PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN oleh KHUNTI QONAAH M0111048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016 i
perpustakaan.uns.ac.id ii
ABSTRAK Khunti Qonaah. 2016. PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Suatu graf sederhana G = (V (G), E(G)) memuat (a, d) H anti ajaib super, jika terdapat fungsi f : V (G) E(G) {1, 2,..., V (G) + E(G) }, sedemikian sehingga untuk setiap subgraf H dari G yang isomorfik dengan selimut H, bobot H adalah ω(h ) = v V (H ) f(v) + e E(H ) f(e) membentuk barisan aritmatika {a, a + d, a + 2d,..., a + (t 1)d} dengan a dan d adalah bilangan bulat positif dan t banyak subgraf dari G yang isomorfik dengan H. Kemudian graf G disebut (a, d) H anti ajaib super, jika f(v (G)) = {1, 2,..., V (G) }. Tujuan penelitian ini adalah menentukan pelabelan selimut (a, d) H anti ajaib super pada graf bunga matahari SF n, graf broken fan BF (m, n), dan graf generalized fan F m,n. Hasil dari penelitian ini diperoleh pelabelan ( 29 n + 9, 1) 2 C 3 anti ajaib super pada graf bunga matahari SF n dengan n genap 4, pelabelan (6(m + n) + 9, 1) C 3 anti ajaib super pada graf broken fan BF (m, n) dengan m 2 dan n 2, dan pelabelan ( 3mn + 9m + 11n + 5, 1) C 2 2 2 2 3 anti ajaib super untuk n ganjil dan ( 3mn + 4m + 11n + 3, 1) C 2 2 3 anti ajaib super untuk n genap pada graf generalized fan F m,n dengan m 3 dan n 2, serta pelabelan (mn + 9m + 11n + 7, 2) C 2 2 2 3 anti ajaib super untuk n genap dan (mn+ 9 11 m+ n+3, 2) C 2 2 3 anti ajaib super untuk n ganjil pada graf generalized fan F m,n dengan m ganjil 3 dan n 2. Kata kunci: (a, d) cycle-anti ajaib super, graf bunga matahari, graf broken fan, graf generalized fan iii
ABSTRACT Khunti Qonaah. 2016. SUPER (a, d) CY CLE ANTIMAGIC COVERING ON SUNFLOWER GRAPH, BROKEN FAN GRAPH, AND GENERALIZED FAN GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. A simple graph G = (V (G), E(G)) admits a super (a, d) H antimagic if there exists a function f : V (G) E(G) {1, 2,..., V (G) + E(G) }, such that for every subgraph H of G isomorphic to H, the H weight, ω(h ) = v V (H ) f(v) + e E(H ) f(e) constitutes an arithmatic progession {a, a + d, a + 2d,..., a+(t 1)d} where a and d are positive integers and t is the number of subgraphs G isomorfic to H. Furthermore, graph G is a super (a, d) H antimagic, if f(v (G)) = {1, 2,..., V (G) }. This research aims to find super (a, d) H antimagic covering on a sunflower graph SF n, a broken fan graph BF (m, n), and a generalized fan graph F m,n. The results of the research show that a sunflower graph SF n admits a super ( 29n+9, 1) C 2 3 antimagic for n even 4, a broken fan BF (m, n) admits a super (6(m+n)+9, 1) C 3 antimagic for m 2 and n 2, and a generalized fan graph F m,n for m 3 and n 2 admits a super ( 3mn+ 9m+ 11n+ 5, 1) C 2 2 2 2 3 antimagic for n odd and ( 3mn+4m+ 11n+3, 1) C 2 2 3 antimagic for n even, and a generalized fan graph F m,n for m odd 3 and n 2 admits a super (mn+ 9m+ 11n+ 7, 2) 2 2 2 C 3 antimagic for n even and super (mn + 9m + 11n + 3, 2) C 2 2 3 antimagic for n odd. Keywords: super (a, d) cycle-antimagic, sunflower graph, broken fan graph, generalized fan graph iv
PERSEMBAHAN Skripsi ini saya persembahkan kepada Bapak, Ibu dan kakak-kakakku atas doa, semangat, dan pengorbanan yang diberikan. v
KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-nya sehingga skripsi ini dapat selesai. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini mendapat bimbingan, dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Dra. Mania Roswitha, M.Si. sebagai Pembimbing I, yang telah memberikan bimbingan materi dan penulisan dalam skripsi ini, dan 2. Drs. Pangadi, M.Si. sebagai Pembimbing II, yang telah memberikan bimbingan, saran, dan masukan dalam penulisan skripsi ini. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Surakarta, Agustus 2016 Penulis vi
