oki neswan (fmipa-itb) Deret Taylor Sebelumnya kita telah melihat bagaimana sebuah deret pangkat membangkitkan sebuah fungsi dengan domain merupakan interval kekonvergenan deret pangat tersebut. Sekarang kita melakukan hal sebaliknya. Jika f (x) fungsi, maka ada dua pertanyaan yang ingin dijawab. apakah ada deret pangkat yang membangkitkan f (x)?. jika ada, (a) apakah ada cara menentukan deret pangkat tersebut? (b) apakah deret pangkat konvergen pada seluruh domain f? Deret pangkat tersebut disebut representasi dari f (x) dalam bentuk deret pangkat. Salah satu tujuan representasi sebuah fungsi dalam bentuk deret pangkat adalah untuk menghampiri fungsi dengan polinom, tidak hanya menghampiri, kita juga ingin tahu akurasi hampiran tersebut. Turunan ke n fungsi f ditulis sebagai f (n) (x) Misalkan f (x) mempunyai representasi deret pangkat, f (x) = X c n (x a) n = c 0 + c (x a) + c (x a) + c (x a) + n=0 dengan radius kekonvergenan positif. Maka, dengan menggunakan teorema turunan deret pangkat, Jadi, Secara umum, f 0 (x) = c + c (x a) + c (x a) + c (x a) + f 00 (x) =!c +!c (x a) + c (x a) + 5!c 5 (x a) + f 000 (x) =!c +!c (x a) + 5c 5 (x a) +. f (n) (x) = c n + (n + )!c n+ (x a) + (n + ) c n+ (x a) + f (a) = c 0 ; f 0 (a) = c ; f 00 (a) =!c ; f () (a) =!c ; ; f (n) (a) = c n ; c n = f (n) (a) Jika f mempunyai representasi deret pangkat, maka f (a) + f 0 (a)! (x a) + f 000 (a)! (x a) + salah satu alternatif representasi deret pangkat dari f Ternyata tidak ada bentuk lain selain yang di atas. Theorem (Ketunggalan) Jika f (x) = c 0 + c (x a) + c (x a) + c (x a) + untuk semua x dalam interval buka yang memuat a; maka c n = f (n) (a)
De nition Misalkan f (x) mempunyai turunan ke n untuk tiap n = ; ; ; pada suatu interval buka yang memuat a Maka deret pangkat X k=0 f (k) (a) k! (x ) k = f (a) + f 0 (a)! (x a) + f 000 (a)! (x a) + + f (n) (0) (x a) n + disebut deret Taylor yang dibangkitkan oleh f di x = a Deret Taylor yang dibangkitkan oleh f di x = 0 disebut deret Maclaurin yang dibangkitkan oleh f; f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0) x! x + f 000 (0)! x + + f (n) (0) x n + Theorem (Teorema Taylor) Jika f (n+) (x) ada pada suatu interval buka J yang memuat a; maka untuk tiap x J; terdapat c antara a dan x sehingga f (x) = f (a)+ f 0 (a) (x a)+ f 00 (a)! (x a) + f 000 (a)! (x a) + + f (n) (x) dengan R n (x) = f (n+) (c) (n+)! (x a) n+ disebut suku sisa atau galat hampiran. f (x) = P n (x) + R n (x) (x a) n + f (n+) (c) (n + )! (x a) n+ Theorem (Teorema Estimasi Suku Sisa) Jika terdapat M sehingga f (n+) (s) M untuk tiap s antara x dan a; maka suku sisa R n (x) memenuhi hubungan Polinom P n (x) = f (a) + f 0 (a)! ajn+ jr n (x)j M jx (n + )! (x a) + f 000 (a)! (x a) + + f (n) (x) (x a) n pada teorema di atas disebut polinom Taylor orde n dari f berpusat di a Akurasi hampiran f (x) oleh P n (x) diberikan Teorema Estimasi Suku Sisa. Perhatikan bahwa untuk n = 0; f (x) = f (a) + f 0 (c) (x a) yang tidak lain adalah Teorema Nilai Rata-rata. Jadi, Teorema Taylor dapat dipandang sebagai perumuman dari Teorema Nilai Rata-rata. Hubungan f (x) = f (a) + f 0 (c) (x a) dapat dipandang menyatakan jika nilai f (x) dihampiri oleh fungsi konstan f (a) ; maka galatnya adalah f 0 (c) (x a) Sebagai contoh untuk n = dan n =. Dari hubungan () ; kita peroleh untuk n = ; f (x) = f (a) + f 0 (a) (x a) + f 00 (c)! (x a) Artinya, jika f (x) dihampiri oleh fungsi linear P (x) = f (a) + f 0 (a) (x a) ; maka errornya adalah f (x) f (a) + f 0 (a) (x a) = f 00 (c)! (x a) = jr (x)j. Selanjutnya, untuk n = ; f (x) = f (a) + f 0 (a)! (x a) + f 000 (c)! (x a) ; yang berarti jika f (x) dihampiri oleh fungsi kudratik P (x) = f (a) + f 0 (a)! (x a) ; maka errornya adalah f (x) f (a) + f 0 (a) (x a) + f 00 (a) (x a) = f 0000 (c)! (x a) = jr (x)j! ()
