Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.
Peluang Gabungan Kejadian A B = {a S : a A atau a B} Irisan Kejadian A B = {a S : a A dan a B}
Peluang Kejadian A dan B bersifat mutually exclusive (saling asing) jika A B = φ. Komplemen A c = Ā = {a S : a / A}
Peluang Partisi Ruang Sampel Sebuah himpunan kejadian {A 1, A 2,...} merupakan partisi dari ruang sampel S jika 1 Kejadian-kejadian tersebut bersifat mutually exclusive, A i A j = φ jika i j. 2 i A i = S
Peluang Peluang Peluang kejadian A adalah n(a) P (A) = lim n n n(a) : banyaknya keluaran A n : banyaknya percobaan atau P (A) = n(a) n(s) n(a) : banyaknya keluaran A n(s) : banyaknya anggota ruang sampel S
Peluang Sifat-sifat peluang 1 0 P (A) 1 2 P (S) = 1 P (φ) = 0 3 Untuk himpunan kejadian A 1, A 2,... yang mutually exclusive, ( ) P A n = P (A n ) n=1 n=1 4 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5 P (A c ) = 1 P (A) 6 Jika A B maka P (A) P (B)
Contoh 1 Peluang Misalkan P (A B) = P (A B c ) = 0.6. Hitung P(A)!
Peluang Jawab: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.6 P (A B c ) = P (A) + P (B c ) P (A B c ) = 0.6 Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh 2P (A) + P (B) + P (B c ) (P (A B) + P (A B c )) = 1.2 2P (A) + 1 P (A) = 1.2 P (A) = 0.2 Note: P (B) + P (B c ) = 1 P (A B) + P (A B c ) = P (A)
Diskrit Kontinu Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. Contoh: X : S R Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan 2 dengan peluang munculnya P (X = 0) = P (BB) = 1 4 P (X = 1) = P (MB, BM) = 1 2 P (X = 2) = P (MM) = 1 4
Diskrit Diskrit Kontinu Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {x i, i = 1, 2,...} sedemikian hingga ( ) P {X = x i } = P (X = x i ) = 1 i i
Diskrit Kontinu Fungsi peluang { p i, jika x = x i p(x) = P (X = x) =. 0, lainnya Fungsi distribusi F X (x) = i p(x i )
Distribusi Binomial Diskrit Kontinu Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya p(0) = P (X = 0) = 1 p p(1) = P (X = 1) = p di mana p merupakan peluang sukses dan 0 p 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.
Diskrit Kontinu Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya ( ) n p(x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1, 2,... x
Contoh 2 Diskrit Kontinu Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannya dengan peluang 1 p, saling bebas antara mesin satu dengan lainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jika setidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin?
Diskrit Kontinu Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mesin yang masih bisa beroperasi dengan baik, X Binomial(n, p). Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengan sukses adalah P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) ( ) ( ) ( ) 4 = p 2 (1 p) 2 4 + p 3 4 (1 p) + p 4 (1 p) 0 2 3 4 = 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4
Diskrit Kontinu Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengan sukses adalah P (X 1) = P (X = 1) + P (X = 2) ( ) ( ) 2 2 = p(1 p) + p 2 (1 p) 0 1 2 = 2p(1 p) + p 2
Diskrit Kontinu Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin adalah 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 2p(1 p) + p 2 6p(1 p) 2 + 4p 2 (1 p) + p 3 2 p 3p 3 8p 2 + 7p 2 0 (p 1) 2 (3p 2) 0 p 2 3
Distribusi Geometrik Diskrit Kontinu Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masing memiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh sukses pertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakan sebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsi peluangnya P (X = n) = (1 p) n 1 p, n = 1, 2,...
Contoh 3 Diskrit Kontinu Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesar p, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwa masing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. Tentukan P (N)!
Diskrit Kontinu N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka P (N = 1) = P (M) = p, P (N = 2) = P (B, M) = (1 p)p, P (N = 3) = P (B, B, M) = (1 p) 2 p,. P (N = n) = P (B, B,..., B, M) = (1 p) n 1 p, n 1 Note: muncul B sebanyak n 1 kali
Contoh 4 Diskrit Kontinu Tiga mahasiswa akan menghadap dosen pembimbing KP. Untuk menentukan siapa yang akan maju duluan, mereka sepakat mengundi dengan melantunkan koin (mungkin karena sama-sama belum ada kemajuan KP-nya). Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib maju terlebih dahulu ke dosen pembimbing mereka. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan peluang bahwa seseorang akan maju ketika koin dilantunkan tepat tiga kali. Tentukan pula peluang seseorang akan maju setelah koin dilantunkan lebih dari 4 kali.
Diskrit Kontinu Peluang suksesnya berarti ada yang lantunannya berbeda. ( X Geo p = 3 ) 4 Maka P (X = 3) = ( 1 3 4) 2 3 4 = 3 64 P (X > 4) = 1 P (X 4)
Distribusi Poisson Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2,... dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0, P (X = x) = e λ λx, x = 0, 1, 2,... x! Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu selang waktu atau area tertentu.
