DAFTAR ISI. LEMBAR JUDUL... i. LEMBAR PERSEMBAHAN... ii. LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR... iv. ABSTRAK...v. ABSTRACT... vi. KATA PENGANTAR...

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "DAFTAR ISI. LEMBAR JUDUL... i. LEMBAR PERSEMBAHAN... ii. LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR... iv. ABSTRAK...v. ABSTRACT... vi. KATA PENGANTAR..."

Djaja Sudjarwadi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 DAFTAR ISI LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERSEMBAHAN... ii LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR... iv ABSTRAK...v ABSTRACT... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR GAMBAR...x DAFTAR LAMBANG DAN ISTILAH... xii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Ruang Lingkup dan Batasan Masalah...4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Graph Operasi pada Graph Fungsi Graph Isomorfik Graph Pohon Graph Lobster Graph Kelelawar...15 viii

2 2.8 Pelabelan Graph Multihimpunan k-seimbang Multi himpunan (k, δ)-anti seimbang...19 BAB III METODE PENELITIAN...21 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Multi himpunan k-seimbang Multi himpunan k, δ-anti seimbang Pelabelan Selimut Total Super a, d L2(q, r) antimagic pada Graph Lobster Ln(q, r) Pelabelan Selimut Total Super a, d Bat1 antimagic pada Graph Kelelawar Batn...45 BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran...60 DAFTAR PUSTAKA...61 ix

3 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 G(V, E)...6 Gambar 2.2 (Chartrand and Lesniak,1996) Graph G yang memuat path, trail, walk, dan cycle...7 Gambar 2.3 (i) Walk W = (v1, v5, v6, v5, v4, v3), (ii) Trail T = (v1, v6, v5, v4, v6, v2), (iii) Path P = (v1, v5, v4, v3, v2), (iv) Cycle C = (v1, v4, v3, v2, v1)...8 Gambar 2.4 (i) Graph tidak terhubung dan (ii) Graph terhubung...9 Gambar 2.5 (Chartrand and Lesniak,1996) Graph G merupakan komplemen dari graph G...10 Gambar 2.6 (Chartrand and Lesniak,1996) (a) Union graph (P2 + P3); (b) Join graph (P2 P3) ; (c) Cartesian Product graph (P2 P3) Gambar 2.7 (Chartrand and Lesniak,1996) Graph G1 dan G2 yang isomorfik...12 Gambar 2.8 (Gumilar,2013) Graph lobster dengan jarak maksimum t = Gambar 2.9 (Gumilar,2013) Graph Lobster L 3 (2; 4)...14 Gambar 2.10 (Mukhlis, 2012) Graph Kelelawar Bat Gambar 4.1 Graf lobster L 3 (q, r), dengan dua subgraph yang isomorfik terhadap selimut L 2 (q, r)..30 Gambar 4.2 Graf lobster L 3 (q, r), dengan tiga subgraph yang isomorfik terhadap selimut L 2 (q, r)...31 Gambar 4.3 Pelabelan selimut total super 704, 473 L 2 (2,4) antimagic pada graph lobster L 3 (2,4)...38 Gambar 4.4 Pelabelan selimut total super 6874,1 L 2 (4,5) antimagic pada graph lobster L 4 (4,5)...46 Gambar 4.5 Graf Bat 2 memiliki dua subgraph yang isomorfik terhadap selimut Bat Gambar 4.6 Graf Bat 3 memiliki tiga subgraph yang isomorfik terhadap selimut Bat Gambar 4.7 Pelabelan selimut total super 298, 352 Bat 1 antimagic pada graph kelelawar Bat x

