MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D

MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D Hendra Gunawan ITB Bandung http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, Indonesia Seminar Nasional Analisis Matematika IV 16 April 2011

Outline 1 Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi 2 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev 3

Interpolasi Linear Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Diberikan dua titik x 0 dan x 1 di R dengan x 0 < x 1, dan dua bilangan c 0, c 1 R, terdapat tepat sebuah garis lurus y = mx + k = f(x) sehingga f(x i ) = c i, i = 0, 1.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi.

Interpolasi Linear Bagian demi Bagian Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Diberikan n titik x i R dan n bilangan c i R, i = 1,..., n, interpolan yang paling trivial adalah fungsi linear bagian demi bagian yang menghubungkan titik-titik (x i, c i ) tersebut.

Interpolasi Polinomial Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Diberikan tiga titik berbeda x 0, x 1 dan x 2 di R, dan tiga bilangan c 0, c 1, c 2 R, terdapat tepat sebuah parabola y = f(x) = ax 2 + bx + c sehingga f(x i ) = c i, i = 0, 1, 2.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Secara umum, diberikan n + 1 titik berbeda x i R dan n + 1 bilangan real c i, terdapat tepat sebuah polinom berderajat n f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n yang grafiknya melalui titik-titik (x i, c i ), i = 1,..., n.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Keluarga fungsi {1, x,..., x n } dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 0, 1,..., n, dengan x 0 < x 1 < < x n dan c i R sembarang. Apa kuncinya? Apakah karena {1, x,..., x n } bebas linear (selain banyak fungsinya sama dengan banyak data yang diberikan)?

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Bagaimana bila kita gunakan {1, x 2 } untuk menyelesaikan masalah interpolasi f( 1) = c 0, f(1) = c 1. Jika c 0 = c 1, maka terdapat banyak solusi, yakni semua fungsi f yang berbentuk f(x) = c 0 [λ + (1 λ)x 2 ]. Jika c 0 c 1, maka berapapun λ, µ R, fungsi f(x) = λ + µx 2 tidak akan menginterpolasi data tersebut.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Mengapa {1, x 2 } gagal? Secara umum, misalkan kita ingin mencari f(x) = λ + µx 2 sehingga f(x i ) = c i, i = 0, 1. Maka, kita berhadapan dengan sistem persamaan λ + µx 2 i = c i, i = 0, 1. Eksistensi solusi sistem ini tergantung pada nilai determinan 1 x2 0 1 x 2 = x2 1 x 2 0. 1 Karena determinan mungkin bernilai nol, eksistensi solusi tidak dijamin. Kalaupun eksis, ketunggalan tidak dipenuhi.

Determinan Vandermonde Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Jadi kunci yang membuat {1, x,..., x n } dapat selalu menyelesaikan masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 0, 1,..., n, bukan karena mereka bebas linear, tapi karena 1 x 0 x n 0 1 x 1 x n 1..... = i x j ) 0.. j<i(x 1 x n x n n Determinan ini dikenal sebagai determinan Vandermonde.

Sistem Chebyshev Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Keluarga fungsi {φ 1,..., φ n } disebut sistem Chebyshev pada A R apabila det[φ j (x i )] 0 untuk sembarang x 1 < < x n di A. Contoh. {1, x,..., x n } merupakan sistem Chebyshev pada R.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Contoh lainnya Keluarga fungsi {sin πx,..., sin nπx} merupakan sistem Chebyshev pada (0, 1), sementara {1, cos πx,..., cos nπx} merupakan sistem Chebyshev pada [0, 1], dengan det[sin jπx i ] = 2 n(n 1)/2 n sin πx i (cos πx i cos πx j ). i=1 j<i det[cos jπx i ] = 2 n(n 1)/2 j<i(cos πx i cos πx j ). [Fajar Yuliawan (ITB)]

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Akibat. Jika {φ 1,..., φ n } adalah sistem Chebyshev pada A, maka untuk setiap x 1 < < x n di A dan sembarang bilangan c 1,..., c n R masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 1,..., n, mempunyai solusi tunggal f(x) = n α i φ i (x). i=1

