TURUNAN 11.1 GARIS SINGGUNG Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 11.1 Akan tetapi jika terdapat a buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 11.2 A Gambar 11.1 A B l Gambar 11.2 Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang Matematika Dasar Page 144
terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan m fx-fx x-x y (1) l 1 A l B Kemiringan garis l 1 m 1 Kemiringan garis l m x x x 1 h x Gambar 11.3 Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x 1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk, fx-f(x) limm lim m (2) x-x Persaman (2) adalah kemiringan garis l 1 jika x mendekati x 1. Jika kita perhatikan Gambar 3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x 1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi Matematika Dasar Page 145
fx-f(x) limm lim m x-x Sehingga m lim fx-f(x) x-x Karena x x h, maka m lim fx+h-f(x) h fx+δx-f(x) Jika dimisalkan h fx, maka m lim Δx Persamaan (3) s/d (5) adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) (3) (4) (5) Contoh 11.1 Diketahui f(x) 3x 2 +5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a 2 ) Penyelesaian fx+δx-f(x) m lim Δx 3x+Δx+5-3x-5 3x+6xΔx+3(Δx)+5-3x-5 lim lim Δx Δx lim 6x + 3Δx6x Jadi m 6x (*) Persamaan garis singgung : y mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a 2 ) maka : persamaan (*) menjadi :m 6a persamaan (**) menjadi : a 2 6a 2 + n. Sehingga n -5a 2 Persamaan garis singgung menjadi : y 6ax 5a 2 A. Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukanf (x) menjadi turunan f(x) atau f (x). Matematika Dasar Page 146
f(x) differensiasi f (x) Gambar 11.4 Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan (3) dan Gambar 3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk, fx lim fx-f(x) x-x, jika nilai limitnya ada (6) jika persamaan (6) dapat dipenuhi berarti f(x) dapat diferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. Contoh 11.2 Jika f(x) 2x 2 +5-7, tentukan f (x),f (c) dan f (3) Penyelesaian f(x) 2x 2 +5-7 f(x+δx) 2(x+Δx) 2 +5(x+Δx-72x 2 +4xΔx+2(Δx) 2 +5x+5Δx-7 f(x+δx)-f(x)4xδx+2δx +5Δx Δx)-f(x) 4x Δx+2(Δx)+5Δx f(x)lim lim Δx Δx jadi f(x) 4x+5 f(c) 4c+5 lim 4x+2(Δx)+54x+5 f(3) 4(3)+517 B. Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang yaitu lambang turunan dari suatu fungsi yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double d. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai /, /dz, dimana x dan z adalah peubahpeubah bebas dan y sebagai peubah Matematika Dasar Page 147
tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y f(x), maka : /. C. Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiabel jika memenuhi persamaan (6) yaitu, fx+δx-f(x) fx+δx-f(x) Jika lim ada, maka f(x)lim Δx Δx f(x+δx)-f(x) fx+δx-f(x) Δx) Δx lim(f(x+δx)-f(x))lim fx+δx-f(x) Δx.lim Δxf(x).00 Sehingga lim f(δx+x)lim fx lim fx fx (terbukti) Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontin pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x. 11.2 TEOREMA A. Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai,, 0 (7) fxc; f(x+δx)c fxlim fx+δx-f(x) Δx B. Aturan penjumlahan c-x lim 0 (terbukti) Δx Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, h +, + (9) Matematika Dasar Page 148
