K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem persamaan linear kuadrat.. Menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linear kuadrat. 3. Menyelesaikan permasalahan sehari-sehari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear kuadrat. A. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT Sistem persamaan linear kuadrat adalah sistem persamaan yang terdiri dari sebuah fungsi linear dan sebuah fungsi kuadrat yang masing-masing mempunyai dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear kuadrat dapat dituliskan sebagai berikut. y = ax + bx + c, a 0... fungsi kuadrat y = mx + n... fungsi linear Contoh: 1. y = x + 3 y = x 3x + 7. x + y = 7 y = x + 10x + 14 1
3. 4x y 9 = 0 y 4y 5 x = 0 4. x + y = 5 (walaupun kedua variabel berpangkat dua, akan tetapi langkah x + 3y = 18 penyelesaiannya mirip) Keempat bentuk sistem persamaan di atas adalah bentuk sistem persamaan linear kuadrat. B. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT Solusi sistem persamaan linear kuadrat adalah titik-titik yang memenuhi fungsi linear sekaligus fungsi kuadrat. Dengan kata lain, solusi sistem persamaan linear kuadrat merupakan koordinat-koordinat titik potong antara fungsi linear dan fungsi kuadrat. Misalkan (x 1, ) merupakan solusi sistem persamaan linear kuadrat, berarti berlaku: y = ax + bx + c, a 0 1 1 = mx 1 + n 1 Contoh: a. Diketahui sistem persamaan linear kuadrat berikut. y = x + 3 y = x 3x + 7 (1, 5) adalah solusi dari sistem persamaan tersebut karena: y = x +3 5=(1) +3 5=5 benar y = x 3 x +7 5=1 3.1+7 5=5 benar b. Diketahui sistem persamaan linear kuadrat berikut. x + y = 7 x + 10x + 14 = y (1, 6) bukan solusi dari sistem persamaan tersebut karena: x + y =7 1+ 6=7 7=7 benar
x +10 x +14 = y 1+10.1+14 =6 5 =6 salah C. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT Sistem persamaan linear kuadrat dapat diselesaikan dengan teknik substitusi. Langkahlangkah teknik substitusi untuk menentukan solusi sistem persamaan linear kuadrat adalah sebagai berikut. 1. Substitusikan nilai y pada fungsi linear ke y pada fungsi kuadrat atau sebaliknya. Jika langkah tersebut sulit dilakukan, kamu bisa menggunakan cara lain, yaitu dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi linear ke x pada fungsi kuadrat atau sebaliknya.. Sederhanakan persamaan satu variabel hingga terbentuk persamaan kuadrat dengan bentuk umum berikut. ax + bx + c = 0, a 0 atau ay + by + c = 0, a 0 3. Tentukan akar dari persamaan kuadrat dengan teknik faktorisasi atau rumus abc. Jika yang diminta oleh soal hanya banyak solusi realnya, maka gunakan analisis diskriminan. Jika D > 0, maka sistem memiliki dua solusi real Jika D = 0, maka sistem memiliki satu solusi real Jika D < 0, maka sistem tidak memiliki solusi real 4. Substitusi balik untuk mencari nilai variabel lainnya. Contoh Soal 1 Tentukan solusi real dari sistem persamaan berikut. y = x + 4x + 3 y = x + 6 = x + 4x + 3 y = x + 6 Substitusikan y ke 3
x +4 x +3= x +6 x +x 3=0 ( x +3)( x 1)=0 x = 3 atau x =1 Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = x + 6. ➀ Untuk x = 3, diperoleh: y = ( 3) + 6 = 6 + 6 = 0 Solusi ( 3, 0) ➁ Untuk x = 1, diperoleh: y = (1) + 6 = + 6 = 8 Solusi (1, 8) Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah ( 3, 0) dan (1, 8). Contoh Soal Tentukan solusi real dari sistem persamaan berikut. y = x 3x 7 x + y 7 = 0 = x 3x 7 x + y 7 = 0 Substitusikan ke y x + (x 3x 7) 7 = 0 x + 4x 6x 14 7 = 0 4x 5x 1 = 0 (4x + 7)(x 3) = 0 x = 7 4 atau x = 3 Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan x + y 7 = 0. 4
➀ Untuk x = 7 4, diperoleh: 7 +y 7=0 4 7+8y 8=0 8 y =35 y = 35 8 Solusi 7 4, 35 8 ➁ Untuk x = 3, diperoleh: 3 + y 7 = 0 y 4 = 0 y = 4 y = Solusi (3, ) Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah 7 4, 35 8 dan (3, ). Contoh Soal 3 Tentukan solusi real dari sistem persamaan berikut. x = y 1 y 5y + 4 x = 0 x 1 = y 1 y 5y + 4 x = 0 Substitusikan x 1 ke x y 5 y +4 ( y 1)=0 y 6 y +5=0 Persamaan kuadrat tersebut tidak dapat difaktorkan. Untuk menentukan solusinya, periksa dahulu nilai determinannya. Dari y 6y + 5 = 0 diketahui nilai a =, b = 6, dan c = 5. Dengan demikian, diperoleh: 5