Polinom Lagrange Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Dengan menggunakan {1, x,..., x n } sebagai sistem Chebyshev, masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 0, 1,..., n mempunyai solusi tunggal f(x) = n α i x i. i=0 Lagrange menemukan bahwa f dapat dinyatakan sebagai f(x) = n c i φ i (x) i=0 dengan φ i (x) := j i x x j x i x j. Perhatikan bahwa φ i (x i ) = 1 dan φ i (x j ) = 0 untuk j i.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Masalah interpolasi secara umum dapat dinyatakan sebagai L i f = c i, i = 1,..., n, dengan L i menyatakan fungsional linear (yang memetakan fungsi f secara linear ke suatu bilangan L i f) dan c i R. Contoh. L i f = f(x i ) = nilai f di x i. L i f = b a xi f(x) dx = momen ke-i dari f pada [a, b]. L i f = f (i) (c) = turunan ke-i dari f di c.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Bila kita gunakan {v 1,..., v n } sebagai basis untuk ruang interpolannya, maka sistem persamaan L i f = n a j L i v j = c j, i = 1,..., n, j=1 akan mempunyai solusi tunggal f = n a j v j jika dan hanya jika j=1 det[l i v j ] 0.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Contoh. Masalah interpolasi momen L i f = 1 0 x i f(x) dx = c i, i = 0, 1,..., n, mempunyai solusi tunggal f(x) = n a i x i jika dan hanya jika det[l i v j ] = 1 i=0 0 dx 1 0 x dx 1 1 0 x dx 1 1 0 x2 dx...... 1 0 xn dx 1 0 xn+1 dx 0 xn dx 0 xn+1 dx 1 0 x2n dx 0. (Di sini kita menggunakan v i (x) = x i, i = 0, 1,..., n sebagai basis untuk ruang interpolannya.)

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Perhatikan bahwa det[l i v j ] = v 0, v 0 v 0, v 1 v 0, v n v 1, v 0 v 1, v 1 v 1, v n...... v n, v 0 v n, v 1 v n, v n, dengan v i, v j := 1 0 v i(x)v j (x) dx.

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Determinan Gram Determinan tadi merupakan determinan Gram, yang dijamin tidak nol karena {v 0, v 1,..., v n } = {1, x,..., x n } bebas linear. (Secara geometris, determinan Gram di atas menyatakan kuadrat volume paralelpipedium yang direntang oleh v 0, v 1,..., v n.) Jadi masalah interpolasi momen L i f = 1 0 x i f(x) dx = c i, i = 0, 1,..., n, dijamin mempunyai solusi tunggal berbentuk f(x) = a i x i.

Who s who.. Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Masalah interpolasi telah dipelajari cukup lama, setidaknya sejak Newton (1675) dan Taylor (17xx), yang diikuti oleh Lagrange (1795), Legendre (17xx), Gauss, (18xx), Chebyshev (18xx), Lebesgue (18xx), Erdös (19xx), dst. Masalah interpolasi 2-D dipelajari antara lain oleh Zakhor pada akhir 1980-an [8, 9]. Pada 2005, Alghofari [1] mempelajari masalah interpolasi yang meminimumkan energi fungsional tertentu. Hasil Alghofari diperluas oleh Gunawan dkk dalam 3 tahun terakhir [2, 3, 7].

Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Sebagai ilustrasi, fungsi f : [0, 1] R yang mengenterpolasi (x i, c i ), i = 1,..., n, pada pita [0, 1] R, dan meminimumkan energi potensial beban aksial E 1 := 1 0 f (x) 2 dx adalah fungsi linear bagian demi bagian yang menghubungkan n titik tersebut. Bila fungsinya harus meminimumkan kurvatur E 2 := 1 0 f (x) 2 dx, maka interpolannya merupakan fungsi kubik bagian demi bagian (lihat [2]).

Interpolasi 2-D Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Diberikan data berupa nilai c i di titik-titik p i = (x i, y i ), i = 1,..., N, pada D R 2, ingin dicari fungsi u = f(x, y) sehingga f(p i ) = c i, i = 1,..., N.

Interpolasi Polinomial 2-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sebagai contoh, diberikan tiga titik (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) di R 2 dan tiga bilangan c 1, c 2, c 3 R, kita ingin tahu apakah terdapat tepat sebuah polinom dua peubah u = a + bx + cy sehingga Jawabannya TIDAK SELALU. u(x i, y i ) = c i, i = 1, 2, 3.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Perhatikan determinan 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 = 1 x 1 y 1 0 x 2 x 1 y 2 y 1 0 x 3 x 1 y 3 y 1. Bila (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) dan (x 3, y 3 ) segaris, maka determinan di atas bernilai nol (karena (x 3 x 1 )/(x 2 x 1 ) = (y 3 y 1 )/(y 2 y 1 )). Jadi eksistensi polinom u = a + bx + cy yang menginterpolasi ketiga titik tersebut tidak dijamin. Kalaupun eksis, tidak tunggal.

