Yudhi Purwananto, S.Kom, M.Kom Rully Soelaiman, S.Kom, M.Kom 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 1
LATAR BELAKANG 1. Persamaan Burgers merupakan persamaan differensial parsial fundamental dari mekanika fluida. Sampai saat ini, belum ada solusi yang tepat untuk menyelesaikan persamaan Burgers ketika koefisien viskositasnya bernilai kecil. 2. Sebelumnya telah dikembangkan metode numerik menggunakan teknik quasi-interpolant dengan Multiquadratics dan cubic B-spline quasi-interpolant. 3. Untuk mendapatkan solusi yang tepat, dibangun sebuah skema numerik menggunakan teknik quasi-interpolant dengan cubic B- spline serta Multi-node Higher Order Expansions untuk mendapatkan solusi terbaik dalam memecahkan persamaan Burgers. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 2
RUMUSAN MASALAH 1. Bagaimana metode untuk memecahkan persamaan Burgers yang menghasilkan tingkat keakuratan yang tinggi untuk segala kondisi? 2. Bagaimana merancang sistem yang sesuai dengan metode yang digunakan? 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 3
BATASAN MASALAH 1. Simulasi eksperimen dilakukan menggunakan Matlab 7.6. 2. Persamaan yang digunakan adalah persamaan Burgers dalam bentuk umum. 3. Tingkat keakuratan metode dihitung berdasarkan perhitungan error pada dua buah metode yang dibandingkan. 4. Perhitungan solusi persamaan Burgers hanya untuk bilangan Reynold (R) yang bernilai 1, 10, dan 100. 5. Perhitungan solusi persamaan Burgers dengan nilai h 0.1. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 4
TUJUAN 1. Membangun sebuah skema baru menggunakan metode Cubic B-Spline Quasi-Interpolant dan Multi-node higher order expansion untuk memecahkan persamaan Burgers dengan tingkat akurasi yang tinggi. 2. Membangun sebuah aplikasi dengan mengimplementasikan skema baru untuk memecahkan persamaan Burgers 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 5
GAMBARAN UMUM APLIKASI (1) Initial condition dan boundary condition Domain waktu (t), jarak antar node ruang (h), dan jarak antar node waktu (ԏ) Diskritisasi domain ruang dan waktu Solusi persamaan Burgers u(x i,t k ) 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 6
GAMBARAN UMUM APLIKASI (2) Boundary condition dan initial condition yang digunakan pada aplikasi ini ada tiga macam, yaitu example 1, example 2, dan example 3. Ada tiga buah solusi yang digunakan dalam aplikasi ini, yaitu solusi eksak, solusi numerik dengan metode cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions (metode numerik 1), dan solusi numerik dengan metode exact-explicite finite difference (metode numerik 2), sebagai solusi pembanding. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 7
DISKRITISASI DOMAIN Diskritisasi domain ialah proses pendiskritan ruang (x) dan waktu (t) menjadi node-node, sehingga persamaan Burgers dapat diselesaikan dengan model perhitungan diskrit. x h x x u( x, t) t t t 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 8
DISKRITISASI DOMAIN Domain Ruang (x) dan Waktu (t) x, t, h, ԏ n = x /h K = t /ԏ x i = i * h (i = 0, 1, 2,..., n) t k = k * ԏ (k = 0, 1, 2,..., K) 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 9
METODE NUMERIK 1 (1) Cubic B-pline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions B-spline quasi-interpolant Cubic B-spline quasi-interpolant Modifikasi cubic B-spline quasi-interpolant dengan multi-node higher order expansions Inisialisasi matriks D 1 dan D 2 Skema numerik dengan cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 10
METODE NUMERIK 1 (4) SKEMA NUMERIK Skema numerik : k k k k ui u t i ui v u x i xx (2-34) u k i k1 i dimana, t u u k i (2-35) u k i u ih, k k u k i x u i xx, dan adalah komponen D u k 1 h 2 2u k h ke-(i + 1) dari vektor dan, dengan D u k k k u 0, u1,..., u k n T (2-36) 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 11
METODE NUMERIK 2 (1) Exact-explicit finite difference Finite Difference Method adalah salah satu teknik numerik untuk mendekati solusi untuk persamaan diferensial menggunakan konsep persamaan beda hingga (finite difference equation) untuk perkiraan derivatif. Metode exact-explicit finite difference disini dikembangkan dari metode finite difference dengan transformasi Hopf-Cole. Dimana formula solusi numerik dengan metode ini hampir sama dengan formula solusi eksak persamaan Burgers. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 12
METODE NUMERIK 2 (2) Exact-explicit finite difference Solusi numerik : u( x i, t k 0,1,..., K k ) 2v D 0 s1 s1 sd D s s sin cos sx i sx i 1 4r sin 1 4r sin 2 2 k s 2n s 2n k i 0,1,..., n dimana 1 (2v) 1 cos( x) d, 1 D exp D s 0 x 0 2 1 0 exp 1 (2v) 1 cos( x) cos( kx)dx, k 1 2 r v / h 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 13
SKENARIO UJI COBA a. Masukan berupa example, nilai R, t, h, dan Ԏ. b. Uji coba memiliki tiga buah proses untuk example 1 dan 2, yaitu proses komputasi solusi eksak, solusi numerik 1, dan solusi numerik 2. Dan dua buah proses untuk example 3, yaitu proses komputasi solusi eksak dan solusi numerik 1. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 14
UJI COBA 1 (1) Kurva Example 1 R = 1 t = 0.1 Ԏ = 0.00001 h = 0.05 Solusi eksak Solusi numerik 1 Solusi numerik 2 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 15