D = b 4ac D = ( 6) 4()(5) D = 36 40 D = 4 < 0 Oleh karena nilai D < 0, maka y 6y + 5 = 0 tidak memiliki solusi real. Jadi, sistem persamaan tersebut juga tidak memiliki solusi real. Contoh Soal 4 Tentukan banyak solusi real dari sistem persamaan berikut. y = 4x + 3x 10 x + 4y = 50 = 4x + 3x 10 x + 4y = 50 Substitusikan ke y ( ) x +4 4 x +3x 10 =50 16 x +13x 90=0 Dari 16x + 13x 90 = 0 diketahui nilai a = 16, b = 13, dan c = 90. Dengan demikian, nilai determinannya adalah sebagai berikut. D = b 4ac D = (13) 4(16)( 90) D = 169 + 5760 D = 599 > 0 Oleh karena nilai D > 0, maka sistem memiliki solusi real. Jadi, banyak solusi real dari persamaan tersebut adalah. Contoh Soal 5 Tentukan banyak solusi real dari sistem persamaan berikut. y = 9x 13x + x + y + = 0 6
= 9x 13x + x + y + = 0 Substitusikan ke y ( ) x + 9x 13 x + +=0 9x 1 x +4=0 Dari 9x 1x + 4 = 0 diketahui nilai a = 9, b = 1, dan c = 4. Dengan demikian, nilai determinannya adalah sebagai berikut. D = b 4ac D = ( 1) 4(9)(4) D = 144 144 D = 0 Oleh karena nilai D = 0. maka sistem memiliki satu solusi real. Jadi, banyak solusi real dari persamaan tersebut adalah 1. Contoh Soal 6 Tentukan banyak solusi real beserta solusinya dari sistem persamaan berikut. y = x 6 x + y = 6 = x 6 x + y = 6 Substitusikan ke y x + x 6 =6 x + x 1 x +36 =6 x 1 x +10 =0 x ( ) 6 x +5=0 ( x 5) ( x 1)=0 x =5 atau x =1 7
Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = x 6, jangan menggunakan x + y = 6. ➀ Untuk x = 5, diperoleh: y = 5 6 = 1 Solusi (5, 1) ➁ Untuk x = 1, diperoleh: y = 1 6 = 5 Solusi (1, 5) Jadi, banyaknya solusi real dari persamaan tersebut ada, yaitu (5, 1) dan (1, 5). Contoh Soal 7 Diketahui (1, 1) dan (a, b) adalah solusi real dari sistem persamaan berikut. y = px + q y = x + px + q 4 Tentukan nilai dari a + b + p + q! y = px + q...(1) y = x + px + q 4...() (1, 1) merupakan solusi real dari sistem persamaan, sehingga persamaan (1) dan () dapat dituliskan sebagai berikut. 1 = p(1) + q p + q = 1...(3) 1 = 1+ p(1) + q 4 p + q = 4...(4) Eliminasi variabel q: p+ q =1 p+ q =4 p p = 3 =3 8
Substitusi p = 3 ke persamaan (3) 3 + q = 1 q = Substitusi (p, q) = (3, ) ke persamaan (1) dan () y = 3x y = x + 6x 6 = 3x y = x + 6x 6 Substitusikan ke y x + 6x 6 = 3x x + 3x 4 = 0 (x + 4)(x 1) = 0 x = 4 atau x = 1 Oleh karena x = 1 sudah menjadi solusi satunya, maka dapat disimpulkan bahwa nilai a = 4. Substitusi balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = 3x. Untuk x = 4, diperoleh: y = 3x b = 3 ( 4) b = 1 b = 14 Dengan demikian, diperoleh: a + b + p + q = 4 + ( 14) + 3 + ( ) = 17 Jadi, nilai dari a + b + p + q adalah 17. Contoh Soal 8 Tentukan solusi sistem persamaan berikut ini dengan metode grafik. y = x + x + 4 x + y = 4 Untuk menentukan solusi sistem persamaan linear kuadrat dengan metode grafik, gambarkan dahulu kedua fungsi tersebut. 9
Untuk mempermudah, tentukan dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan. Kemudian, plot titik-titik tersebut pada bidang. Selanjutnya, hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. Untuk x + y = 4: x y = 4 x 4 0 0 4 Untuk y = x + x + 4: x y = x + x + 4: 1 1 0 4 1 5 4 3 1 4 4 Dengan demikian, grafiknya adalah sebagai berikut. y 6 5 4 3 1 1 1 1 3 4 5 6 3 4 x 10
Solusi dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong kedua grafik, yaitu (0, 4) dan (3, 1). Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah (0, 4) dan (3, 1). D. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan konsep sistem persamaan linear kuadrat. Salah satunya seperti contoh berikut. Contoh Soal 9 Sebuah meriam setinggi 1,5 meter menembakkan sebutir peluru ke udara dari atas tanah. Peluru yang keluar dari meriam tersebut membentuk lintasan parabola. Jika posisi 3 peluru dapat dinyatakan dengan fungsi y = x + x + 3 dan kemiringan tanah dapat 3 dinyatakan dengan fungsi y = 0,x, maka tentukan di titik mana peluru tersebut akan menyentuh tanah! Permasalahan pada soal dapat digambarkan sebagai berikut. y 3 y = x + x + 3 3 y = 0,x 3 y1 = x + x + 3 3 y = 0,x x 11
Substitusikan y ke Super "Solusi Quipper" 3 + + 3 x x 3 =0, x 3 x + 64 x + 48 = 6, 4 x (kedua ruas dikali 3) 30x 640x 480 = 64 x (kedua ruas dikali - 10) 30x 576x 480 =0 (kedua ruas dibagi 6) 5x 96x 80=0 x 96x 400 =0 ( x 100)( x +4) =0 x = 100 x 5 atau = 4 5 x = 0 atau x = 4 5 Oleh karena x > 0, maka nilai yang memenuhi adalah x = 0. Substitusikan balik nilai x yang diperoleh. Gunakan y = 0,x. y = 0,x = 0,(0) = 4 Jadi, peluru tersebut akan menyentuh tanah pada titik (0, 4). 1