A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstant Dari contoh sederhana tersebut, marilah kita definisikan istilah tersebut di atas. Suku adalah bentuk aljabar yang memuat koefisien, variabel, dan konstanta atau memuat koefisien dan variabel saj Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah. Variabel dituliskan dalam bentuk huruf abjad (huruf kecil). c. Koefisien adalah bilangan yang diikuti oleh variabel Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti variabel. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sam Untuk lebih jelas memahami konsep suku-suku sejenis, perhatikan tabel berikut! Suku Sejenis / tidak sejenis Keterangan 18p dan 10p -9a dan 1a 9a dan 9b mn dan 8mn Suku sejenis Suku sejenis Suku tidak sejenis Suku tidak sejenis Variabel dan pangkat dari variabel sama Variabel dan pangkat dari variabel sama Variabelnya tidak sama Pangkat dari variabelnya tidak sama PENDALAMAN MATERI 1 BANYAK SUKU, KOEFISIEN, VARIABEL, DAN KONSTANTA. 1. Diketahui bentuk aljabar: a + b 7ab + 8. Tentukan: banyak suku, konstanta, c. koefisien untuk variabel. Diketahui bentuk aljabar: 17x - 8x + 69y 9xy 8. Tentukan: banyak suku, konstanta, c. variabel, koefisien untuk variabel y dan xy.. Diketahui bentuk aljabar: mn + n m + mn. Tentukan : banyak suku, konstanta, c. variabel, koefisien untuk variabel mn dan m.. Diketahui bentuk aljabar: pq p + q. Tentukan: banyak suku, konstanta, c. variabel, 1
5. Bentuk aljabar -c + 7 10d + 17e. Tentukan : banyak suku, konstanta, c. variabel, koefisien untuk variabel c dan. Operasi Bentuk Aljabar Penjumlahan Dan Pengurangan Bentuk Aljabar Dua suku atau lebih dapat dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan apabila suku-suku tersebut merupakan suku-suku yang sejenis. Contoh : 1.1 1) p + p = 5p ) 8xy 6xy = xy ) x + 7x + 6x x = x + 6x + 7x x = 9x + x ) (1d + 5e) (8d e) = 1d + 5e -8d + e = 1d 8d + 5e + e = d + 7e 1. Sederhanakan! 6a 6 + a 7b + 1 9b c. 1x + 7x 8y + y -6x + y + 1x 5y e. 8ab + 15a ab 17a f. 8k + 99j 5k + 11j g. 0m + 8n + m 7n 10m + h. 5p + q + r p + 6q r +. Sederhanakan! (1a + 8) + (8a + 1) (b 7) (-a + 11) c. (j + k) + (8j + k) (x y) (8y + x) e. (5a b) (-6a 7b) f. (18h 5i + 8j) (h + i 6j) g. (9m 5n + 10k) (-6n 7m + k) h. (7a + 8 b 11) + (5b 10b ). Jumlahkan! 18h + dan 1h 5 m + n dan 5m + 7n c. 50a + 0b dan 10b 0a + 9 1f 6g + 7h dan 8g 11f 5h e. b + 15c -1 dengan - + 5 c f. 8ab + b dengan ab b + 7 g. -1a b 8ab dengan 6ab + b h. 9c d + 1 dengan 10cd 1. Kurangkan! 8p + + 5q dari 1p + q 5-7h 18 dari + 17h c. 15v + w dengan 0v w + 8 5c + 78 dengan 5c + 58 e. 5x + y + 7 oleh x y + f. a 6b + oleh 8b 1a 5 g. -7ab + 6a 1 dari ab b + 1 h. a b + c dari -a + b c + 5 PENDALAMAN MATERI OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
