BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015

KATA PENGANTAR ب س م االله الر ح م ن الر ح ي م Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-nya yang begitu melimpah. Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam. Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Strategi Pembuktian, Keterbagian, Algoritma Pembagian, Kongruensi dan Sistem Residu. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam pembelajaran Teori Bilangan bagi mahasiswa Pendidikan Matematika Metro, September 2015 Penyusun

BAB I STRATEGI PEMBUKTIAN Teknik Pembuktian: 1. Pembuktian Langsung 2. Pembuktian Tidak Langsung 2.1 Pembuktian dengan kontraposisi 2.2 Pembuktian dengan kontradiksi 3. Induksi Matematika Teknik Pembuktian Langsung: Misalkan P dan Q merupakan pernyataan-pernyataan. Pernyataan bahwa P dapat mengambil pernyatan P sebagai pernyataan yang diketahui dan pernyataan Q yang akan dibuktikan. Contoh: Jika n suatu bilangan bulat genap, maka suatu bilangan bulat genap! Misalkan n bulat genap, yaitu n = 2k, maka = = karena k bilangan bulat, maka bilangan bulat. Pembuktian Tidak Langsung: Ada 2 tipe dasar dari pembuktian tidak langsung, yaitu : pembuktian dengan kontraposisi dan pembuktian dengan kontradiksi. 1. Pembuktian dengan kontraposisi Dalam pembuktian P kita akan membuktikan dengan kontraposisinya yaitu:

Contoh: Jika n suatu bilangan bulat, dan adalah ganjil, maka n adalah ganjil! Akan dibuktikan denga kontraposisi, Andaikan n bukan ganjil, maka n genap yaitu n = 2p Maka = = Karena n genap, maka juga genap. Sehingga terbukti bahwa bukan ganjil. II. Pembuktian dengan kontradiksi Metode pembuktian ini menggunakan pernyataan bahwa jika C suatu kontradiksi, maka pernyataan ekuivalen dengan P Contoh: Misalkan a > 0 merupakan bilangan real. Jika a > 0, maka > 0! Andaikan < 0, maka bernilai negatif. Karena 1 positif, maka a bernilai negatif. Dengan kata lain, a < 0 Maka kontradiksi dengan a > 0. Induksi Matematika: Induksi matematika merupakan metode yang digunakan untuk membangun kevalidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli. Prinsip induksi matematika menyatakan bahwa: Misalkan yang mempunyai sifat-sifat : (1)

(2) K, maka k + 1 Contoh: Buktikan + + + n = n + n! Untuk n = 1, maka 2 n = n (1 + n) 2. 1 = 1 (1 + 1) 2 = 2 (terbukti) Selanjutnya, asumsikan benar untuk n = k, maka + + + k = k + k Maka akan dibuktikan benar untuk n = k + 1, bukti: + + + k + k + = k + k + k + = k + + 2k + 2 = + 3k + 2 = (k + 1) (k + 2) = (k + 1)[ + k + ] Sehingga terbukti bahwa : + + + n = n + n

KETERBAGIAN DEFINISI Suatu bilangan bulat b adalah habis dibagi oleh suatu bilangan bulat jika = dan dituliskan dengan a b. Jika tidak habis dibagi oleh a, maka dituliskan a. a b dibaca a membagi b berarti bahwa a adalah pembagi dari b, dengan kata lain bahwa b adalah kelipatan dari a. Teorema 2.1 (1) maka (2) dan b c maka (3) dan maka + (4) dan maka = (5) maka (6) Pembuktian: (1) maka a b berdasarkan definisi =. Akibatnya berlaku pula bahwa: = =. Karena pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup pada perkalian, maka berarti : = berlaku = =. Sehingga berdasarkan definisi: =. Maka dapat disimpulkan bahwa.

(2) dan b c maka maka = maka = Sehingga = = = =, dengan = Sehingga berdasarkan definisi terbukti bahwa (3) dan maka + maka = maka = Akibatnya berlaku : = = Sehingga : + = + = + = dengan = + Berdasarkan definisi, maka dapat disimpulkan bahwa : + (4) dan maka = maka = maka = Akibatnya berlaku: = = = atau = =

Karena maka = 0 atau =1 Persamaan =1 dipenuhi untuk: = = atau = = Sehingga didapatkan bahwa: = Contoh: Buktikan bahwa merupakan suatu kelipatan dari 169,! Ambil P(n) adalah pernyataan = n. (1) Untuk n =1, maka = = yang berarti dapat dibagi oleh 169. jadi P(n) benar untuk n = 1. (2) Asumsikan benar untuk n = k 1, k >1 diperoleh = k = 169M sehingga untuk n = k, diperoleh: = = + = 27. 169 M + 169. 4k Yang dapat dibagi oleh 169, yang berarti bahwa: P(n) benar untuk n = k. Dari (1) dan (2) disimpulkan terbukti bahwa merupakan suatu kelipatan dari 169,

