Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61

Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61

Garis singgung? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 61

Pendekatan dinamis Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 61

Gradien y = x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 6 / 61

Definisi turunan Definisi turunan Slope (kemiringan ) kurva y = f(x) di x = c adalah bilangan real f(x) f(c) f(c + h) f(c) m = lim = lim x c x c h 0 h (jika limit ini ada). Garis singgung kurva di (c, f(c)) adalah garis yang melalui titik (c, f(c)) dengan slope (gradien) m. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 8 / 61

Problem Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 1 x di titik (1, 1) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 61

Problem Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 1 x Solusi : di titik (1, 1) f(1+h) f(1) lim h 0 h = lim h 0 = lim h 0 1 1+h 1 1 h = lim h 0 1 1 (1+h) 1+h h 1+h = 1 = lim h 0 = lim h 0 1 1+h 1+h 1+h h h h(1+h) Jadi persamaan garisnya adalah y = ( 1)(x 1) + 1 = 2 x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 61

Problem Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 1 x Solusi : di titik (1, 1) f(1+h) f(1) lim h 0 h = lim h 0 = lim h 0 1 1+h 1 1 h = lim h 0 1 1 (1+h) 1+h h 1+h = 1 = lim h 0 = lim h 0 1 1+h 1+h 1+h h h h(1+h) Jadi persamaan garisnya adalah y = ( 1)(x 1) + 1 = 2 x Problem 2: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x 2 + 1 di (1,2). Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 61

Laju Sesaat Definisi Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), maka laju sesaat nya pada saat t = c adalah Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 10 / 61

Laju Sesaat Definisi Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), maka laju sesaat nya pada saat t = c adalah Gradien garis singgung dan laju sesaat melatarbelakangi suatu gagasan dasar : yaitu laju perubahan fungsi terhadap perubahan dalam domainnya. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 10 / 61

Laju sesaat Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 11 / 61

Turunan fungsi Definisi Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f dengan f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 12 / 61

Turunan fungsi Definisi Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f dengan f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Jika limit ada maka f dikatakan terturunkan/ dapat diturunkan (differentiable) di x. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 12 / 61

Turunan Sepihak Seperti halnya limit sepihak, karena turunan adalah limit yang khusus, maka kita juga dapat membangun konsep turunan sepihak : Definisi 1 Turunan kiri dari f(x) di c adalah jika limit ini ada. D x f(c) = lim h 0 f(c + h) f(c) h 2 Turunan kanan dari f(x) di c adalah jika limit ini ada. D + x f(c) = lim h 0 + f(c + h) f(c) h Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 13 / 61

Turunan Turunan f (c) ada jika dan hanya jika turunan kiri dan turunan kanan f(x) di c sama dan berhingga. f (c) ada D x f(c) = D + x f(c) (< ) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 14 / 61

Nonexistence of Derivatives 1 D x f(c) D + x f(c). Keduanya ada. 2 + = D x f(c) D + x f(c) = Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 15 / 61

Differentiability implies continuity f f(x) f(c) h=x c f(c + h) f(c) (c) = lim = lim x c x c h 0 h Differentiability implies Continuity : Jika suatu kurva y = f(x) mempunyai garis singgung di (c, f(c), maka kurva tersebut tidak akan meloncat atau berosilasi di c. Teorema Jika f (c) ada, maka f(x) kontinu di x = c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 16 / 61

Garis singgung Turunan Fungsi f(x) = 3 x mempunyai garis singgung (vertikal) di x = 0 sekalipun f (0) tidak ada. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 17 / 61

Turunan Fungsi nilai mutlak, f(x) = x, tidak mempunyai turunan di x = 0. h 0 lim h 0 + h = h 0 lim h 0 + h = 1 h 0 lim h 0 h = h 0 lim h 0 h = 1 Fungsi floor,f(x) = x, tidak mempunyai turunan di tiap bilangan bulat n+h n lim h 0 + h = n n lim h 0 + h = 0 n+h n lim h 0 h = n 1 n lim h 0 h = Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 18 / 61