5. Jika p = d d dan q = d + d, hitunglah (p + q) dan (p q) 6. Gambar pekarangan Pak Yasin membentuk huruf L seperti tampak pada gambar berikut. Tentukan keliling pekarangan Pak Yasin dalam p! Jika keliling pekarangan 56 cm, carilah nilai p! p + 1 + p p - 5 7. Alas kandang ayam Pak Amin berbentuk persegi panjang. Panjang kandang (a + ) meter dan lebarnya (5a ) meter, sedangkan panjang kayu yang diperlukan untuk membuat alas adalah 90 meter. Tentukan : nilai a, ukuran kandang, c. luas kandang (dalam are). Perkalian bentuk aljabar 1) Perkalian suatu bilangan dengan dua suku Bentuk umum perkalian suatu bilangan dengan dua suku antara lain : k(p + q) = kp + kq k(p - q) = kp kq, dengan p, q variabel dan k konstant Contoh : 1. (x + y) = 6x + y (5x y) = 0x 1y c. -(a 7) = -a + 1 5a(a b) = 5a 5ab ) Perkalian antara dua suku Perkalian antara dua suku bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif. Contoh : 1. (x + 5) ( x + ) = x(x + ) + 5(x + ) = 6x + 8x + 15x + 0 = 6x + x + 0 (y z) (8y 1) = y(8y 1) z(8y 1) = y y yz + z (a + b) (a + b 8) = a(a + b - 8) + b(a + b 8) = a + ab 8a + ab + b 8b = a + ab 8a 8b + b ) Perkalian istimewa Perkalian istimewa adalah perkalian yang hasil kalinya bersifat khusus. Beberapa perkalian istimewa : (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b c. (a + b) (a b) = a b (a + b) (a ab + b ) = a + b e. (a b) ((a + ab + b ) = a b Contoh : 1. Jabarkan! (y + ) = y +.y. + = y + y + (x ) = x +.x.(-) + (-) = x 6x + 9 c. (p + 8) (p 8) = p - 8 = p 6 (x + 5) (x 5) = (x) - 5 = 9x - 5 e. (k + ) (k k + 9) = k + = k + 7 f. (m ) (m +m + 16) = m - = m 6
1. Sederhanakan 5(x + y) -5(q r) c. -(-8h 5i) 6(-c d) e. 5(m n) f. (8a + 5) + (6a + 10) g. 5(7c ) 9(c ) h. 10(m + 5) - 8(5m + 6). Jabarkan! (x + ) (x + ) (x ) (x + 5) c. (a 1) (a + ) (5p + 7q) (p + q) e. (8c 5d) (-c + d) f. (5d e + ) (d + ) g. (1x + 5) (5x y 6) h. (m n 6)(m + n+8). Jabarkan! (x + ) (y 8) c. (a ) (15b + c) e. (p + 5q) f. (5mn pq) g. (6abc + 7def) h. (1x y 5x y ) PENDALAMAN MATERI OPERASI PERKALIAN BENTUK ALJABAR. Jabarkan bentuk aljabar berikut dalam bentuk perkalian istimewa! a 5 b 11 c. 169 c h e. d 81e f. 9m 5n g. 100x 81y h. 1p q 5r s 5. Jabarkan bentuk aljabar berikut dalam bentuk perkalian istimewa! j + 7 k 8 c. 6 m 1000 + n e. g + 16 f. h 79i g. 8a + 15b h. x y 6. Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk aljabar di bawah ini! (a + b) (5a + ab b ) c. (5x 1) (x ) (x + 5y) (x y) e. f. 11x p 1 y 1 p 5x 1 16p 1 y
7. Tentukan hasil perpangkatan di bawah ini! (a + 5) (x - 1) c. (x + y) 5 (a + b) 6 8. Jabarkan! (a + b + 5c) (c 6d + 10) c. (5m 7n k) (8x + 5y 1z) e. (6v + 5w + 1) (v w ) c. Pembagian bentuk aljabar Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagi merupakan suku satu maka hasil pembagian dapat ditentukan dengan cara seperti pembagian pada bilangan bulat, tetapi jika pembagi lebih dari satu suku maka dapat ditentukan dengan cara bersusun kebawah. Contoh: 1.5 Tentukan hasil bagi dari bentuk aljabar berikut! 18a : 9a b - b 1) : (b 1) Penyelesaian: 18a : 9a = a b - b 1) : (b 1) = b + 1 b +1 b 1 b b 1 b b b 1 b 1 0 PENDALAMAN MATERI OPERASI PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR 1. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini! 1a : 6 7b : 9b c. 0a b : ab 8c d : 8c d e. 8a b c : a bc f. m 8 n 7 : (6m n : 9mn) g. 100c 6 d 5 : (5c d : 9cd ) h. (18p 9 q 8 : p q) : (6p 8 q 5 : pq ) Ingat (a b : a c = a b c ) - -. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini! (g + g + 1) : (g + 1) (h + 8h + ) : (h + ) c. (i + 11i 6) : (i 1) (5j + 15j + j + 6) : (j + ) e. (6k 8k 15k + 0) : (k ) f. (-a + 11a a 15) : (5 x) g. (b b b + b) : (b + b) h. (x 1) : (x + 1) 5