Teorema 2.2 Algoritma Pembagian Jika dengan maka = + Jika, maka r memenuhi ketaksamaan. Dalam situasi ini, q dinamakan hasil bagi, r dinamakan sisa ketika b dibagi a. (i) Adib : = + Untuk dan >0 dapat dibentuk barisan aritmatika:, b 2a,, + yang mempunyai bentuk umum suku adalah. Ambil himpunan S yang anggotanya adalah suku-suku yang tidak negatif, yaitu: S = { } Menurut prinsip urutan, S mempunyai anggota terkecil yaitu r Maka r dapat dinyatakan dalam bentuk r = = + Jadi terbukti = +. (ii) Adib : Andaikan Karena tidak benar. ( tidak negatif), maka Dipihak lain, = = = + = = +

Karena dan =, Maka sehingga ( ) merupakan anggota S yang lebih kecil dari. Hal ini kontradiksi dengan pengambilan r sebagai anggota terkecil S. Jadi terbukti bahwa (iii) Adib : q dan r tunggal Andaikan q dan tidak tunggal, yaitu dan memenuhi: = + = + sehingga : + = + + = 0 ( = Yang berarti Dipihak lain dan Berakibat atau Dengan demikian berakibat = 0, sehingga = Dari ( = diperoleh = 0 Karena maka = atau =. Jadi terbukti bahwa q dan r tunggal. Dari (i), (ii), dan (iii) maka terbukti algoritma pembagian. Contoh: 1. Tunjukkan bahwa +, maka = + Berarti r = 0 atau r = 1 (i) Untuk r = 0, berarti = sehingga + = + = { + } = 2k

Untuk suatu k = + Karena maka = +. Karena ada k, sehingga + = maka + (ii) Untuk r = 1, berarti = + sehingga + = + + + + = + + + = ( + ). ( + = + + = Untuk t = + + Karena = + + Karena ada t, sehingga + = maka + Berdasarkan (i) dan (ii), terbukti bahwa : + 2. Tunjukkan bahwa habis dibagi 8, (i) Untuk n = 1, maka 8,(benar) (ii) Asumsikan benar untuk n = k, 8 Selanjutnya akan dibuktikan untuk n = k + 1 maka : 8 maka = 8 maka = = + Karena n k, maka: 8 = 8 = 8 = 8 9( + ) 1 = 8 9. + 1 8 = 8 9. + 1 = 8 9. 8x + = 8 8(9x + 1) = 8 8m, untuk m = 9x+1 Terbukti bahwa n = k+1 maka 8. Dari (i) dan (ii), terbukti bahwa : habis dibagi 8,

KONGRUENSI DEFINISI Jika sebuah bilangan bulat m yang tidak nol, membagi selisih a b, maka dikatakan a kongruen dengan b modulo m, dan ditulis: Jika a b tidak habis dibagi oleh m, maka dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m, dan ditulis: Selanjutnya b dinamakan sisa dari a ketika dibagi oleh m. Contoh: 1. 27, karena (27 2) terbagi oleh 5 2. 35, karena (35 6) tidak terbagi 7 Dari definisi dan contoh diatas, dapat dikatakan bahwa: jika m > 0 dan m (a b) maka =. Sehingga, ini sama artinya dengan atau beda antara a dan b merupakan kelipatan m. Jadi dapat juga dinyatakan a = mt + b, yaitu a sama dengan b ditambah kelipatan m. Teorema 3.1 Andaikan a, b, c i. Refleksif, dan m bilangan asli, maka berlaku sifat: ii. Simetris, jika ( ) maka b ( ) iii. Transitif, jika dan b maka a Andaikan a, b, c dan m bilangan asli, maka berlaku sifat:

i. Refleksif, ( ) Akan dibuktikan: ( ) Jika m 0 maka m 0, berarti m (a a) Jadi ( ), dan m 0 Cara lain: ( ), sebab a a = 0 dan m 0. ii. Akan dibuktikan: jika ( ) maka b ( ) ( ) berarti m a b, menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = tm, t Jika kedua ruas dikalikan negatif, diperoleh: -(a b) = -tm b a = (-t)m, -t Jadi m b a atau b ( ) Teorema 3.2 Andaikan a, b, c dan m Jika maka + + berarti m (a b) Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = tm, (a b) + 0 = tm (a +c) (b + c)= tm Jadi m (a + c) (b + c) atau a + c + Teorema 3.3 Andaikan a, b, c dan m