Problem Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut : 1 f(x) = x 2 + 1 2 f(x) = 1 x 3 f(x) = x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 19 / 61

Notasi Leibniz Perubahan f(x) oleh karena x berubah menjadi x + x adalah Maka rasio perubahan adalah y = f(x + x) f(x) y f(x + x) f(x) = x x yang memberikan kemiringan garis secant yang melalui titik (x, f(x)) dan (x + x, f(x + x)). Kemiringan /slope/gradien garis singgung f(x) di x adalah dy dx = lim y x 0 x = lim f(x + x) f(x) = f (x) x 0 x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 20 / 61

Problem Tentukan manakah grafik fungsi f(x) dan manakah grafik turunannya f (x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 21 / 61

Answer Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 22 / 61

Aturan Turunan Menentukan turunan fungsi langsung melalui proses limit dalam definisi f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h biasanya tidak mudah dan memerlukan waktu. Maka akan ditentukan cara untuk memudahkannya sehingga proses penentuan menjadi sangat mudah dan cepat. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 24 / 61

Aturan Turunan 1. Turunan fungsi konstan : Jika f(x) = k fungsi konstan, maka f (x) = 0 f f(x + h) f(x) k k (x) = lim = lim h 0 h h 0 h 0 = lim h 0 h = 0 2. Turunan fungsi identitas: Jika f(x) = x, fungsi identitas, maka f (x) = 1 f f(x + h) f(x) x + h x h (x) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 61

Aturan Turunan 3. Turunan fungsi pangkat: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 26 / 61

Turunan Sebagai Operator Linear Karena turunan bekerja pada fungsi, maka untuk memudahkan diperkenalkan operator D x : Contoh: D x k = 0, D x x=1, D x f(x) = f (x) D x x n = nx n 1 Aturan Pangkat D x merupakan operator linear: D x (kf(x)) = kd x f(x) D x (f(x) + g(x)) = D x f(x) + D x g(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 28 / 61

Operator Linear 1. D x kf(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 29 / 61

Operator Linear 2. D x (f(x) + g(x)) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 30 / 61

Aturan Perkalian dan Pembagian Aturan Perkalian: Jika u dan v dapat diturunkan, maka atau (u v) = u (x) v(x) + v (x) u(x) D x (u v)(x) = (D x u(x)) v(x) + u(x) D x v(x) Aturan Pembagian: Jika u dan v dapat diturunkan dan v(x) 0, maka ( ) u (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) v v 2 (x) atau D x ( u v Aturan Pangkat ) (x) = (D xu(x)) v(x) u(x) D x v(x) v 2 (x) D x x n = nx n 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 31 / 61

Problems 1 Tentukan D x f(x) jika a. f(x) = (x 2 + 1)(x 1) b. f(x) = 3 x x 1 x 2 +1 c. f(x) = x2 +x+5 x 4 4x+8 2 Tentukan semua titik pada kurva y = x 3 x 2 dimana garis singgungnya mendatar. 3 Tentukan semua titik pada y = 100 dimana garis singgungya tegak x 5 lurus garis y = x. 4 Radius sebuah semangka tumbuh dengan laju 2cm/minggu. Tebal kulitnya selalu 1/9 radius. Tentukan laju pertumbuhan voume kulit pada minggu ke-5. Asumsikan r(0) = 0. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 61

D x sin(x) Misalkan f(x) = sin(x) f (x) = f(x+h) f(x) sin(x+h) sin(x) lim h 0 h = lim h 0 h = lim sin(x) cos(h)+cos(x) sin(h) sin(x) h 0 h [ sin(x) cos(h) sin(x) h + = lim h 0 = lim h 0 [ sin(x) ( ( = lim sin(x) lim h 0 h 0 ( = sin(x) lim h 0 cos(h) 1 h cos(h) 1 h cos(h) 1 h = sin(x) 0 + cos(x) 1 = cos(x). cos(x) sin(h) h ) ] + cos(x) sin(h) h ) sin(h) + lim cos(x) lim h 0 h 0 h ] ) sin(h) + cos(x) lim h 0 h Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 34 / 61