4 Gambar 4.8 Pelabelan selimut total super 1002, 4 Bat 1 antimagic pada graph kelelawar Bat Gambar 5. 1 Pelabelan selimut total super 6876,3 L 2 (4,5) antimagic pada graf lobster L 4 (4,5) Gambar 5. 2 Pelabelan selimut total super 1004, 6 Bat 1 antimagic pada graf kelelawar Bat Gambar 5. 3 Pelabelan selimut total super 1006, 8 Bat 1 antimagic pada graf kelelawar Bat Gambar 5. 4 Pelabelan selimut total super 1008, 10 Bat 1 antimagic pada graf kelelawar Bat xi

5 DAFTAR LAMBANG DAN ISTILAH LAMBANG ARTI G V(G) E(G) V(G) E(G) G V(H) V(G) v V(G) Bat n L n (q, r) t n q r b h Graph G Himpunan vertex-vertex pada graph G Himpunan edge-edge pada graph G Banyaknya anggota himpunan V(G) Banyaknya anggota himpunan E(G) Komplemen dari graph G V(H) himpunan bagian dari V(G) Vertex v anggota dari V(G) Graph Kelelawar Graph Lobster teratur Panjang maksimum suatu vertex dari vertex lintasan utama Banyak vertex pada lintasan utama Banyak vertex berjarak satu dari vertex lintasan utama Banyak vertex berjarak dua dari vertex lintasan utama Label vertex pada lintasan utama Label vertex berjarak satu dari vertex lintasan utama xii

6 xiii f w(h) A B λ(v i ) d [a, b] Label vertex berjarak dua dari vertex lintasan utama Bobot graph H Himpunan A multi himpunan gabungan dengan himpunan B Pelabelan dari vertex v i Batas atas suatu pelabelan selimut total super (a, d) H antimagic Himpunan yang memuat x bilangan bulat dengan a x b Akhir suatu bukti

7 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graph merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang dapat diaplikasikan ke dalam berbagai bidang ilmu, diantaranya pada bidang teknologi informasi dan komunikasi, kimia dan biologi. Salah satu materi dalam teori graph yang sering dibahas dewasa ini adalah tentang pelabelan graph. Pelabelan graph sudah pernah diterapkan pada Mobile Adhoc Networks (MANETS), pengamanan dan routing otomatis pada jaringan, X-Ray Crystallographic analysis, Design Communication Network addressing Systems, menentukan Optimal Circuit Layouts dan Radio-Astronomy (Prasanna, 2014), coding theory, radar (Hegde, 2012), penyusunan chipertext (kode) dalam kriptographi (Azizah et al., 2015), serta beberapa bidang lainnya. Pelabelan graph merupakan suatu pemetaan dari elemen graph ke bilangan bulat positif atau non negatif. Pada umumnya domain (daerah asal) dari pelabelan adalah himpunan sisi dan titik (disebut pelabelan total), himpunan titik saja (pelabelan titik), atau himpunan sisi (pelabelan sisi) (Wailis, 2001). Terdapat dua jenis pelabelan graph, yaitu pelabelan magic dan antimagic. Sebuah graph dengan q sisi disebut graph antimagic apabila semua sisi dilabeli dengan bilangan positif 1, 2,, q tanpa pengulangan, sedemikian sehingga bobot setiap titiknya berbeda (Hartsfield, 1990). Salah satu jenis dari pelabelan graph yang baru-baru ini sering diteliti adalah pelabelan selimut. 1