hx fx + gx h(x + x)f(x + x)+g(x + x) hx lim hx+δx-h(x) fx+δxgx+δx lim Δx Δx fx+δx-f(x) gx+δx lim + lim fx + gx (terbukti) Δx Δx Contoh 11.4 Diketahui 5 + 2 Tentukan f(x)5x g2x 5 2 + 5 + 2 7 C. Aturan perkalian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, h.,. +... hxlim.... lim lim fx + x +limgx. +. (terbukti) (10) Contoh 11.5 Diketahui 3 + 27 + 3 tentukan Matematika Dasar Page 149
Penyelesaian f(x)3x+2x g(x)7x+3 15 4 7. +. 15 47 + 3 + 3 + 27 105 28 + 45 12 + 21 + 14 126 + 45 14 12 D. Aturan pembagian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, " h,.. hx fx fx x ;hx + x gx gx x hx xhx hxlim lim x gx.fx xgx x.fx lim x.gx x.gx fx x gx x fx gx x gx.fx xfx.gxgx x.fxfx.gx lim x.gx x.gx limgx fx xfx.gx lim gx xgx fx x.gx x.gx x.gx x.gx lim gx fx xfx x gx x.gx lim fx.. (terbukti) gx xgx x x.gx x.gx (11) Contoh 11.6 Tentukan turunan h(x) jika h 2x-3x4x 2 3 8 6 Matematika Dasar Page 150
4 h. +. 12 8 6. 4 2 3. 12 4 E. Turunan fungsi komposisi yfu dan ugx, maka. (12) Jika y f(u) dan u g(x) maka y f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u g(x) u g(x+ x)-g(x) g(x+ x) g(x) + u u + u Jika u 0 maka x 0 y f(g(x)) y f(g(x+ x))-(f(g(x)) y fgx xfgx x x y fu ufu u x x lim fu ufu u fgx xfgx u u x u u lim x y x lim u.lim x Persamaan (12) disebut aturan rantai Contoh 11.7 Tentukan jika y (4x3 +5x 2 -x+4) 3 fu xfu u u (terbukti) Misal: u 4x 3 +5x 2 -x+4 y u 3 Matematika Dasar Page 151
12x+10x-1 3u12x+10x-1 312x+10x-14x+5x-x+4 3u Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut 1. ft at bt +7 2. gt t 2t3 3. gx 2 x +x 2 t3 4. hx 4x 5 +1 x 5. wx 7 5 2x +3 6. fx 4x 4x 3x4x 5 +1 x 7. gt at +bt + c(3at 7) 8. hw baw wc F. Turunan fungsi-fungsi trigonometri yfx sin x, maka fxcos x (13) fx xfx sinx xsinx fx lim lim x x sinxcos xcosxsinx lim x sinx cos x1cosxsin x lim x cos x1 lim sinx +cosx x sin x x cos x1 sin x sinx lim +cosx lim x x sinx0 + cosx1 cosx (terbukti) jika y sin u dan u fx, maka cos u (14) Matematika Dasar Page 152
y sinu u fx cosu fx cosu (terbukti) jika y fx cos x, maka fx sin x (15) fx xfx cosx xcosx fx lim lim x x cosxcos xsinxsin xcosx lim x cosx cos x1sinxsin x lim x lim cos x1 cosx sinx sin x x x cos x1 sin x cosxlim sinx lim x x cosx0 sinx1 sinx (terbukti) jika y cos u dan u f x, maka sin u (16) y cosu u fx sinu fx sin u (terbukti) Contoh 11.8 Jika y sinπ 2x tentukan Misal uπ-2x ysin u Matematika Dasar Page 153
2 cosu cosu 2 2cosπ 2x Contoh 11.9 Jika y cos x, tentukan 2 Misal u x 2 Contoh 11.10 ycos u sinu 1 2 1 2 sinx 2 Jika y sin2xcos3x, tentukan Misal usin 2x vcos 3x 2cos2x.vu.dv v dv 4sin4x 3cos3xcos4xsin3x4sin4x cos4x 3cos3xcos4x4sin3xsin4x cos4x jika y fx tan x, maka fx sec x (17) y tanx sinx cosx u sinx v cosx cosx dv sinx.vu.dv v cosxsinx cosx cosxcosxsinxsinx cosx 1 cosx secx Matematika Dasar Page 154
jika y tan u, maka sec u (18) y tanu v cosx cosx dv sinx secu(terbukti) Contoh 11.11 Jika y 5tan3x, tentukan Misal u3x 3 y5 tan u dv 5secu 5secu3 15sec3x jika y fx cot x, maka fx csc x (19) y cotx cosx sinx u cosx sinx.vu. v sinxcosx sinx sinxsinxcosxcosx sinx sinxcosx sinx 1 cscx (terbukti) sinx v sinx dv cosx jika y cot u, maka csc u (20) Matematika Dasar Page 155