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar 1. Bentuk ap + aq Bentuk ap + aq dapat difaktorkan menjadi: ap + aq = a(p + q) ap aq = a(p q) Contoh : 1.6 Faktorkan bentuk aljabar berikut ini x + y = (x + y) a + 6b 1c = (a + b c) c. 8ab + 1abc 0ac = a(b + bc 5c). Selisih kuadrat Misalkan : (x + y) (x y) = x(x y) + y(x y) = x xy + (yx) y = x y Jadi faktor dari : x y = (x + y) (x y) Contoh : 1.7 Faktorkan bentuk aljabar berikuk ini : x 81 = (x + 9) (x 9) 16a 5 = (a + 5) (a 5) c. x 9y = (x + 7y) (x 7y) a 98 = (16a 9) = (a + 7) (a 7) e. 16c 65d = (c + 5d ) (c - 5d ) = (c + 5d ) (c + 5d) (c 5d) PENDALAMAN MATERI 5 PEMFAKTORAN BENTUK (ap+ aq) = a(p + q) dan a b = (a + b) (a b) 1. Faktorkan! 15x + 0 6y 1 c. 15a + 1b 51 a + 0b 8 e. x xy + 0xz f. 5a b + 10ab g. 15cd 51c d + 6cd h. 1m n 16mn 9n. Faktorkan! x 5 x 5 c. 81y 1 169x 11y e. 9a b 5c d f. 5y z 9a b g. (a + b) c h. (c + d) d. Faktorkan bentuk aljabar berilkut ini : 18p 10p 0 c. 8p 50q 80p 7q e. 0p q 5x y f. a b - c d g. 1a b c 00 h. 0c d 15c d 6
. Bentuk Kuadrat Bentuk kuadrat ax + bx + c, a = 1 Karena nilai a = 1, maka bentuk ax + bx + c menjadi x + bx + c. Misalkan faktor dari : x + bx + c = (x + p) (x + q). Kita coba lakukan perkalian pada ruas kanan untuk mencari hubungan antara kedua ruas x + bx + c = (x + p) (x + q) = x(x + q) + p(x + q) = x + qx + px + pq = x + (p + q)x + pq. Maka terdapat hubungan b, c terhadap p dan q. b = p + q c = p x q, Dengan p dan q merupakan sembarang bilangan. Contoh : 1.8 Faktorkan! x + 5x + 6 y + y 5 Penyelesaian : Cara Tidak Langsung Cara Langsung Keterangan X + 5x + 6 = x + (x + x) + 6 x + 5x + 6 = (x + ) (x + ) b= 5 danc = 6 = (x + x + (x + 6) = (x + ) (x + ) = x(x + ) + (x + ) 6 =(x + ) (x + ) Jadi p =, q= y + y 5= y + (7y 5y) 5 = (y + 7y) (5y + 5) = y(y + 7) 5(y + 7) = (y 5y) (y + 7) y + y 5 = (y +7) (y 5) b=, c=-5 7-5 -5 Jadi p= 7, q= -5 Bentuk kuadrat ax + bx + c, a 1 Maka : Misalkan bentuk faktor dari : ax + bx + c = a 1 (ax + p) (ax + q). ax + bx + c = a 1 (ax + p) (ax + q). a x + abx + ac = (ax + p) (ax + q) kedua ruas dikalikan a = ax(ax + q) + p(ax + q) ruas kanan dilakukan perkalian = a x + qax + pax + pq = a x + (p + q) ax + pq Dari informasi diatas, hubungana,b, pd an q adalah : b = p + q ac = p x q, Dengan p dan q sembarang bilangan Contoh : 1. 9 Faktorkan : 8y + 10y + penyelesaian : Cara tidak lansung Cara langsung Keterangan 8y + 10y + = = 8y + (y + 6y) + = (8y + y) + (6y + ) = y(y + 1) + (y + 1) = (y + ) (y + 1) 8y + 10y + = = 8 1 (8y + ) (8y + 6) = 8 1.(y + 1). (y + ) = (y + 1) (y + ) B = 10 = p + q c = 8x = = pq p= dan 6 q= 6 7