Turunan Fungsi Trigonometri Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan D x cos(x) = sin(x) D x tan(x) = sec 2 (x) D x cot(x) = csc 2 (x) D x sec(x) = sec(x) tan(x) D x csc(x) = csc(x) cot(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 61

Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 61

Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 y = sin 2 (x 3 ) ( ) 5 1+x g(x) = y = cos 2 (sin(x 2 + x 2)) 1 x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 61

Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 y = sin 2 (x 3 ) ( ) 5 1+x g(x) = y = cos 2 (sin(x 2 + x 2)) 1 x 2 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f(x) g(x) = f(g(x)). Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 61

Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 y = sin 2 (x 3 ) ( ) 5 1+x g(x) = y = cos 2 (sin(x 2 + x 2)) 1 x 2 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f(x) g(x) = f(g(x)). Misal pada f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 kita bisa tulis dalam bentuk y = f(u) = u 100 dengan u = 2x 2 + 5x + 6. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 61

Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 61

Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100., Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 61

Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 61

Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Jadi y = f(x) = f(u) = u 100 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 61

Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Jadi y = f(x) = f(u) = u 100 dy dx = dy du du dx = 100u99 (4x + 5), Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 61

Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Jadi y = f(x) = f(u) = u 100 atau dy dx = dy du du dx = 100u99 (4x + 5), dy dx = 100(2x2 + 5x + 6) 99 (4x + 5) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 61

Chain Rule Aturan Rantai (Chain Rule) Jika g fungsi terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di g(x), maka fungsi komposisi F = f g dengan F (x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x dengan F (x) = f (g(x)).g (x) dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dengan u = g(x) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka dy dx = dy du du dx Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 39 / 61

Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 61

Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Kemudian jika kita turunkan fungsi f (x) maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 61

Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Kemudian jika kita turunkan fungsi f (x) maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4,..., ke-n dari f. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 61

Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Kemudian jika kita turunkan fungsi f (x) maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4,..., ke-n dari f. Contoh: Jika f(x) = 2x 3 4x 2 + 7x 8 maka f (x) = 6x 2 8x + 7 f (x) = 12x 8 f (x) = 12 f (4) (x) = 0 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 61

Turunan Orde Tinggi Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f(x) ada tiga yaitu: f (x) D x y dy dx yang dinamakan dengan notasi aksen, notasi D, dan notasi Leibniz Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 42 / 61

Turunan Orde Tinggi Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f(x) ada tiga yaitu: f (x) D x y dy dx yang dinamakan dengan notasi aksen, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 42 / 61

Turunan Orde Tinggi Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f(x) ada tiga yaitu: f (x) D x y dy dx yang dinamakan dengan notasi aksen, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz. Notasi Leibniz untuk turunan ke-2, ke-3 dan seterusnya menggunakan fakta bahwa y = (y ) = dy dx = d ( dy ) dx dx = d2 y dx 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 42 / 61

Turunan Orde Tinggi Notasi Turunan y = f(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 43 / 61

Aplikasi dalam bidang Fisika Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 44 / 61

Turunan Implisit Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel y terpisah. Contoh atau secara umum y = f(x). y = x 3 + 1 atau y = sin(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 46 / 61

Turunan Implisit Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel y terpisah. Contoh atau secara umum y = f(x). y = x 3 + 1 atau y = sin(x) Akan tetapi ada fungsi-fungsi yang didefinisikan secara implisit, misalnya x 2 + y 2 = 25 atau x 3 + y 3 = 6xy Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 46 / 61