Jika maka berarti m (a b) Menurut definisi keterbagian m (a b) dapat dinyatakan: a b = tm, t a b = tm, t (a b)c = (tm)c ac bc = (tc) m Jadi m (ac bc) atau Contoh: 1. Tentukan sisa ketika dibagi oleh 37! Jawab: = 6. = 6. Karena = -1 (mod 37), maka: = 6. = 6 = -6 Jadi = -6 = -43 (mod 37) Sehingga sisa pembagian adalah -43 2. Apakah dapat dibagi 3? Jawab : Karena 4 = 1 (mod 3) sehingga: = = 1 (mod 3) Jadi dapat dibagi 3 3. Selesaikan 6x ( )? Jawab : 6x = 15 (mod 33) 2x = 5 (mod 11) 2x = 16 (mod 11), x = 8 (mod 11)

Sehingga nilai x yang memenuhi adalah 8, 19, 30 Teorema 3.4 Andaikan dan Jika ( )dan c ( ) maka + + ( ) ( ) berarti m a - b c ( ) berarti m c - d Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, m c d dapat dinyatakan c d = m, Jika dijumlahkan, maka diperoleh: (a+c) (b + d) = ( + )m, ( + ) Jadi m (a+c) (b+d) atau + + ( ) Teorema 3.5 Andaikan dan Jika ( ) dan c ( ) maka ( ) ( ) berarti m a - b c ( ) berarti m c - d Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, m c d dapat dinyatakan c d = m, Jika dikurangi, maka diperoleh: (a - c) (b d) = ( )m, ( ) Jadi m (a - c) (b d) atau ( )

Teorema 3.6 Andaikan dan Jika ( ) dan d m maka ( ) ( ) berarti m a b Jika m a b dan d m, maka d a b Jadi d a b berarti ( ) Teorema 3.7 Andaikan dan Jika ( ) dan c ( ) maka + + ( ) ( ) berarti m a b ( ) berarti m c d Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, ax bx = ( )m, (a b) x = ( m)x m c d dapat dinyatakan c d = m, (c d) y = ( m)y cy dy = ( )m, Apabila dijumlahkan, diperoleh: ax bx = ( cy dy = ( )m, )m, (ax + cy) (bx + dy) = ( + )m, + Jadi m (ax + cy) (bx + dy) atau a + c b + d (mod m)

Contoh: 1. Cari digit terakhir dari! Jawab: = 1 (mod 4) Bagian pangkat: =. 7 =. 7 = 7 = 3 (mod 4) Sehingga dengan definisi algortima pembagian diperoleh : Dipihak lain: = -1 (mod 10) =. 7 = -1. 7 = -7 = 3 (mod 10) = 3 + 4t Sehingga = =. =. 3 (mod 10) Jadi digit terakhir adalah 3. =. 3 (mod 10) = 3 (mod 10) 2. Tentukan bilangan-bilangan kuadrat sempurna di modulo 13! Jawab: Misal bilangan kuadrat tersebut adalah : Karena modulo 13, sehingga = Maka han a akan dipenuhi oleh r = 6. Diamati bahwa : = 0, = 1, = 4, dan = 9 = 3 (mod 13), = 12 (mod 13), dan = 10 (mod 13) Jadi kuadrat sempurna di modulo 13 yaitu, 0, 1, 4, 9, 3, 12, dan 10. Teorema 3.8 Andaikan dan Jika ( ) dan c ( ) maka ( ) ( ) berarti m - b c ( ) berarti m c - d

Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, (a b)c = ( m)c ac bc = ( c)m, m c d dapat dinyatakan c d = m, (c d)b = ( m)b bc bd = ( b)m, Dari 1) dan 2) dijumlahkan sehingga didapat : ac bc = ( c)m bc bd = ( b)m ac bd = ( c + b)m, c + b Ini berarti m ac bd atau ac bd (mod m). Teorema 3.9 Andaikan dan Jika ( ) maka ( ) ( ) berarti m b Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, (a b)c = ( m)c ac bc = ( )mc Ini berarti mc ac bc atau ac bc (mod mc).