Sistem Chebyshev pada R 2? Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Bila kita mempunyai dua sistem Chebyshev, sebutlah Φ := {φ 1,..., φ m } dan Ψ := {ψ 1,..., ψ n }, apakah hasilkali tensornya, yakni {φ i (x)ψ j (y) : i = 1,..., m; j = 1,..., n}, membentuk sistem Chebyshev pada R 2? Dalam perkataan lain, diberikan mn titik di R 2, apakah senantiasa terdapat u = i j a ijφ i (x)ψ j (y) yang menginterpolasi data pada mn titik tersebut? Jawabannya NEGATIF. Hasil kali tensor dari dua buah sistem Chebyshev pada R secara umum bukan merupakan sistem Chebyshev pada R 2.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sebagai contoh, {φ 1 (x) := 1, φ 2 (x) := x} merupakan sistem Chebyshev pada R, namun {φ i (x)φ j (y) : i, j = 1, 2} = {1, x, y, xy} bukan merupakan sistem Chebyshev pada R 2 : Diberikan empat titik sembarang, tidak dijamin ada u = i j a ijφ i (x)φ j (y) yang menginterpolasi data pada empat titik tersebut.

Walau Demikian..[3] Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Teorema. Misal P := {p i = (x i, y i ) : i = 1,..., N} membentuk grid persegipanjang m n pada R 2, yakni P dapat dituliskan ulang sebagai {(x i, y j ) : i = 1,..., m; j = 1,..., n} dengan m n = N, a x 1 < < x m b, dan c y 1 < < y n d. Misal Φ := {φ 1,..., φ m } dan Ψ := {ψ 1,..., ψ n } berturut-turut adalah sistem Chebyshev pada [a, b] dan [c, d]. Maka, masalah interpolasi f(x i, y j ) = c ij, i = 1,..., m; j = 1,..., n, mempunyai solusi tunggal u = m i=1 j=1 n a ij φ i (x)ψ j (y).

Ide Pembuktian Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sistem persamaan yang terkait dengan masalah interpolasi tadi adalah Ma = c dengan M = [φ k (x i )] [ψ l (y j )], yang merupakan hasil kali Kronecker dari matriks pertama yang terkait dengan sistem Chebyshev Φ dan matriks kedua yang terkait dengan sistem Chebyshev Ψ. Karena det M = ( det[φ k (x i )] ) n( det[ψl (y j )] ) m dan kedua determinan di ruas kanan tidak nol, maka det M 0, sehingga sistem persamaan di atas pasti mempunyai solusi tunggal.

Hasil Kali Kronecker Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Hasil kali Kronecker dari dua matriks M 1 := [a ij ] m m and M 2 := [b kl ] n n didefinisikan sebagai a 11 M 2 a 12 M 2 a 1m M 2 a 21 M 2 a 22 M 2 a 2m M 2 M 1 M 2 :=...... a m1 M 2 a m2 M 2 a mm M 2 dengan p = mn. Fakta [6]. det M 1 M 2 = (det M 1 ) n (det M 2 ) m. p p

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Contoh. Misal kita ingin menginterpolasi data ( 1 4, 1 4, 1 2 ), ( 1 4, 1 2, 1), ( 1 4, 3 4, 2), ( 1 2, 1 4, 1), ( 1 2, 1 2, 2), ( 1 2, 3 4, 1), ( 3 4, 1 4, 1 2 ), ( 3 4, 1 2, 1), ( 3 4, 3 4, 1). Perhatikan bahwa titik-titik yang terkait dengan data tersebut membentuk grid persegi 3 3 pada (0, 1) (0, 1):.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Jika kita menggunakan sistem Chebyshev {sin πx, sin 2πx, sin 3πx} dan {1, cos πy, cos 2πy}, maka interpolan-nya berbentuk u(x, y) =a 11 sin πx + a 12 sin πx cos πy + a 13 sin πx cos 2πy + a 21 sin 2πx + a 22 sin 2πx cos πy + a 23 sin 2πx cos 2πy + a 31 sin 3πx + a 32 sin 3πx cos πy + a 33 sin 3πx cos 2πy.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sistem persamaannya dapat disederhanakan dengan OBE menjadi 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 + 1 2 2 2 1 2.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Kita peroleh ( ) 2 u(x, y) = 2 + 1 sin πx 1 2 2 sin πx cos πy 1 sin πx cos 2πy 2 + 1 2 4 sin 2πx 4 sin 2πx cos πy + 1 sin 2πx cos 2πy 4 ( ) 2 + 2 1 sin 3πx 1 2 2 sin 3πx cos πy + 1 sin 3πx cos 2πy 2 sebagai interpolan yang dikehendaki.

