nalisis Harmonisa Oleh: Sudaryatno Sudirham BB Sinyal onsinus Pada Rangkaian Linier Penyediaan energi elektrik pada umumnya dilakukan dengan menggunakan sumber tegangan berbentuk gelombang sinus. rus yang mengalir diharapkan juga berbentuk gelombang sinus. Namun perkembangan teknologi terjadi di sisi beban yang mengarah pada peningkatan efisiensi peralatan dalam penggunaan energi listrik. lat-alat seperti air conditioner, refrigerator, microwave oven, sampai ke mesin cuci dan lampu-lampu hemat energi makin banyak digunakan dan semua peralatan ini menggunakan daya secara intermittent. Peralatan elektronik, yang pada umumnya memerlukan catu daya arus searah juga semakin banyak digunakan sehingga diperlukan penyearahan arus. Pembebanan-pembebanan semacam ini membuat arus beban tidak lagi berbentuk gelombang sinus. Bentuk-bentuk gelombang arus ataupun tegangan yang tidak berbentuk sinus, namun tetap periodik, tersusun dari gelombang-gelombang sinus dengan berbagai frekuensi. Gelombang periodik nonsinus ini mengandung harmonisa. Pembahasan mengenai harmonisa dalam buku ini diharapkan menjadi pengantar untuk pembahasan mengenai Kualitas Daya. Kajian mengenai kualitas daya dalam system penyaluran energi elektrik mencakup setiap permasalahan pada sistem tenaga yang berdampak pada penyimpngan besaran tegangan, arus, dan frekuensi dan berakibat kegagalan kerja sistem atau kegagalan operasi peralatan di sisi beban. Perkembangan teknologi di sisi beban telah memunculkan berbagai beban dengan karakteristik masing-masing serta berbagai pola pembebanan. Karena beban terikat pada sistem pasokan daya, maka tuntutan pembebanan juga akan berimbas pada sistem. Setiap sebab yang akan menurunkan kinerja sistem perlu dihindarkan atau ditekan seminimal mungkin. Oleh karena itu muncullah permasalahan kualitas daya. Kegagalan kerja sistem tidak harus berarti shut down dan kegagalan operasi peralatan tidak harus berarti rusak. Penurunan efisiensi dan penurunan life time termasuk dalam katagori kegagalan kerja sistem dan peralatan. Dengan demikian maka upaya peningkatan kualitas daya merupakan upaya mencegah kegagalan operasi peralatan di sisi beban (pengguna akhir) maupun meningkatkan kinerja pasokan. Upaya peningkatan kualitas dituntut baik pada penyaluran dari pembangkit ke jaringan, di dalam jaringan, maupun pasokan ke beban. Masalah faktor daya, ketidak-seimbangan, susut energi di jaringan, power interruption, adalah masalah-masalah yang selalu muncul dalam sistem distribusi tenaga listrik. Ketidakseimbangan pembebanan yang menyebabkan munculnya komponen-komponen arus negative sequence dan zero sequence juga akan menambah persoalan di jaringan.