UJI COBA 1 (2) Tabel Nilai t x 0 0.05 0.1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 1 1 0.6091 0.6091 0.6097 0.3716 0.3716 0.3723 1 1.2E-16 0 0 7.9E-17 0 0 4.8E-17 0 0 e 1-4.9E-13 2.8E-12-2.96E-5 9.41E-4-4.14E-5 0.0019 e 2-3E-13 1.8E-12-1.20E-5 4.34E-4-9.62E-6 5.21E-4 Keterangan : 1 : Solusi eksak e : nilai error 2 : Solusi numerik 1 3 : Solusi numerik 2 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 16
UJI COBA 1 (3) Hasil Analisis Ketiga kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari kedua solusi numerik tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 lebih tepat sama dibandingkan dengan solusi numerik 2. Berdasarkan nilai error yang dihasilkan kedua metode, metode numerik 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode numerik 2. Berdasarkan selisih error secara keseluruhan dari kedua metode, metode numerik 1 bisa mereduksi error metode numerik 2 sebesar 95.8%. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 17
UJI COBA 2 (1) Kurva Example 2 R = 1 t = 0.1 Ԏ = 0.00001 h = 0.0125 Solusi eksak Solusi numerik 1 Solusi numerik 2 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 18
UJI COBA 2 (2) Tabel Nilai t x 0 0.05 0.1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 1 1 0.6281 0.6281 0.6281 0.3834 0.3834 0.3835 1 1.6E-16 0 0 8.2E-17 0 0 5E-17 0 0 e 1-8.85E-6 3.8E-14-2.54E-5 4.07E-5-4.80E-5 7.74E-5 e 2-2.43E-6 2E-14-1.09E-5 1.77E-5-1.31E-5 2.12E-5 Keterangan : 1 : Solusi eksak e : nilai error 2 : Solusi numerik 1 3 : Solusi numerik 2 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 19
UJI COBA 2 (3) Hasil Analisis Ketiga kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari kedua solusi numerik tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 lebih tepat sama dibandingkan dengan solusi numerik 2. Berdasarkan nilai error yang dihasilkan kedua metode, metode numerik 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode numerik 2 ketika t > 0. Berdasarkan selisih error secara keseluruhan untuk t > 0 dari kedua metode, metode numerik 1 bisa mereduksi error metode numerik 2 sebesar 38%. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 20
UJI COBA 3 (1) Kurva Example 3 R = 100 t = 1 Ԏ = 0.001 h = 0.025 Solusi eksak Solusi numerik 1 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 21
UJI COBA 3 (2) Tabel Nilai t x 0 0.5 1 1 2 1 2 1 2 0 0.9946 1 1 1 1 1 0.5 0.2 0.2 0.2379 0.238 0.9999 0.9999 1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 e 1 9.64E-4 0.0015 0.0017 e 1 0.0012 0.0026 0.0029 Keterangan : 1 : Solusi eksak e : nilai error 2 : Solusi numerik 1 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 22
UJI COBA 3 (3) Hasil Analisis Kedua kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari solusi numerik 1 tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Berdasarkan tabel, nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 tidak semua tepat sama dengan nilai yang dihasilkan solusi eksak. Berdasarkan nilai error yang dihasilkan oleh metode numerik 1, dapat disimpulkan bahwa metode numerik 1 untuk example 3 memiliki tingkat akurasi yang rendah dibandingkan dengan metode numerik 1 untuk example 1 dan 2. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 23
KESIMPULAN (1) a. Pemilihan nilai h dan τ berpengaruh terhadap solusi aproksimasi yang dihasilkan. Semakin kecil jarak diskritisasi ruang (h) yang digunakan, aproksimasi yang dihasilkan semakin mendekati nilai solusi eksak dan kurva yang dihasilkan akan semakin halus. Begitu pula jarak diskritisasi waktu yang digunakan (τ), semakin kecil τ yang digunakan maka kurva yang terbentuk semakin stabil. Pada uji coba dapat dilihat bahwa skenario yang menghasilkan solusi aproksimasi terbaik didapatkan dari nilai skenario pertama dengan example 1 serta nilai h = 0.05, t = 0.1, τ = 0.00001, dan R = 1. b. Semakin besar nilai R yang diberikan, maka akan mempengaruhi bentuk kurva serta tingkat akurasi yang dihasilkan. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 24
KESIMPULAN (2) c. Boundary condition dan intial condition mempengaruhi solusi yang dihasilkan. Menurut hasil uji coba, boundary condition dan intial condition pada example 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi. d. Metode cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions menghasilkan tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode exact-explicit finite difference. 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 25
25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 26
METODE NUMERIK 1 (2) INISIALISASI MATRIKS D 1-25/12 48/12-36/12 16/12-3/12 0 0... 0-3/12-10/12 18/12-6/12 1/12 0 0... 0 7/144-71/144-50/144 146/144-37/144 5/144 0... 0........................... 0... 0 7/144-71/144-50/144 146/144-37/144 5/144 0... 0 0 7/144-71/144-50/144 141/144-27/144 0... 0 0 0 1/12-8/12 1/12 6/12 0... 0 0 0-1/12 6/12-21/12 16/12 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 35
METODE NUMERIK 1 (3) INISIALISASI MATRIKS D 2 35/12-104/12 114/12-56/12 11/12 0 0... 0 11/12-20/12 6/12 4/12-1/12 0 0... 0-3/24 37/24-70/24 42/24-7/24 1/24 0... 0........................... 0... 0-3/24 37/24-70/24 42/24-7/24 1/24 0... 0 0-3/24 37/24-70/24 41/24-5/24 0... 0 0 0-1/12 16/12-29/12 14/12 0... 0 0 0-1/12 4/12-5/12 2/12 25 Juli 2011 Tugas Akhir KI091391 36