Turunan Implisit Pada persamaan x 2 + y 2 = 25 kita masih bisa nyatakan dalamabentuk eksplisit yaitu y = 25 x 2 atau y = 25 x 2 kemudian dicari turunan y. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 47 / 61

Turunan Implisit Namun pada persamaan x 3 + y 3 = 6xy kita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 48 / 61

Turunan Implisit Namun pada persamaan x 3 + y 3 = 6xy kita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas. Persamaan ini dinamakan Folium of Descartes yang grafiknya sebagai berikut Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 48 / 61

Turunan Implisit Untuk mencari dy dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 49 / 61

Turunan Implisit Untuk mencari dy dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit. Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f(x)). Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 49 / 61

Turunan Implisit Untuk mencari dy dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit. Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f(x)). Sehingga dy dx dari x2 + y 2 = 25 adalah x 2 + y 2 = 25 2x + 2y dy dx = 0 dy dx = x y Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 49 / 61

Turunan Implisit Hasil yang sama ditunjukkan apabila kita gunakan fungsi eksplisit y = 25 x 2 dy dx = 1 2x 2 25 x 2 dy dx = x y Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 61

Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 61

Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 61

Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx 3y 2 dy dy dx 6x dx = 6y 3x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 61

Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx 3y 2 dy dy dx 6x dx = 6y 3x 2 dy dx (3y2 6x) = 6y 3x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 61

Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx 3y 2 dy dy dx 6x dx = 6y 3x 2 dy dx (3y2 6x) = 6y 3x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika dy I 6y 3x 2 Semester I 2015 50 / 61

Related Rates Pada bagian ini akan dibahas mengenai permasalahan sehari-hari, yang dapat diselesaikan dengan turunan. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 52 / 61

Related Rates Sebagai contoh, apabila kita meniupkan udara kedalam balon, maka volume dan jari-jari balon akan berubah ( bertambah ) dan perubahan keduanya saling berkaitan, yakni volume berubah seiring dengan perubahan jari-jari, atau sebaliknya. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 52 / 61

Related Rates Permasalahan dalam Laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan suatu kuantitas yang diakibatkan oleh laju perubahan kuantitas yang lain. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 52 / 61

Related Rates Langkah pemecahan masalahnya adalah, pertama kita nyatakan hubungan suatu kuantitas dengan kuantitas yang lain, kemudian gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 52 / 61

Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 61

Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 61

Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 61

Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 61

Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt? Jawab : Volume bola adalah V = 4 3 πr3 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 61

Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt? Jawab : Volume bola adalah V = 4 3 πr3 jadi, dv dt = 4 3 π 3r2 dr dt Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 61

Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 54 / 61

Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat 100 = 4 3 π 3 (25)2 dr dt Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 54 / 61

Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat 100 = 4 3 π 3 (25)2 dr dt dr dt = 1 25π Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 54 / 61

Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat 100 = 4 3 π 3 (25)2 dr dt dr dt = 1 25π Jadi laju perubahan jari-jari bola adalah 1 25π cm/s. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 54 / 61

Related Rates Contoh 2: Sebuah tangga sepanjang 10 Ft bersandar pada suatu tembok vertikal. Apabila bagian bawah tangga bergeser menjauhi tembok dengan laju 1 Ft/s, tentukan seberapa cepat bagian atas tangga bergeser ke bawah ketika bagian bawah tangga berada 6 Ft dari dinding. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 55 / 61

Related Rates Contoh 3: Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik (lihat gambar) mempunyai jari-jari 2 m dan tinggi 4 m. JIka air dipompa masuk kedalam tangki dengan laju 2 m 3 /menit, tentukan laju perubahan tinggi air ketika ketinggian air dalam tangki 3 m. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 56 / 61

Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 57 / 61

Referensi [1] E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition, Singapore 2009. [2] J. Stewart Calculus: 7th Edition, Brooks Cole, New York 2011. [3] Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011. [4] R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, Boston USA 2009. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 61 / 61