MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics
Pengantar Parameter adalah...
...suatu karakteristik dari populasi.
Statistik adalah...
...suatu karakteristik dari sampel.
Statistik adalah fungsi dari sampel; T = g(x 1, X 2,..., X n ). Fungsi T adalah peubah acak; contoh T = X atau T = S 2 X.
Distribusi sampel adalah...
...distribusi dari statistik; distribusi sampel dari X adalah distribusi dari X.
Pengantar Diskusi: Sampel tidak acak Sampel acak Distribusi populasi
Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n (random sample of size n). Fungsi peluang n-variat nya adalah f X1,X 2,,X n (x 1, x 2,..., x n ) = n f Xi (x i ) i=1
Contoh/Latihan: 1 Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang n-variatnya adalah... 2 Misalkan X 1, X 2 sampel acak berukuran 2 dari distribusi Uniform pada selang (a, b). Fungsi peluang 2-variatnya adalah...
Pengantar Misalkan fungsi peluang n-variat bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ. Fungsi peluang tersebut ditulis sebagai f X1,X 2,...,X n (x 1,..., x n θ 1,..., θ k ) atau f X (x θ)
Contoh/Latihan: 1 Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ). Fungsi peluang n-variat yang bergantung pada parameternya ditulis sebagai...
Definisi: Fungsi likelihood adalah ukuran yang menyatakan sebarapa sering nilai θ, diberikan bahwa x telah terobservasi. Fungsi likelihood BUKAN suatu peluang. Fungsi likelihood diperoleh dengan (i) menukar peran θ dan x dalam fungsi peluang n-variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada θ. Notasi: L(θ) = L(θ x) f X (x θ)
Contoh/Latihan: Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi likelihoodnya adalah...
function likefunction; % this function calculates the likelihood function % of certain distribution % % created by K Syuhada, 25/2/2013 clear clc n = input( n = ); % size of random sample % data x = exprnd(0.5,n,1); sumx = sum(x);
% parameter of exponential distribution lambda = 0.5:0.05:5; for i = 1:length(lambda) L(i) = (lambda(i)^n)*exp(-lambda(i)*sumx); end plot(lambda,l)
Contoh/Latihan: Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (π, b). Fungsi likelihoodnya adalah...
Prinsip Jika dua percobaan, yang melibatkan model dengan parameter θ, memberikan likelihood yang sama, maka inferensi terhadap θ haruslah sama.
Ilustrasi: Pandang percobaan 1 dimana sebuah koin dilantunkan sebanyak n kali secara bebas. Misalkan p adalah peluang muncul MUKA dan X peubah acak yang menyatakan banyaknya MUKA yang muncul. Fungsi peluang dari X adalah... Untuk n = 20, x = 6, fungsi likelihoodnya adalah...
L(θ x = 6) = θ 6 (1 θ) 14
Pandang percobaan 2 dimana sebuah koin dilantunkan hingga diperoleh MUKA sebanyak 6 kali secara bebas. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dibutuhkan agar diperoleh enam MUKA. Fungsi peluang dari Y adalah...
f Y (y θ, r) =
Misalkan sukses ke-6 terjadi pada lantunan ke-20. Fungsi likelihoodnya adalah...
Dari 2 percobaan diatas, misalkan kita ingin melakukan uji hipotesis: H 0 : p = 0.5 versus H 0 : p < 0.5 Nilai signfikansinya atau p-value adalah...
P(X 6 n = 20, θ = 0.5) = = 0.0577
P(Y 20 r = 6, θ = 0.5) = = 0.0318
Pengantar Definisi 1: Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantung terhadap X hanya melalui T : L(θ) = h(t(x), θ)
Definisi 2: Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA distribusi bersyarat dari X TIDAK BERGANTUNG pada θ : f X T (x t, θ) = h(x)
Definisi 3: Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai : f X (x θ) = g(t(x) θ) h(x)
Contoh/Latihan: 1. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik Bernoulli(p). Tunjukkan bahwa Y = n i=1 X i adalah statistik cukup. 2. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa T = n i=1 X i adalah statistik cukup. 3. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik N(µ, 1). Tunjukkan bahwa Y = X adalah statistik cukup.
4. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Gamma dengan parameter (α, λ). Tunjukkan bahwa T = n i=1 ln(x i) adalah statistik cukup. 5. Pandang sampel acak berukuran n dari U(a, b), dengan a diketahui. Tunjukkan bahwa T = X (n) adalah statistik cukup. 6. Pandang sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan µ, σ 2 tidak diketahui. Tunjukkan bahwa statistik T berikut adalah cukup: ( ) S 2 T = X X
Pengantar Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan parameter λ. Peubah acak X i, i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi peluang n-variat: P(X = x) = n i=1 e λ λ x i x i! = e nλ λ y n i=1 x i!, dengan y = x i. Dapat ditunjukkan juga Y = X i cukup.
Distribusi sampel dari Y adalah f Y (y θ) = e nλ (nλ) y y!.
Misalkan X i U(0, θ). Peubah acak-peubah acak X i tersebut saling bebas dan berdistribusi identik, dengan fungsi peluang: f X (x θ) = Statistik T = X (n) cukup dan memiliki fungsi distribusi: P(X (n) x) = dan fungsi peluang: f(x) =
Pengantar Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu, dengan fungsi peluang f X dan fungsi distribusi F X. Pandang X (k), statistik terurut ke-k. Untuk menentukan f X(k) (x), pertama partisikan I 1 = (, x]; I 2 = (x, x + dx]; I 3 = (x + dx, ).
Fungsi peluang f X(k) (x) adalah peluang mengamati sejumlah k 1 dari X di I 1, tepat sebuah X di I 2, dan sejumlah n k dari X di I 3 : ( ) n (FX f X(k) (x) (x) ) k 1 ( fx (x)dx ) 1 ( 1 FX (x) ) n k k 1, 1, n k yang dengan metode diferensial maka kita peroleh ( ) n (FX f X(k) (x) = (x) ) k 1 ( 1 FX (x) ) n k fx (x) k 1, 1, n k
Contoh/Latihan: 1 Fungsi peluang dari statistik terurut terkecil/terbesar adalah... 2 Statistik terurut ke-k pada distribusi U(0, 1) memiliki fungsi peluang...