Secara umum, R n (x) = f (n+) (c) (n + )! (x a) n+ ; untuk suatu c antara x dan a adalah error atau galat yang terjadi, bila f (x) dihampiri oleh polinom Taylor orde n; P n (x) ; P n (x) = f (a) + f 0 (a)! (x a) + f 000 (a)! (x a) + + f (n) (x) Contoh Tentukan deret Maclaurin dari f (x) = x tan x Karena tan x x = x maka f (x) = x tan x = x x 5 + x7 x 9 5 7 + = X( ) j+ n + xn+ j=0 + x5 5 (x a) n x 7 7 + ; Latihan Tentukan deret Maclaurin untuk f (x) = cos x Terdapat dua cara () mengalikan deret pangkat sin x; yang kurang praktis, dan () gunakan identitas cos x = + cos x Contoh Tentukan deret Maclaurin dan deret Taylor (berpusat di x = ) dari f (x) = x x Untuk deret Maclaurin Jadi, f (x) = + x + x x + x x x = (x x) = + x + x! + x + x + x x = x + x x + x x + x 5 = x + x x + x + x x 6 + 6x 5 + x + 8x x 8 + 8x 7 + x 6 + x 5 + 6x 5 = + x + x 8 + 9 9 7 x 6 + 5 x + = 9 x 7 0 6 7 x 8 x x Deret Maclaurin konvergen untuk x x < atau < x x < x x < 0 dan x x + > 0 Karena x x + mempunyai diskriminan < 0 dan membuka ke atas, maka x x + > 0 untuk tiap x Jadi, cukup diperhatikan syarat x x < 0 yang setelah difaktorkan menjadi (x + ) (x ) < 0; yaitu < x < Untuk deret Taylor, diperlukan sedikit modi kasi sebagai berikut. x x = (x ) = x Maka, deret Taylor dari f (x) berpusat di adalah f (x) = = X k x = x = (x ) k=0 (x ) 6 (x ) 6 8 + X k=0 (x ) k k+
dengan syarat jx j < atau jx j < ; yaitu < x < Remark 5 (Hampiran Lokal) Polinom Taylor sekitar x = a memberikan hampiran fungsi secara lokal disekitar x = a Latihan Berikan hampiran sin 8 dengan kesaahan tak lebih dari 0 Karena 8 lebih dekat ke dibandingkan 0; maka akan digunakan polinom Taylor dengan pusat a = sin (n+) (c) jr n (8)j = (n + )! 8 n+ untuk suatu c antara 8 dan Untuk tiap m; sin (m) x adalah sin x atau cos x Jadi, sin (m) x untuk tiap x Maka karena sin (n+) (c) jr n (8)j = (n + )! 8 n+ 8 n+ (n + )! < 9 0 n+ (n + )! 9 0! 9 0! = 0000 5 > 0 = 656 0 8 < 7000 5 0 8 = 80 0 8 = 8 0 6 < 0 Maka dipilih n = = Bangun polinom Taylor P (x) dengan a = Maka P (x) = + (x ) f = ; f 0 = cos = 0; f 00 = sin = ; ; f () = cos = 0! Karena c = 0; maka sesungguhnya P (x) = P (x) Akibatnya menggunakan P (x) sama dengan menggunakan P (x) Maka agar akurasi lebih terjamin kita gunakan P (x) P (x) = + x x!! Jadi, sin (8) P (8) = + 8! sin (8) 0996 6 609 6 8! Catatan sin 8 P 55 0 6 sin (8) P 6687 0 0
Apabila kita menggunakan polinom Maclaurin, a = 0; maka suku sisa adalah R n (x) = f n+ (c)(8 0) n+ ; c diantara 0 dan 8 Karena f n+ (c) jr n (x)j j8jn+ (n + )! Untuk mencapai batas 0 ; diperlukan n = Jadi, jauh lebih e sien menggunakan polinom Taylor dengan a = ; karena lebih dekat ke 8 x Contoh Tentukan semua nilai x sehingga sin x dapat dihampiri oleh P (x) = x! dengan kesalahan tak lebih dari 0 Karena deret Maclaurin sin x merupakan deret berganti tanda, maka jsin x P (x)j = jsin x P (x)j jxj5 5! (n+)! Maka kesalahan jsin x P (x)j tak lebih dari 0 ; jika jxj 5 5! < 0 atau jxj < 5p 5! 0 05 5 079 Latihan Beri hampiran dari R 0 e( x ) dx dengan kesalahan tak lebih dari 00 Latihan Beri hampiran dari R 0 cos x dx dengan kesalahan tak lebih dari 0000 Beberapa Polinom Taylor fungsi f (x) = sin x 5
6