y cotu u fx cscu fx cscu (terbukti) Contoh 11.12 Jika y 1 cot 1 tentukan 2 3x Misal u 1 3 x 1 3 y1 2 cot dv 1 2 cscu 1 2 cscu1 3 1 6 csc1 3 x jika y fxsec x, maka fx sec x tan x (21) y secx 1 cosx Misal u1 0.vu.dv v vcos x dv sinx 0cosx1sinx cosx sinx cosxsecxtanx (terbukti) jika y sec u, maka sec u tan u (22) y secu u fx cscu tan u fx secutanu (terbukti) Matematika Dasar Page 156
jika y fx csc x, maka fx csc x cot x (23) y csc x 1 sinx Misal u1 0 vsin x dv cosx.vu.dv v 0sinx1cosx sinx cosx sinx cscxcotx (terbukti) jika y csc u, maka csc u cot u (24) y cscu u fx cscu cot u fx cscucotu (terbukti) Contoh 11.13 Jika y 1 cotπ x, tentukan 3 Misal u π x v 1 2 csc u 1 dv 1 3 cscucotu 1cscucotu 1 3 1csc ucotu 1 cscπ xcotπ x 3 3 Matematika Dasar Page 157
Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. fx sin x 2 π 3 2. fx cos π 2 x 3 3. gx tanx 4. hxcot x 5. wx sec x 2 π 3 6. fx csc π 3 x 7. gt 1 sinawπ sin2tcosπt 8. hw 2 cosπbw 9. vt atsin2t cosbt 10. gt sint cos2t sin3t 11.3 TURUNAN FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS Bukti y arcsinx siny x cosy 1 1 cosy Selanjutnya perhatikan gambar segitiga berikut: siny x cosy 1 x 1x (terbukti) 1x y arcsinu 1 1u 1 1u jika y fx arcsin x, maka fx (terbukti) 1 - x jika y arcsin u dan u fx, maka y 1 x (25) (26) Contoh 11.14 Jika y 3 arcsin 8 1 x, tentukan 3 Matematika Dasar Page 158
Misal u 1 3 x v3 8 arcsin x 1 3 3 8 dv 1 3 8 1u 1 1u 1 1 3 81 1 9 x jika y arcsin u dan u fx, maka (27) Bukti y arccosx cosy x siny 1 1 siny Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cosy x siny 1 x 1 (terbukti) 1x 1 y x 1 x jika y arccos u dan u fx, maka (28) y arccosu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh 11.15 Jika y 3arccos2x, tentukan Misal u 2x 2 y 3arccosu dv 3 1 1u Matematika Dasar Page 159
3 1 1u 2 6 6 12 14x jika y fx arctan x, maka fx y arctanx tany x secy 1 1 secy Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! tany x secy 1 +x 1 (terbukti) 1x 1 x y 1 x (29) jika y arctan u dan u fx, maka (30) y arctanu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh 11.16 Jika y 3 5 arctan1 x, tentukan 3 Penyelesaian Misal u 1 3 x y3 5 arctanu 1 dv 3 1 3 51u 3 1 1 1 1 51u3 51 1 3 x 51 1 9 x jika y fx arccot x, maka fx (31) Matematika Dasar Page 160
y arccotx coty x cscy 1 1 cscy Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! coty x cscy 1 +x 1 (terbukti) 1x 1 x y x 1 jika y arctan u dan u fx, maka (32) y arctanu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh 11.17 Jika y 2arccot3x, tentukan Penyelesaian Misal u 3x 3 y2arccotu dv 2 1 1u 2 1 3 6 1 6 1u 13x 19x jika y fx arcsec x, maka (33) Matematika Dasar Page 161
y arcsecx secy x secytany 1 1 secytany Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! secy x secytany x x 1 1 (terbukti) x x1 y x 1 x 1 jika y arctan u dan u fx, maka (34) y arcsecu 1 u u1 1 u u1 (terbukti) Contoh 18 Jika y arcsec π 2 Misal u π 2 x 1 1 x, tentukan 1 1 π u u1 yarcsecu 1 u u1 2 xπ 2 x1 jika y fx arccsc x, maka fx y arccscx cscy x csc y coty 1 1 cscycoty (35) Matematika Dasar Page 162
