4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret trigonometri tersebut sebetulnya dapat pula dipakai sebagai representasi fungsi yang terdefinisi pada interval sebarang yang panjangnya 2. Pada bab ini kita akan membahas deret Fourier dari suatu fungsi yang didefinisikan pada interval sebarang dan aplikasinya. 4. Deret Fourier pada interval sebarang Misalkan kita mempunyai sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [, ], dengan asumsi f( ) = f(). (Asumsi ini dapat dipenuhi dengan cara mendefinisikan ulang, bila perlu, nilai f di salah satu titik ujungnya. Asumsi ini dapat pula dihapuskan dengan menganggap f terdefinisi hanya pada (, ].) Selanjutnya misalkan f terbatas dan terintegralkan pada [, ]. Kita perluas f pada R sedemikian sehingga f periodik dengan periode 2, melalui f(θ + 2n) = f(θ), θ (, ], n Z. Sebagai contoh, fungsi periodik f yang dibahas pada Contoh pada Bab 2 dapat dipandang sebagai perluasan periodik fungsi f(θ) = θ dari interval (, ] ke seluruh R. Jika f mulus bagian demi bagian pada (, ], maka kita dapat menguraikannya sebagai deret Fourier. Dengan membatasi kembali peubah θ pada [, ], kita peroleh deret Fourier dari fungsi semula. Sekarang misalkan f terdefinisi hanya pada [, ]. Kita dapat memperluas f pada R sedemikian sehingga ia merupakan fungsi periodik dengan periode 2, dan kemudian kita peroleh deret Fouriernya. Untuk memperluas f pada R, pertama kita perluas f pada [, ]. Ada dua cara yang baku untuk hal ini, yakni dengan membuatnya menjadi fungsi genap atau ganjil. Perluasan genap f genap pada [, ] dapat diperoleh melalui f genap ( θ) = f(θ), θ [, ]; 5
sementara perluasan ganjil f ganjil dapat diperoleh melalui Untuk ilustrasi, lihat gambar berikut. f ganjil ( θ) = f(θ), θ (, ], f ganjil () = ; [Gambar 4.: Perluasan genap dan perluasan ganjil] Keuntungan menggunakan f genap dan f ganjil adalah bahwa koefisien Fouriernya kelak lebih sederhana. Untuk f genap, koefisien sinusnya akan sama dengan nol (karena sin nθ merupakan fungsi ganjil). Untuk f ganjil, koefisien cosinusnya akan sama dengan nol (karena cos nθ merupakan fungsi genap). Jadi, deret Fourier dari f genap hanya melibatkan fungsi cosinus, sementara deret Fourier dari f ganjil hanya melibatkan fungsi sinus. Dengan simetri, perhitungan koefisien lainnya juga menjadi lebih mudah: f genap (θ) cos nθ dθ = 2 f(θ) cos nθ dθ, f ganjil (θ) sin nθ dθ = 2 f(θ) sin nθ dθ. Perhatikan bahwa pada akhirnya fungsi f yang semula terdefinisi pada [, ] muncul kembali dalam perhitungan koefisien Fourier di atas. Definisi. Misalkan f terintegralkan pada [, ]. Deret 2 a + n a n cos nθ, disebut deret Fourier cosinus dari f. Deret n b n sin nθ, disebut deret Fourier sinus dari f. dengan a n = 2 dengan b n = 2 f(θ) cos nθ dθ, f(θ) sin nθ dθ, Teorema. Misalkan f mulus bagian demi bagian pada [, ]. Maka, deret Fourier cosinus dan deret Fourier sinus dari f konvergen ke 2 [f(θ ) + f(θ+)] di setiap θ (, ). Khususnya, mereka konvergen ke f(θ) jika f kontinu di θ (, ). Deret Fourier cosinus dari f 6
konvergen ke f(+) di θ = dan ke f( ) di θ = ; deret Fourier sinus dari f konvergen ke di kedua titik tersebut. Sekarang misalkan f(x) adalah fungsi periodik dengan periode 2. Dengan substitusi peubah x = θ, kita peroleh fungsi baru g(θ) := f ( θ ) = f(x). Perhatikan bahwa g merupakan fungsi periodik dengan periode 2, dan karenanya dapat diuraikan sebagai deret Fourier g(θ) = n= asalkan g mulus bagian demi bagian. c n e inθ, c n = g(θ)e inθ dθ, 2 Jika kita subtitusikan kembali θ = x ke dalam rumus di atas, maka kita dapatkan deret Fourier periodik dengan periode 2 dari fungsi f semula: n= c n e inx/, C n = f(x)e inx/ 2 Dinyatakan dalam cosinus dan sinus, deret ini menjadi 2 a + [a n cos nx + b n sin nx ], dengan a n = f(x) cos nx dx, b n = Dengan cara yang serupa seperti sebelumnya kita dapat memperoleh deret Fourier cosinus dan deret Fourier sinus dari fungsi f yang mulus bagian demi bagian pada [, ], yakni dan 2 a + a n cos nx, b n sin nx, a n = 2 b n = 2 f(x) cos nx dx, Contoh. Deret Fourier cosinus dari fungsi x, x [, ], adalah 2 4 2 cos(2n )x; (2n ) 2 7
sementara deret Fourier sinusnya adalah 2 ( ) n+ n sin nx. 4.2 Contoh aplikasi Pada Bab kita telah membahas persamaan panas untuk sepotong kawat lurus yang panjangnya, yakni u u = ku xx dengan syarat batas dan syarat awal u(, t = u(, t) = u(x, ) = f(x). Kandidat solusi masalah ini adalah dengan koefisien b n memenuhi u(x, t) = b n e n2 2 kt/ 2 sin nx b n sin nx. Sekarang kita telah mengetahui bahwa persamaan terakhir di atas dapat dipenuhi apabila f mulus bagian demi bagian pada [, ] dan b n = 2 Pertanyaannya kemudian adalah: apakah u(x, t) yang diberikan sebagai deret oleh rumus di atas, dengan koefisien b n ini, sungguh merupakan solusi masalah tadi? Jawabannya ya. Penjelasannya adalah sebagai berikut: Masing-masing suku deret merupakan solusi persamaan panas. Pada daerah x, t ϵ >, deret konvergen mutlak dan seragam. Karena itu, penurunan suku demi suku dapat dilakukan untuk menunjukkan 8
bahwa u(x, t) merupakan solusi persamaan panas. Syarat batas u(, t) = u(, t) = dan u(x, ) = f(x) mudah diperiksa. ebih jauh, dengan uji M-Weierstrass, dapat ditunjukkan bahwa deret konvergen seragam pada daerah x, t, dan karenanya u kontinu pada daerah ini, sehingga u(x, t) u(x, ) = f(x) bila t. Pertanyaan berikutnya adalah: apakah solusi masalah tersebut tunggal? Jawabannya juga ya. Setiap solusi u(x, t) untuk masalah tersebut mestilah dapat diuraikan sebagai deret Fourier dalam x untuk setiap t. Substitusikan deret ini ke dalam persamaan dan gunakan syarat awal, kita akan sampai pada kesimpulan bahwa koefisien deret ini mestilah sama dengan koefisien Fourier yang kita peroleh sebelumnya. 4.3 Soal atihan. Bagaimana anda dapat memperoleh deret Fourier dari sebuah fungsi yang terdefinisi pada sebarang interval [a, b]? Jelaskan secara detil. 2. Verifikasi ketunggalan solusi persamaan panas dengan syarat batas dan syarat awal yang dibahas pada Pasal 4.2. 9