Teori Himpunan 2
Himpunan Bagian ( Subset ) 1. Jika dan hanya jika setiap anggotanya merupakan anggota himpunan lain 2. Dituliskan dg simbol Contoh pabila himp merupakan himpunan bagian dari himp B maka B {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan Bagian ( Subset ) 3. Suatu himpunan merupakan anggota himpunan dari himpunan itu sendiri {1, 2, 3 } {1, 2, 3} 4. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan
Himpunan Bagian ( Subset ) dan, maka dan disebut himpunan bagian tidak sebenarnya (improper subset) dari himpunan
Himpunan Bagian ( Subset ) Dengan logical connectives : ( B) ( x x B)
Himpunan Bagian ( Subset ) Diagram Venn B U B Himp B merupakan superset dari himp
Himpunan yg Sama 1. Jika dan hanya jika setiap anggota merupakan anggota B dan setiap anggota B merupakan anggota = B B dan B Contoh = {1, 2, 3, 4} dan B = {x x N, x < 5} maka = B
Himpunan yg Sama 2. Urutan anggota tidak diperhitungkan Contoh {1, 2, 3, 4} = {4, 2, 1, 3} 3. Pengulangan anggota tidak mempengaruhi kesamaan himpunan Contoh {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 2, 1, 3, 4}
Himpunan yg Sama 4. Berlaku aksioma berikut Jika = B, maka B = Jika = B dan B = C, maka = C 5. Dalam logical connectives berlaku ( = B) ( x x B)
Himpunan yg Sama 6. Menggunakan relasi Ssubset, himpunan yang sama dapat dituliskan sebagai : ( ) ( ) B B B = 7. Dapat dibuktikan : ( ) ( ) ( ) ( ) B B x B x B x x B x x B =
Himpunan yg Ekivalen Jika dan hanya jika kedua himpunan memiliki kardinal yang sama ~ B = B Contoh {1, 2, 3, 4} ~ {0, 1, 2, 3}
Himpunan Saling Lepas ( disjoint ) 1. Jika dan hanya jika kedua himpunan tidak memiliki satupun anggota yang sama 2. Dituliskan dg simbol // Contoh pabila himp disjoint himp B maka // B {1, 2, 3, 4} // {8, 7, 9, 5} Himp. TI // Himp. TE // Himp. TS
Himpunan Saling Lepas ( disjoint ) Diagram Venn Himp. TI // Himp. TE // Himp. TS U TI TE TS
Himpunan Kuasa ( power set ) Himpunan kuasa dari himp. adalah suatu himp. yg anggotanya merupakan himpunan bagian dari, termasuk himp. kosong dan himp. sendiri Contoh pabila = { 1, 2 } maka P () = {, {1}, {2}, {1, 2}} Jumlah anggota P () = 2
Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Irisan dari himp. dan B adalah himpunan yg setiap anggotanya merupakan anggota dari himp. dan B B = { x x dan x B} Dengan logical connectives : x ( B ) (x ) (x B)
Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Contoh 1. Jika = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} maka B = {1, 4} 2. Jika = { x x Z, x < 7 } dan B = { x x N } maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Contoh 3. Jika = {Jengkol, Kangkung, Telo} dan B = {x x Mahasiswa Informatika} maka B = {} = artinya // B
Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Dalam diagram Venn = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} U B 2 3 1 4 5 B
Operasi Himpunan Gabungan (Union) Union dari himp. dan B adalah himpunan yg setiap anggotanya merupakan anggota dari himp. atau B B = { x x atau x B} Dengan logical connectives : x ( B) ( x ) ( x B)
Operasi Himpunan Gabungan (Union) Contoh 1. Jika = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} maka B = {1, 2, 3, 4, 5} 2. Jika = { x x Z, x < 7 } dan B = { x x N } maka B = {, -2, -1, 0, 1, 2, }
Operasi Himpunan Gabungan (Union) Dalam diagram Venn = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} U B 2 3 1 4 5 B
Operasi Himpunan Komplemen Komplemen dari himp. thd himp. semesta U adalah himp. yg setiap anggotanya adalah anggota U dan bukan anggota = { x x U dan x } x ~ ( x )
Operasi Himpunan Komplemen Contoh Misal U = {1, 2, 20} 1. Jika = {1, 2, 15} maka = {16, 17, 18, 19, 20} 2. Jika = { x x Z, x > 6 } maka = {,1, 2, 3, 4, 5, 6}
Operasi Himpunan Komplemen Dalam diagram Venn U
Operasi Himpunan Soal Misal = Himp semua mhs teknik informatika B = Himp semua mhs teknik elektronika C = Himp semua mhs angkatan th 2002 D = Himp semua mhs dng IP < 2.00 E = Himp semua mahasiswa teknik Himp mhs dari teknik informatika atau teknik elektronika maka ( E ) ( E B ) atau E ( B )
Operasi Himpunan Soal Misal = Himp semua mhs teknik informatika B = Himp semua mhs teknik elektronika C = Himp semua mhs angkatan th 2002 D = Himp semua mhs dng IP < 2.00 E = Himp semua mahasiswa teknik Himp mhs dari teknik informatika atau teknik elektronika angkatan th 2002 yg memiliki IP < 2.00 maka E ( B ) C D
Operasi Himpunan Soal Misal = Himp semua mhs teknik informatika B = Himp semua mhs teknik elektronika C = Himp semua mhs angkatan th 2002 D = Himp semua mhs dng IP < 2.00 E = Himp semua mahasiswa teknik Himp mhs teknik, bukan mahasiswa teknik informatika angkt. th 2002 yg memiliki IP >= 2.00 maka E ( C D)