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cscy x cscycoty x x 1 1 (terbukti) x x1 y x x 1 jika y arccsc u dan u fx, maka 1 (36) y arccscu 1 u u1 1 u u1 (terbukti) Contoh 11.19 Jika y arccscx π 2 Misal u x π 2 1, tentukan y2 arccotu 1 u u1 x π 2 xπ 2 1 1 1 1 1 u u1 u u1 Latihan 1. y arcsinπ x 3. y cos2x arccos x 2. y 3arccos4x 4. y arctanx sin3x Matematika Dasar Page 163
11.4 TURUNAN FUNGSI EKSPONEN jika y fx e, maka fx e (37) e dide inisikan sebagai lim 1 +x n Dengan menggunakan teorema binomial didapat, 1 + x n 1 0! x + n.1 x n 1! n +nn1.1 2! x n +nn1n2.1 3! x n + 1 +x+ 11 n 2! lim 1 +x lim 1 n +x+1 2!.x + 11 n 12 n.x + 3! 1 n.x + 11 n 12 n.x + 3! e 1 + x +! +! + (38) e 1 + 1 +! +! + (39) Jika y fx e x Maka fx xfx e fx lim lim e ee lim 1 x x x Karena e 1 +x+ x 2! + x 3! +, maka e 1 x + x 2! + x 3! + ee Sehingga lim 1 lim e 1 + x + x + e (terbukti) x 2! 3! Jika y e dan u fx, maka e (40) y e u fx e e fx (terbukti) Matematika Dasar Page 164
Contoh 11.20 Jika y 2e, tentukan Misal u a bx b e b be 11.5 TURUNAN FUNGSI LOGARITMA Jika y fx ln x, maka fx (41) lim 1 x ln1 + x x 1 x lim x x 1 lnlim 1 + x x x Jika x x u, maka x x 1 u, sehingga x ln1 + 1 lim x ln1 + x x x 1 lnlim 1 + x 1 x x lnlim 1 +u 1 lne x x 1(terbukti) x y lnu u fx 1 u Jika y ln u dan u fx, maka 1 u fx (terbukti) (42) Contoh 11.20 Jika y eln 1 x, tentukan 3 Misal u e v ln 1 3 x Matematika Dasar Page 165
2e dv 1 3.v +u.dv 2e.ln1 3 x +e.1 x e ln1 3 x +1 x Jika y fx log x, maka fx (43) y log x ax ylna lx y 1 lna lnx lnax (44) Jika y log u dan u fx, maka y log u 1 lnau 1 lnau (terbukti) Contoh 11.21 Jika y log3 5x, tentukan Diketahui a 7, misal u 3 5x 5 1 1 lnau ln7u 5 5 ln735x Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. y xe 6. y 2ln3x 2. y 3x 2e 56x 7. y e ln4x 3. y xln2x 8. y 3log1x e Matematika Dasar Page 166
4. y xln3x e 5. y xln4xe e 9. y x e log4x 10. y xln5xe elnx 11.6 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK Jika y fx sin hx, maka fx cos hx (45) y fx sinhx 1 e e 2 fx 1 e +e coshx (terbukti) 2 Jika y sinh u dan u fx, maka (46) cosh u y sinhu coshu fx 1 e +e coshx (terbukti) 2 Contoh 11.22 Jika y 3sinh 1 x, tentukan 5 Misal u 1 5 x y 3sinhu 1 5 3coshu 3coshu1 5 3 5 cosh1x 5 Jika y fxcoshx, maka fx sinhx (47) y fx sinhx 1 e +e 2 fx 1 e e sinhx (terbukti) 2 Matematika Dasar Page 167
Jika y sinh u dan u fx, maka cosh u (48) y coshu sinhu sinhu (terbukti) Contoh 23 Jika y cosh1 2x, tentukan Penyelesaian Misal u 1 2x 2 y sinhu coshu coshu 2 2cosh1 2x Jika y fx tanh x, maka fx sech x (49) y fx tanhx sinhx coshx fx coshxcoshxsinhxsinhx coshx 1 sechx (terbukti) coshx Jika y tanh udan u, maka sech u (50) y tanh u sec u sech u terbukti coshxsinhx coshx Matematika Dasar Page 168
Contoh 11.24 Jika y tanha + bx, tentukan Misal u a + bx y tanhu sechu sech ub secha + bx Jika y fx coth x, maka fx csch x (51) y fx coth x fx csch x terbukti Jika y coth u dan u fx, maka csch u (52) y tanh u csch u csch u (terbukti) Contoh 11.25 Jika y cotha + bt, tentukan Misal u a + bt y coth u cothu csch ub cscha + bt Jika y fx sech x, maka fx tanh x sech x (53) Matematika Dasar Page 169