Lebih Jauh.. Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Misal G = {(a i, b i, c i ) : i = 1, 2,..., N} himpunan titik di A 1 A 2 R, dan H = {(x i, y j ) : i = 1,..., m; j = 1,..., n} adalah grid persegipanjang minimal yang memuat {(a i, b i ) : i = 1,..., N}. Di sini kita asumsikan bahwa {(a i, b i ) : i = 1,..., N} sendiri bukan grid persegipanjang, sehingga N < mn. Misal {φ 1,..., φ m } dan {ψ 1,..., ψ n } adalah sistem Chebyshev pada A 1 dan A 2 berturut-turut. Maka kita dapat menggunakan u(x, y) = m n a ij φ i (x)ψ j (y) (1) i=1 j=1 sebagai interpolan G.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Substitusikan titik-titik pada G ke persamaan (1), kita peroleh sistem persamaan dengan N persamaan dan mn variabel. Karena rank matriksnya sama dengan N < mn, maka sistem mempunyai banyak solusi. Dalam hal ini terdapat banyak nilai a ij yang akan menjadikan fungsi u pada (1) sebagai interpolan G.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Contoh. Misalkan kita ingin menginterpolasi data ( 1 4, 1 2, 2), ( 1 4, 3 4, 1), ( 1 2, 1 4, 2), ( 1 2, 1 2, 3), ( 1 2, 3 4, 2), ( 3 4, 1 4, 1), ( 3 4, 1 2, 2). Titik-titik yang terkait dengan data di atas termuat dalam grid persegi 3 3 pada (0, 1) (0, 1):

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Jika kita gunakan {sin πx, sin 2πx, sin 3πx} dan {1, cos πy, cos 2πy} sebagai sistem Chebyshev, maka interpolan-nya berbentuk u(x, y) =a 11 sin πx + a 12 sin πx cos πy + a 13 sin πx cos 2πy + a 21 sin 2πx + a 22 sin 2πx cos πy + a 23 sin 2πx cos 2πy + a 31 sin 3πx + a 32 sin 3πx cos πy + a 33 sin 3πx cos 2πy.

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Substitusikan data dan sederhanakan sistemnya dengan OBE: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 + 1 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0. 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2 2 3 2

Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Salah satu interpolan yang memenuhi sistem persamaan ini adalah: ( ) 1 1 ( ) u(x, y) = 2 + sin πx sin πx cos 2πy + 2 1 sin 2πx 2 2 ( ) 2 3 + 0.25 sin 2πx cos 2πy. 2

Catatan Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sebagian hasil yang disajikan merupakan hasil penelitian bersama dengan E. Rusyaman (Unpad). Hasil-hasil tersebut telah pula diperumum ke dimensi N oleh L. Ambarwati (Mhs S3 MA-ITB). Selain itu, ditemukan pula bahwa polinom dua peubah berderajat n selalu dapat menginterpolasi data pada 1 2 (n + 1)(n + 2) titik yang membentuk grid segitiga. Sebagian hasil penelitian ini telah dikirim ke beberapa jurnal di dalam dan luar negeri, dan sebagian lainnya masih sedang dalam proses penulisan.

Ucapan Terimakasih Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Penelitian ini didanai oleh Program Penguatan Riset Institusi Tahun 2010/2011.

A.R. Alghofari (2005), Problem in Analysis Related to Satellites, Ph.D. Thesis, UNSW, Sydney, Australia. H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman (2008), An interpolation method that minimizes an energy integral of fractional order, in D. Kapur (Ed.): Asian Symposium on Computer Mathematics 2007, LNAI 5081, 151-162, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. H. Gunawan, E. Rusyaman, L. Ambarwati (2009), Surfaces with prescribed nodes and minimum energy integral of fractional order, submitted. G.B. Lorenz (1966), Approximation of Functions, AMS Chelsea Publishing, USA. C.W. Patty (1993), Foundation of Topology, PWS Publishing Company, USA.

C.R. Rao and M.B. Rao (1998), Matrix Algebra and Its Applications to Statistics and Econometric, World Scientific, Singapore. E. Rusyaman, H. Gunawan, A.K. Supriatna, R.E. Siregar (2010), Eksistensi interpolan sinusoida berdimensi dua (in Indonesian), J. Mat. Sains. A. Zakhor (1987), Reconstruction of Multidimensional Signals from Multiple Level Threshold Crossings, Ph.D. Dissertation, MIT, USA. A. Zakhor and G. Alvstad (1992), Two-dimensional polynomial interpolation from nonuniform samples, IEEE Trans. Signal Processing 40, 169 180.