Teorema 3.10 Andaikan dan Jika ( ), maka ( ) untuk n bilangan bulat positif. ( ) berarti m a b Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, Kita kenal bahwa bentuk : = + + + + Karena a b a b, maka a b ( + + + + ) Ini berarti a b Menurut teorema keterbagian: Jika m a b dan a b, maka m Jadi m atau ( ) Teorema 3.11 Andaikan f suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat. Jika ( ), maka f ( ) Andaikan f(x) = + + + + Dengan bilangan bulat = maka f(a) = + + + + = maka f(b) = + + + + Jika kedua dikurangkan, diperoleh: f( ) f(b) = + + + Dengan menerapkan teorema: ( )

( ) dst Dengan menggunakan teorema keterbagian, diperoleh: m + + + Berarti m f( ) f(b) atau f ( ) Contoh: 1. Cari bilangan-bilangan bulat n sedemikian sehingga + 27 dapat dibagi 7! Jawab: Diamati bahwa = 2 = 4 = 1 (mod 7) = 2 (mod 7) = 4 (mod 7) = 1 (mod 7) Selain itu, = 1 (mod 7), Karena itu + 27 = 1 + 27 = 0 (mod 7) 2. Tentukan semua penyelesaian tak negatif ( ) di modulo 16 jika + + + = 1599 Jawab: Perlu diamati bahwa semua pangkat 4 sempurna di modulo 16 adalah 0, 1 (mod 16) Ini berarti bahwa + + + Memiliki nilai paling besar adalah 14 (mod 16) Sedangkan 1599 = 15 (mod 16). Jadi terlihat tidak ada penyelesaian tak negatif di modulo 16.

SISTEM RESIDU DEFINISI Suatu bilangan bulat dikatakan suatu sistem residu lengkap modulo n jika setiap bilangan bulat kongruen dengan salah satu dari himpunan itu. Atau dengan kata lain Himpunan, dikatakan sistem residu lengkap modulo m, jika sehingga Contoh: Misalkan n = 4. Untuk sembarang bilangan bulat a, akan terdapat sisa tepat satu bilangan bulat q sehingga: a = 4 q a = 4q + 1 atau a = 4q + 2 a = 4q + 3 Hal itu mengatakan bahwa bilangan bulat dapat dibagi ke dalam empat kelas bagian, yaitu: {4q q B} = { -8, - } {4q + 1 q B} = { -7, - } {4q + 2 q B} = { -6, - } {4q + 3 q B} = { -5, - } Karena {0, 1, 2, 3} merupakan semua kemungkinan dari sisa pembagian dengan 4, maka keempat himpunan itu berturut-turut dapat dituliskan dalam pengertian kongruensi sebagai berikut: [0] = {k B k } [1] = {k B k } [2] = {k B k } [3] = {k B k } Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat akan tepat berada dalam salah satu himpunan [0], [1], [2] atau [3].

Atau dengan kata lain himpunan {0, 1, 2, 3} ini dinamakan sistem residu lengkap modulo 4. Teorema 4.1 Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, a ( ) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n. 1) Adib : a ( ) maka a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n Misalkan a ( ) dan sisa pembagian b dengan n adalah r, yaitu b = qn + r dengan 0 Akan ditunjukkan bahwa r juga merupakan sisa pembagian dari bilangan bulat a dengan n. Untuk itu, dituliskan a = pn + r a ( ) dengan defini keterbagian diperoleh: a b = kn, k Dipihak lain: b = qn + r, sehingga: a (qn + r) = kn a = kn + qn + r = (k + q)n + r a = (k + q)n + r a = pn + r, dengan p = k + q Ini menunjukkan bahwa sisa pembagian a dengan n sama dengan sisa pembagian b dengan n, yaitu r. Sehingga terbukti: a ( ) maka a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n ii) Adib: a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan n, maka a ( )

Misalkan a = + dan = + dengan sisa pembagian yang sama yaitu r. maka akan ditunjukkan bahwa a b (mod n). a = + dan = +, jika dikurangkan diperoleh: a b = ( + ) ( + ) = ( a b = ( a b = k n, dengan k = Dengan kata lain bahwa a ( ) Dari i dan ii, disimpulkan bahwa a ( ) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n.

1. Buktikan bahwa: LATIHAN + + + + n = + 2. Buktikan bahwa: 1 + + + + n 1) = 3. Buktikan bahwa : + + + + = 4. Buktikan bahwa : selalu habis dibagi oleh 5! 5. Buktikan bahwa! 6. Buktikan maka 7. Buktikan 8. Tunjukkan bahwa 3 n! 9. Buktikan bahwa jika maka 10. Buktikan bahwa jika maka 11. Transitif, jika dan b maka a 12. Buktikan bahwa : 7 ( + 13. Selesaikan 26 x = 17 (mod 33)! 14. Buktikan bahwa : 7 ( + 15. Cari semua x yang memenuhi persamaan 7 + x = 4 (mod 5)!