y fx sech x Misal u 1 0.. cosh x sinhu Jika y sech u dan u fx, maka y sech u tanh u sech u tanh u sech u (terbukti) tanh x sech x (terbukti) tanh u sech u (54) Contoh 11.26 Jika y 2 sech x, tentukan Misal u x y 2 sech u 2 tanh u sech u 2 tanh u sech u tanh u sech u tanh x sech x Jika y fx csch x, maka fx csch x coth x (55) y fx csch x Misal u 1 0 sinh x cosh x.. csch x coth x (terbukti) Matematika Dasar Page 170
Jika y csch u dan u fx, maka coth u csch u (56) y csch u coth u csch u Latihan coth u csch u (terbukti) Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. y sinh2 3x 6. y 2. y coshax b 7. y 3. y x sinh 5x 8. y 4. y e cosh 2x 9. y x cschx 1 5. y ln2 x tanh 3x 10. y e cscha bx 11.7 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK INVERS Jika y sinh x, maka fx (57) y fx sinh x lnx + x n + 1 (terbukti) Jika y sinh u dan u fx, maka fx (58) y sinh u (terbukti) Matematika Dasar Page 171
Contoh 11.27 Jika y 3 sinh x, tentukan Misal u x y 3 sinh u Jika y cosh x, maka, x > 1 (59) y fx cosh x lnx + xn 1, x > 1 (terbukti) Jika y cosh u dan u fx, maka, x > 1 (60) y cosh u (terbukti) Contoh 11.28 Jika y cosh x, tentukan Misal u x y cosh u Jika y fx tanh x, maka fx, x < 1 (61) Matematika Dasar Page 172
y fx tanh x ln, x < 1, x < 1 ( ) Jika y tanh u dan u fx, maka, u < 1 (62) y tanh u, u < 1 (terbukti) Contoh 11.29 Jika y tanh2x 1, tentukan Misal u 2x 1 2 2 y tanh u Jika y fx coth x, maka fx, x > 1 (63) y fx coth x ln, x > 1, x > 1 ( ) Jika y coth u dan u fx, maka, u > 1 (64) y coth u, u > 1 ( ) Matematika Dasar Page 173
Contoh 11.30 Jika y 3 coth2 3x, tentukan Misal u 2 3x y 3 coth u 3 3 Jika y fx sech x, maka fx, 0 < < 1 (65) y fx sech x ln, 0 < < 1, 0 < < 1 ( ) Jika y sech u dan u fx, maka, 0 < < 1 (66) y sech u, 0 < < 1 ( ) Contoh 11.31 Jika y 2 sech1 x, tentukan Misal u 1 x 1 1 (67) Jika y fx csch x, maka fx y 2 sech u Matematika Dasar Page 174
y fx csch x ln (terbukti) Jika y csch u dan u fx, maka (68) y csch u (terbukti) Contoh 11.32 Jika y cschsin x, tentukan Misal u sin x cos x cos x y csch u Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 1. y sinhcos x 2. y coshsin 2x 3. y tanh3x + π 4. y x coth x 5. y sechx sin x 6. y e cscsh 1 2x 11.8 TURUNAN TINGKAT TINGGI Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f (x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kea dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kea dan seterusnya dari suatu fungsi Matematika Dasar Page 175
disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kea dan ketiga ditulis dengan lambang :, dan d y atau f'(x), f''(x) dan f'''(x). Sedangkan untuk turunan ke n, dengan n 4, kita gunakan lambang d y atau f( ) (x). Contoh 11.33 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) (x 4) f' x3(x - 4)(2x) 6x(x - 4) d y d y f''(x) 6(x - 4) + 6x(2(x - 4)(2x)) 6(x - 4) + 24x (x - 4) f'''(x) 12(x - 4)(2x) + 48x(x - 4) + 24x (2x) 120x - 208x d y f( ) (x) 360x 208 Latihan Tentukan turunan kea dari fungsi-fungsi, 1. fx 2xe 2. fx ln a bx 3. fx 4. fx 5. fx sina bx 6. fx cosmx + n Matematika Dasar Page 176