Sesungguhnya persoalan kualitas daya tidak hanya terbatas pada usaha perbaikan apa yang sudah ada, melainkan mencakup antisipasi pada keadaan mendatang, baik yang didorong oleh perkembangan teknologi maupun oleh peraturan-peraturan dan juga kepentingan komersial. Beberapa perkembangan dalam teknologi energi elektrik yang perlu mendapat perhatian adalah: a) Distributed Generation Makin menyusutnya persediaan fossil fuel dan kesadaran akan lingkungan mendorong upaya ke arah energi alternatif dan energi terbarukan. Wind power, wave energy, photovoltaic, biomass, fuelcell, mikrohidro, adalah beberapa contoh. Skala pembangkit alternatif ini relatif kecil dan kebanyakan tersebar pada lokasi yang berjauhan. Jika daya dari pembangkit yang relatif kecil ini harus masuk ke jaringan, maka daya masuk ke jaringan melalui jaringan distribusi. b) Energy Storage Teknologi ini sudah sejak lama menjadi perbincangan. Penyimpanan energi sejauh ini dilaksanakan pada penyimpanan energi pembangkit seperti energi kimia (batere), mekanik (flywheel), hidro (hydro pumped storage), panas (thermal storage). Pembangkitan elektrik dari simpanan energi ini juga relative berskala kecil, yang bisa masuk ke jaringan melalui jaringan distribusi. c) Power Electronic Perkembangan di bidang power electronic, dengan beban besar yang merupakan pembebanan nonlinier, memerlukan perhatian agar pengaruhnya pada sistem penyaluran daya serta dampaknya terhadap peralatan-peralatan konvensional sistem (seperti transformator) dapat ditekan. Perkembangan konversi C/DC, diiringi oleh pengembangan tapis aktif; walaupun demikian pemantauan kaualitas daya tetap harus dilakukan... Pendekatan umerik Sinyal onsinus Dalam pembahasan harmonisa kita akan menggunakan istilah sinyal nonsinus untuk menyebut secara umum sinyal periodik seperti sinyal gigi gergaji dan sebagainya, termasuk sinyal sinus terdistorsi yang terjadi di sistem tenaga. Dalam nalisis Rangkaian Listrik kita telah membahas bagaimana mencari spektrum amplitudo dan sudut fasa dari bentuk sinyal nonsinus yang mudah dicari persamaannya. Berikut ini kita akan membahas cara menentukan spektrum amplitudo sinyal nonsinus melalui pendekatan numerik. Cara ini digunakan jika kita menghadapi sinyal nonsinus yang tidak mudah dicari persamaannya. Cara pendekatan ini dapat dilakukan dengan bantuan komputer sederhana, terutama jika sinyal disajikan dalam bentuk kurva hasil dari suatu pengukuran analog. Dalam praktik, sinyal nonsinus diukur dengan menggunakan alat ukur elektronik yang dapat menunjukkan langsung spektrum amplitudo dari sinyal nonsinus yang diukur. Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
... Penafsiran Grafis Deret Fourier Pencarian spektrum amplitudo suatu sinyal periodik y(t) dilakukan melalui penghitungan koefisien Fourier dengan formula seperti berikut ini. a T an T bn T dengan T adalah perioda sinyal. T / y( t) dt T / T / y( t) cos( nωt) dt T / T / y( t)sin( nωt) dt T / ; ; n> n> T / ntegral y ( t) dt adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y(t) dengan sumbu-t dalam T / rentang satu perioda. Jika luas bidang dalam rentang satu perioda ini dikalikan dengan (/T ), yang berarti dibagi dengan T, akan memberikan nilai rata-rata y(t) yaitu nilai komponen searah a. T / ntegral y ( t) cos( nωt) dt adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y ( t ) cos( nω t ) T / dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika luas bidang ini dikalikan dengan (/T ), yang berarti dibagi (T /), akan diperoleh a n. Di sini T harus dibagi dua karena dalam satu perioda T terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω. T / ntegral y ( t) sin( nωt) dt adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y ( t )sin( nω t ) T / dengan sumbu-x dalam rentang satu perioda. Jika luas ini dikalikan dengan (/T ) akan diperoleh b n. Seperti halnya penghitungan a n, T harus dibagi dua karena dalam satu perioda T terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω. Dengan penafsiran hitungan integral sebagai luas bidang, maka pencarian koefisien Fourier dapat didekati dengan perhitungan luas bidang. Hal ini sangat membantu karena perhitungan analitis hanya dapat dilakukan jika sinyal nonsinus yang hendak dicari komponenkomponennya diberikan dalam bentuk persamaan yang cukup mudah untuk diintegrasi.... Prosedur Pendekatan umerik Pendekatan numerik integral sinyal y(t) dalam rentang p t q dilakukan sebagai berikut.. Kita bagi rentang p t q ke dalam m segmen dengan lebar masing-masing t k ; t k bisa sama untuk semua segmen bisa juga tidak, tergantung dari keperluan. ntegral y(t) dalam rentang p t q dihitung sebagai jumlah luas seluruh segmen dalam rentang tersebut. Setiap segmen dianggap sebagai trapesium; sisi kiri suatu segmen merupakan sisi kanan segmen di sebelah kirinya, dan sisi kanan suatu segmen menjadi sisi kiri segmen di sebelah kanannya. Jika sisi kanan segmen (trapesium) adalah k maka sisi kirinya adalah k-, maka luas segmen ke-k adalah L ( ) t / k k k k (.) 3
Jadi integral f(t) dalam rentang p x q adalah q m f ( t) dt Lk (.) p k. Nilai t k dipilih sedemikian rupa sehingga error yang terjadi masih berada dalam batasbatas toleransi yang kita terima. Jika sinyal diberikan dalam bentuk grafik, untuk mencari koefisien Fourier dari harmonisa ke-n, satu perioda dibagi menjadi tidak kurang dari n segmen agar pembacaan cukup teliti dan error yang terjadi tidak lebih dari 5%. Untuk harmonisa ke-5 misalnya, satu perioda dibagi menjadi 5 segmen. Ketentuan ini tidaklah mutlak; kita dapat memilih jumlah segmen sedemikian rupa sehingga pembacaan mudah dilakukan namun cukup teliti. 3. Relasi untuk memperoleh nilai koefisien Fourier menjadi seperti berikut: a a b n n T T T m k m k m [ ] 4. Formula untuk sudut fasa adalah k k t [ cos( nω t) cos( nω t )] k k [ sin( nω t) sin( nω t )] k k k ka k k t t k ϕ n T L k k T T L L kan / kbn / (.3) b n tan (.4) an 5. Perlu disadari bahwa angka-angka yang diperoleh pada pendekatan numerik bisa berbeda dengan nilai yang diperoleh secara analitis. Jika misalkan secara analitis seharusnya diperoleh a dan b 5, pada pendekatan numerik mungkin diperoleh angka yang sedikit menyimpang, misalnya a, dan b 5,. 6. mplitudo dari setiap komponen harmonisa adalah n an bn. Sudut fasa dihitung dalam satuan radian ataupun derajat dengan mengingat letak kuadran dari vektor amplitudo seperti telah dibahas pada waktu kita membahas spektrum sinyal dalam Bab- 3. Persamaan sinyal nonsinus adalah ( ) y t a a cos( ω ϕ ) n bn n t n (.5) n Berikut ini kita lihat sinyal periodik yang diberikan dalam bentuk kurva yang tak mudah dicari persamaannya. Prosedur pendekatan numerik dilakukan dengan membaca kurva yang memerlukan kecermatan. Hasil pembacaan kita muatkan dalam suatu tabel seperti pada contoh berikut ini. 4 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
CO TOH-.: y[volt] 5 5-5,,4,6,8,,,4,6,8, t[detik] - -5 - Carilah komponen searah, fundamental, dan harmonisa ke-3 sinyal periodik y(t) yang dalam satu perioda berbentuk seperti yang diperlihatkan dalam gambar di atas. Perhatikan bahwa gambar ini adalah gambar dalam selang satu periode yang berlangsung dalam, detik, yang sesuai dengan frekuensi kerja 5 Hz. Penyelesaian: Perhitungan diawali dengan menetapkan nilai t dengan interval sebesar t,4 detik, kemudian menentukan k untuk setiap segmen. Sisi kiri segmen pertama terjadi pada t dan sisi kanannya