Contoh 5 Diskrit Kontinu Pandang sebuah percobaan yang terdiri atas perhitungan banyaknya partikel-α yang dilepaskan dalam satu detik oleh satu gram bahan radioaktif. Jika diketahui dari percobaan-percobaan sebelumnya bahwa rata-rata 3.2 partikel-α yang dilepaskan, berapa pendekatan yang baik untuk peluang bahwa tidak lebih dari 2 partikel-α yang akan muncul?
Diskrit Kontinu X P OI(λ = 3.2) Maka P (X 2) = e 3.2 3.2 3.2 3.2 (3.2)2 + e + e 1! 2! 0.382
Kontinu Diskrit Kontinu X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f(x), terdefinisi untuk semua bilangan real x (, ) sehingga F X (x) = x f X (t)dt atau f X (x) = d dx F X(x)
Distribusi Uniform Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform (menyebar seragam) sepanjang interval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan f X (x) = { 1 b a, a < x < b 0, x lainnya.
Diskrit Kontinu Beberapa peubah acak kontinu dalam ilmu fisika, manajemen, dan ilmu biologi biasanya menggunakan pendekatan distribusi Uniform. Sebagai contoh, misalkan kita menghitung banyaknya kejadian yang berdistribusi Poisson, seperti banyaknya panggilan telepon yang masuk ke suatu operator. Jika diketahui tepat satu kejadian yang terjadi pada suatu interval, misal (0, t), maka waktu terjadinya kejadian adalah berdistribusi Uniform pada interval yang telah diberikan di depan.
Contoh 6 Diskrit Kontinu Kedatangan pelanggan pada suatu toko berdistribusi Poisson. Diketahui bahwa selama periode waktu 30 menit, seorang pelanggan tiba di dalam toko tersebut. Tentukan peluang bahwa pelanggan datang selama 5 menit terakhir dari periode waktu 30 menit.
Diskrit Kontinu X adalah p.a. yang menyatakan waktu kedatangan pelanggan, X U(0, 30). Maka P (25 X 30) = 30 25 1 30 25 dx = 30 30 = 1 6
Contoh 7 Diskrit Kontinu Jika X U( 1, 1). Tentukan P ( X > 1 2)!
Diskrit Kontinu Maka P f X (x) = 1 1 ( 1) = 1 2, 1 < x < 1 ( X > 1 ) ( = P X < 1 ) ( + P X > 1 ) 2 2 2 = = 1/2 1 [ 1 2 x 1 2 dx + ] 1/2 1 1 1/2 + 1 2 dx [ 1 2 x ] 1 1/2 = 1 4 + 1 2 + 1 2 1 4 = 1 2
Distribusi Eksponensial Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagai berikut, untuk suatu λ > 0, { λe λx, jika x 0 f X (x) =. 0, jika x < 0 disebut sebagai peubah acak Eksponensial dengan parameter λ.
Diskrit Kontinu Peubah acak Eksponensial muncul pada pemodelan waktu antar kejadian. Contoh: Waktu panggilan antar pelanggan pada suatu provider Masa hidup dari suatu alat dan sistem
Contoh 8 Diskrit Kontinu Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank berdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani?
Diskrit Kontinu P (X > 15) = 1 P (X 15) = 1 (1 e 15λ ) = e 15( 1 10) = e 3 2
Distribusi Gamma Diskrit Kontinu Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang f X (x) = 1 Γ(α)β α xα 1 e x β, x 0 untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β)
Diskrit Kontinu Definisi fungsi Gamma: Γ(α) = 0 e x x α 1 dx Note: Γ(n) = (n 1)! Γ(n + 1) = nγ(n), n > 0
Diskrit Kontinu Peubah acak Gamma merupakan hasil penjumlahan dari peubah acak-peubah acak Eksponensial. Misalkan kita mempunyai api unggun Misalkan waktu untuk masing-masing api unggun terbakar berdistribusi Eksponensial dengan laju β ( β = 1 λ). Misalkan masa hidup masing-masing api unggun saling bebas Waktu sampai api unggun ke-α berhenti terbakar adalah berdistribusi Gamma dengan parameter α dan β. Distribusi Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk distribusi Binomial Negatif
Contoh 9 Diskrit Kontinu Tiga buah lampu mempunyai masa hidup X 1, X 2, dan X 3 secara berturut-turut berdistribusi Eksponensial dengan mean 200 jam. Misalkan masa hidup sebuah lampu saling bebas dengan masa hidup lampu yang lain. Tentukan distribusi peluang dan ekspektasi waktu sampai ketiga lampu mati.
Diskrit Kontinu Misalkan Y = X 1 + X 2 + X 3 menyatakan total masa hidup ketiga lampu. Y berdistribusi Gamma dengan parameter α = 3 dan β = 200. Maka { 1 x 2 e x Γ(3)200 f Y (y) = 3 200, x 0 0, lainnya dan E(Y ) = αβ = 3(200) = 600 jam.