8 2 Pelabelan selimut pertama kali diperkenalkan oleh Gutiérrez dan Lladó pada tahun Untuk graph sederhana H, graph G(V, E) dikatakan mengandung H- covering apabila setiap sisi pada E(G) yang merupakan subgraph dari G, isomorfik terhadap H. Selain itu, Bodendiek dan Walther (1993) mendefinisikan pelabelan (a, d)- antimagic. Graph terhubung G (V: E) dikatakan graph (a, d)- antimagic apabila terdapat bilangan bulat positif a, d dan fungsi bijektif f: E(G) {1, 2, 3,, E(G) } sedemikian sehingga terdapat pemetaan injektif g f : V N yang didefinisikan sebagai g f (v) = {f(uv) uv E(G)} dengan g f (V) = {a, a + d,, ( V 1)d} (Gutiérrez, 2005). Inayah et al (2009) kemudian mendefinisikan pelabelan selimut total (a, d) H antimagic dari graph G merupakan fungsi bijektif ξ dari V E ke {1,2,, V + E } untuk semua subgraph H yang isomorfik terhadap H, dengan bobot-h yang dirumuskan sebagai w(h ) = ξ(v) + ξ(e) v V(H ) e V(H ) Pelabelan ini membentuk barisan aritmetika a, a + d, a + 2d,, a + (t 1)d dengan a dan d merupakan bilangan bulat positif dan t adalah banyak subgraph G yang isomorfik dengan H. Pelabelan ξ disebut sebagai pelabelan total super (a, d) H antimagic apabila ξ(v) = {1, 2,, V } (Gallian, 2015). Beberapa penelitian mengenai pelabelan selimut total super (a, d) H antimagic telah cukup banyak dibahas dengan berbagai macam graph. Pada tahun 2014, Fetty Kurnita Sari melabelkan untuk graph pohon pisang, kembang api, dan buku. Pada tahun yang sama, Nur Asia Jamil memberikan label pada graph

9 3 triangular ladder tunggal L n dan gabungan saling lepas graph triangular ladder ml n. Kathiresan et al (2015) juga melakukan pelabelan yang sama pada Star Related Graphs, dalam penelitian ini graph yang digunakan adalah graph Bintang S n dan graph Caterpillar. Dari beberapa penelitian yang telah dilakukan mengenai pelabelan selimut total super (a, d) H antimagic, belum ditemukan penelitian yang membahas tentang graph Lobster dan graph Kelelawar. Graph Lobster merupakan graph pohon yang setiap vertexnya memiliki jarak maksimum t terhadap lintasan utama, dengan t adalah suatu bilangan bulat positif (Khan et al, 2009). Jarak dalam hal ini diartikan sebagai banyaknya edge yang menghubungkan suatu vertex dengan vertex pada lintasan utama (backbone). Graph kelelawar adalah suatu graph baru yang belum memiliki famili graph (Mukhlis, 2012). Dengan mengacu pada penelitian serupa dengan beberapa graph yang relevan serta untuk lebih mengembangkan penelitian mengenai pelabelan selimut total super (a, d) H antimagic, akan dilakukan penelitian untuk menentukan pelabelan selimut total super (a, d) H antimagic pada graph Lobster beraturan L n (q, r) dan graph Kelelawar(Bat n ). 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang permasalahan, rumusan masalah dari penelitian ini adalah mengetahui bagaimana hasil pelabelan selimut total super (a,d)-h antimagic pada Graph Lobster beraturan L n (q, r) dan Graph Kelelawar(Bat n ).

10 4 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui hasil pelabelan selimut total super (a, d) H antimagic pada graph Lobster beraturan L n (q, r) dan graph Kelelawar (Bat n ). 1.4 Ruang Lingkup dan Batasan Masalah Guna membatasi masalah agar tidak terlalu luas, dalam penelitian ini penulis memberikan batasan masalah sebagai berikut : 1. Graph L 2 (q, r) akan digunakan sebagai selimut untuk pelabelan graph Lobster beraturan L n (q, r) dan graph Bat 1 sebagai selimut untuk pelabelan graph Kelelawar (Bat n ). 2. Graph Lobster L n (q, r) yang akan dilabeli memiliki jarak maksimum t = 2.

dokumen-dokumen yang mirip

E-Jurnal Matematika Vol. 6 (2), Mei 2017, pp. 143-151 ISSN: 2303-1751 PELABELAN SELIMUT TOTAL SUPER (a,d)-h ANTIMAGIC PADA GRAPH LOBSTER BERATURAN Tira Catur Rosalia 1, Luh Putu Ida Harini 2, Kartika Sari