PENDALAMAN MATERI 6 MATERI PEMFAKTORAN BENTUK x + bx + c dan ax + bx + c, dengan a 0 1. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. x + x + x + 8x + 1 c. y + y 8 y + 1y 51 e. p p 0 f. p 11p 60 g. k 9k + 60 h. k 68k + 56. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. h 8hj + 1j h 11hj + j c. a + 10ab + 5b a 1ab + 6b e. c - 1cd - 51d f. c + 0cd + 5d g. d 0de + 00e h. m + 16mn +6n. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. 10t + 17t + k + 7k c. 9a a + 16 1b 11b 5 e. 10c + 17c + f. 10d d + 1 g. g + 1g 6 h. g + 11g. Sederhanakan dalam bentuk faktorisasi. (x + x + 1) (9x 1x + ) (x 5xy y ) + (x xy y ) 5. Sederhanakan, kemudian faktorkan bentuk-bentuk berikut ini. (5x y) + 80x 16y + 6 9( x+ y ) 0x 10y + 5 6. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Tinggi bola (h meter) setelah t detik dinyatakan dengan rumus h = 8 + t t. Bila bola dilempar setelah 1,5 detik, tentukan tinggi bola! Jika h = 0, carilah nilai t! C. Pecahan Bentuk Aljabar 1. Operasi pecahan bentuk aljabar Penjumlahan dan pengurangan Dua pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan penjumlahan atau pengurangan apabila penyebutnya sam Jika penyebut-penyebut dari pecahan tersebut tidak sama, samakan penyebut dengan menggunakan faktor persekutuan terkeci (KPK). Contoh : 1.10 Sederhanakanlah! x 5x 7 1 5 a b 8
Penyelesaian : x 5x 1x 15x 9x 7 1 1 1 1 5 b 15a b15a a b 6ab 6ab 6ab Perkalian Perkalian pecahan bentuk aljabar mengikuti ketentuan : a x b Contoh : 1.11 c ac, dengan a dan b 0. d bd a b 6ab x 5 7 5 y 1 x 6y y 1 (ingat KPK (5 dan 7 adalah 5) y 1y 1 y 1 6y. x y 1 c. Pembagian Pembagian pecahan bentuk aljabar mengikuti ketentuan : a a 1 a :c x b b c bc b c ac a: ax c b b a c a d ad : x b d b c bc y Contoh : 1. 1 p: q p px q q 5a 10a6 5a 1a8 5a 7a : x x 1 7a 1a8 7a 10a6 7a 5a PENDALAMAN MATERI 7 OPERASI PECAHAN BENTUK ALJABAR (Evaluasi kemampuan pemahaman) 1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini! 8 a a d 1 d - 1 y y - 1 c. a 10 a 5 e. a a 1 a 1 9 x 5x x 5 x 8 9
. Sederhanakan perkalian pecahan dibawah ini. cd 16c c 8d a 6b b a 1 c. m mn m n m mn m n 1j j k k j k 6jk 8h h h 1 e. 9h h 1. Sederhanakan pembagian pecahan di bawah ini. c. e. ab b : 9a 18a 8a 7a b 16b : 9a a 9a 9a : 16a 5a 1c c d 8 c d : c c 18 c - q 18 70 q q q q : q q 5. Menyederhanakan pecahan Suatu pecahan a b a (pembilang) dan b (penyebut) adalah 1. Contoh : 1. 1 Sederhanakan pecahan berikut ini. x 6 x x 5x 6 Penyelesaian : x 6 x x. x x x 5x 6 x x x dapat dikatakan sederhana, apabila faktor persekutuan x. 10
PENDALAMAN MATERI 8 MENYEDERHANAKAN PECAHAN 1. Sederhanakanlah. c. e. 51x y 17xy 6x y 8xy xy 5x 10xy 10x 0y 18x 9xy x y 1x 18y 15xy 8x 1xy 10x y. Sederhanakan bentuk pecahan di bawah ini. c. e. x x x x 6x 5 x 1x 5 x 7x 6 6x 1x 1 x 7x x x 1 x 6x 6 x 6. Ubahlah pecahan bersusun dibawah ini ke dalam bentuk yang paling sederhan c. 1 1 a b a b b a a b b a 1 1 b a a b c b c a 1 1 b c a a 5 b 5b a 11