Contoh 10 Diskrit Kontinu Apa yang dapat kita katakan tentang distribusi Gamma jika α = 1?
Diskrit Kontinu Misalkan X Gamma(α = 1, β) maka f X (x) = 1 Γ(1) β 1 x1 1 e x β ( ) Maka X Eksp λ = 1 β = 1 β e x β
Distribusi Normal Diskrit Kontinu X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang X diberikan f X (x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, < x <
Contoh 11 Diskrit Kontinu Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal dengan mean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILO disyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan 16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ?
Diskrit Kontinu P ( Z X N(16.5, σ 2 ) P (X 16) 0.9 ) ( 16 16.5 = 1 P σ ) 16 16.5 Z 0.9 σ ( P Z 0.5 ) 0.1 σ ( Z 0.5 ) 1.28 σ σ 0.390625
Ekspektasi Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Kontinu E(X) = x f X (x)dx Distribusi Diskrit E(X) = i x i p i
Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Karakteristik ekspektasi: E(g(X)) = g(x)f(x) (untuk distribusi kontinu) E(cX) = ce(x), c konstan E(aX + b) = ae(x) + b E(X 1 + X 2 +... + X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) +... + E(X n ) E(X Y ) = E(X) E(Y ), hanya jika X dan Y saling bebas
Contoh 12 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar Pengantar dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut: { x 2, 2 x < 3 f X (x) = 1 4, 4 < x < 6 Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar?
Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen E(X) = = = 2 x f(x) dx 3 x (0)dx + [ 1 3 x3 x 2 2 ] 3 2 + 4 x (x 2) dx + [ ] 1 6 8 x2 = 25 4 6 3 6 x (0)dx + 4 x ( ) 1 dx 4
Variansi Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Variansi: V ar(x) = E[(X X) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 Karakteristik variansi: V ar(cx) = c 2 V ar(x), V ar(x 1 + X 2 +... + X n ) = c konstan n i,j=1 V ar(x 1 + X 2 +... + X n ) = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) +... + V ar(x n ), hanya jika X i saling bebas Cov[X i, X j ]
Contoh 13 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Tentukan V ar(x) dimana X menyatakan keluaran yang mungkin ketika sebuah dadu dilemparkan.
Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Karena P (X = x) = 1 6, x = 1, 2,..., 6, maka E(X) = 6 xp (X = x) = 7 2 x=1 dan E(X 2 ) = 6 x=1 x 2 P (X = x) = 91 6 Jadi, V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 91 6 ( ) 7 2 2 = 35 12.
Kovariansi Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Kovariansi: Cov(X, Y ) = E[(X X)(Y Ȳ )] = E(XY ) E(X)E(Y ) Karakteristik kovariansi: Cov(X, X) = V ar(x) Cov(X, Y ) = 0, jika X dan Y saling bebas Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)
Fungsi Pembangkit Momen Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen M X (t) dari suatu peubah acak X untuk semua nilai t didefinisikan e tx p(x), jika X adl p.a. diskrit M X (t) = E(e tx x ) = e tx f X (x)dx, jika X adl p.a. kontinu
Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Dikatakan fungsi pembangkit momen karena semua momen dari X dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi tersebut pada saat t = 0, yaitu E(X k ) = MX(0) k = dk dt E(etX ) t=0 Contoh: Momen Pertama E(X) = M X(0) = d dt E(etX ) t=0 Momen Kedua = E(Xe tx ) t=0 E(X 2 ) = M X(0) = d dt M X(t) = d dt E(XetX ) t=0 = E(X 2 e tx ) t=0
Contoh 14 Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X Eksp(λ), maka fungsi pembangkit momen untuk X adalah M X (t) = E(e tx ) = = λ 0 = λ λ t, 0 e (λ t)x dx e tx λ e λx dx untuk t < λ
Sebuah proses stokastik {X t, t T } adalah sebuah kumpulan peubah acak, yaitu untuk setiap t T, X t adalah sebuah peubah acak. Indeks t sering diinterpretasikan sebagai waktu dan sebagai hasilnya, X t dinyatakan sebagai keadaan dari suatu proses pada waktu t.
Sebagai contoh, X t dinyatakan sebagai banyaknya pelanggan yang masuk ke dalam suatu supermarket sampai waktu t; banyaknya pelanggan di dalam supermarket pada saat t; atau total banyaknya penjualan yang tercatat di pasar sampai waktu t, dsb.
Himpunan T dikatakan sebagai himpunan indeks dari proses stokastik. Ketika T sebuah himpunan yang terhitung, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu-diskrit. Jika T adalah sebuah interval pada suatu garis bilangan real, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu-kontinu.
Singkatnya, {X t, t = 0, 1,...} adalah suatu proses stokastik waktu-diskrit yang diindeks dengan bilangan bulat nonnegatif. Sedangkan {X(t), t 0} adalah proses stokastik waktu-kontinu yang diindeks dengan bilangan real nonnegatif.
Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.