Daftar Isi HALAMAN JUDUL............................ i HALAMAN PENGESAHAN....................... iii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv PERSEMBAHAN.............................. v KATA PENGANTAR........................... vi DAFTAR ISI................................ viii DAFTAR GAMBAR............................ ix DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL.................... x I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang............................ 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Tujuan Penelitian........................... 3 1.4 Manfaat Penelitian.......................... 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Teori-teori Penunjang......................... 5 2.2.1 Graf.............................. 5 2.2.2 Operasi pada Graf...................... 7 2.2.3 Kelas-Kelas Graf....................... 8 2.2.4 Fungsi....... commit.... to. user................. 10 2.2.5 Graf Isomorfik......................... 11 vii
2.2.6 Pelabelan Graf........................ 11 2.2.7 Pelabelan Anti Ajaib..................... 12 2.2.8 Pelabelan Selimut Anti Ajaib................ 13 2.2.9 Multihimpunan k Seimbang................. 14 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 15 III METODE PENELITIAN 17 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 18 4.1 Lema-lema Pendukung........................ 18 4.2 Pelabelan (a, d) C 3 Anti Ajaib Super pada Graf Bunga Matahari SF n.................................. 19 4.3 Pelabelan (a, d) C 3 Anti Ajaib Super pada Graf Broken Fan BF (m, n)............................... 23 4.4 Pelabelan (a, d) C 3 Anti Ajaib Super pada Graf Generalized Fan F m,n.................................. 26 V Penutup 35 5.1 Kesimpulan.............................. 35 5.2 Saran.................................. 35 DAFTAR PUSTAKA 36 viii
Daftar Gambar 2.1 (a) Graf G dan (b) Subgraf dari graf G............... 6 2.2 Graf H................................. 6 2.3 Graf I................................. 7 2.4 Graf C 4 dan komplemennya C 4................... 7 2.5 Union dan join dari dua graf.................... 8 2.6 Graf bunga matahari SF 6...................... 9 2.7 Graf broken fan BF (2, 3)....................... 9 2.8 Graf generalized fan F 3,2....................... 10 2.9 Graf G 1 isomorfik dengan graf G 2.................. 11 2.10 Pelabelan pada graf C 4........................ 12 4.1 (125, 1) C 3 anti ajaib super pada graf SF 8............ 23 4.2 (81, 1) C 3 anti ajaib super pada graf BF (5, 7)......... 26 4.3 (114, 1) C 3 anti ajaib super pada graf F 7,5............ 30 4.4 (97, 2) C 3 anti ajaib super pada graf F 7,5............ 34 ix
Daftar Notasi dan Simbol G : graf G G = (V, E) : graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E V (G) : himpunan titik dari graf G V (G) : order atau banyaknya titik dari graf G E(G) : himpunan sisi dari graf G E(G) : size atau banyaknya sisi dari graf G H : suatu selimut dari graf G H : suatu subgraf dari G yang isomorfik dengan selimut H H 1,..., H k : keluarga subgraf-subgraf G yang berbeda m(f) : jumlah ajaib dari bobot suatu selimut C n : graf cycle dengan order n SF n : graf bunga matahari dengan order 2n + 1 BF (m, n) : graf broken fan dengan order m + n + 1 K m : graf lengkap dengan order m P n : graf lintasan dengan order n F m,n : graf generalized fan dengan order m + n W n : graf roda dengan order n + 1 u, v : titik e, uv : sisi G : komplemen dari graf G A B : operasi gabungan himpunan A dan himpunan B A + B : join dari graf A dengan graf B A B : hasil kali dari graf A dengan graf B A B : operasi gabungan multihimpunan A dengan B k i=1 X i : operasi gabungan multihimpunan X 1 X 2... X k : untuk setiap : terdapat x
X : banyaknya elemen dari himpunan X X : jumlahan semua elemen dari himpunan X f : A B : fungsi dari himpunan A ke himpunan B G 1 = G2 : graf G 1 isomorfik dengan graf G 2 [a, b] : himpuan bilangan bulat positif mulai dari a sampai dengan b mod : operasi modulo : akhir bukti xi