menjadi sisi kiri segmen ke-dua; dan demikian selanjutnya dengan segmen-segmen berikutnya. Kita tentukan pula sisi kanan segmen terakhir pada t T. Hasil perhitungan yang diperoleh dimuatkan dalam Tabel-. (hanya ditampilkan sebagian), dimana sudut fasa dinyatakan dalam satuan radian. Pembulatan sampai angka di belakang koma. Tabel-.. nalisis Harmonisa Sinyal Nonsinus pada Contoh-.. T, s Komp. Fundamental t k,4 s searah f /T 5 Hz Harmonisa ke-3 t k L ka L ka L kb L ka3 L kb3 5,4 75,5,5,,4,6,8,35,34,7,9,9,,44,4,4,5,35 : : : : : : :,9-5 -,6 -,6, -,3,5,96,3,3,,3 -,, 5,4,4 -,,4 -, Jumlah L k,398,4,5 -,, a 9,9 a, b,36 5,5 a 3, b 3,8,3 mpli-, ϕ 5,5,57 mpli-3, ϕ 3 9,9 -,78 5
Tabel ini memberikan a 9,9 a,36; b 5,5 a3,8; b3,3,36 5,5 5,5 ϕ tan (5,5 /,36),57 3 (,8),3 9,9 ϕ3 tan (,3 /,8),78 Sesungguhnya kurva yang diberikan mengandung pula harmonisa ke-dua. pabila harmonisa ke-dua dihitung, akan memberikan hasil a 49,43 dan b, 36 amplitudo 49,43 dan ϕ, Dengan demikian uraian sampai dengan harmonisa ke-3 dari sinyal yang diberikan adalah y( t) 9,9 5,5 cos(πf t,57) 49,43cos(4πf t,) 9,9 cos(6πf t,78).. Elemen Linier Dengan Sinyal onsinus Hubungan tegangan dan arus elemen-elemen linier R, L, C, pada sinyal sinus di kawasan waktu berlaku pula untuk sinyal periodik nonsinus. CO TOH-.: Satu kapasitor C mendapatkan tegangan nonsinus v sin( ωt,5) sin(3ωt,) sin(5ωt,5) (a) Tentukan arus yang mengalir pada kapasitor. (b) Jika C 3 µf, dan frekuensi f 5 Hz, gambarkan (dengan bantuan komputer) kurva tegangan dan arus kapasitor. Penyelesaian: (a) Hubungan tegangan dan arus kapasitor adalah Oleh karena itu arus kapasitor adalah dv i C C dt { sin( ωt,5) sin(3ωt,) sin(5ωt,5) } d i C C dt ωc cos( ωt,5) 6ωC cos(3ωt,) 5ωC cos(5ωt,5) ωc sin( ωt,7) 6ωC sin(3ωt,37) 5ωC sin(5ωt 3,7) 6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
(b) Kurva tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini. 5 [] 5-5 - -5 v C 5 [] i C,5.5..5 detik.,5 Kurva tegangan dan arus pada contoh ini merupakan fungsi-fungsi nonsinus yang simetris terhadap sumbu mendatar. Nilai rata-rata fungsi periodik demikian ini adalah nol. Pendekatan numerik memberikan nilai rata-rata 5 vrr 4,8 dan 7 irr 5..3. ilai Rata-Rata Dan ilai Efektif Sinyal onsinus ilai Rata-Rata. Sesuai dengan definisi untuk nilai rata-rata, nilai rata-rata sinyal nonsinus y(t) dengan perioda T adalah Yrr T T y( t) dt Nilai rata-rata sinyal nonsinus adalah komponen searah dari sinyal tersebut. ilai Efektif. Definisi nilai efektif sinyal periodik y(t) dengan perioda T adalah (.6) Yrms T T y ( t) dt Dengan demikian maka nilai efektif sinyal sinus y Y m sin(ωt θ) adalah (.7) T Ym Y rms Ym sin ( ) ωtθ dt (.8) T Nilai efektif sinyal nonsinus y ( t) Y Ymn sin( nωtθn ) adalah n Yrms T T Y Ymn sin( nωtθn ) dt n Jika ruas kiri dan kanan dikuadratkan, kita dapatkan Y rms T T Y Ymn sin( nωtθn ) dt n atau 7
Y rms T T T Y Ymn sin ( nωtθn ) dt n Y Ymn sin( nωtθn ) n T Y ω θ ω θ m sin( t ) Ymn sin( n t n ) dt n Ym sin(ωtθ ) Ymn sin( nωtθn ) n 3... (.9) Melalui kesamaan trigonometri sinα sinβ cos( α b ) cos( α β) dan karena Y bernilai tetap maka suku ke-dua ruas kanan (.8) merupakan penjumlahan nilai rata-rata fungsi sinus yang masing-masing memiliki nilai rata-rata nol, sehingga suku ke-dua ini bernilai nol. Oleh karena itu (.9) dapat kita tulis atau Y rms T T Y ω θ Ynm sin ( n t n ) n t Y rms Y dt T T n Y Ynrms n dt T Ynm sin ( nωtθn ) dt (.) (.) Persamaan (.) menunjukkan bahwa kuadrat nilai efektif sinyal non sinus sama dengan jumlah kuadrat komponen searah dan kuadrat semua nilai efektif konponen sinus. Kita perlu mencari formulasi yang mudah untuk menghitung nilai efektif ini. Kita bisa memandang sinyal nonsinus sebagai terdiri dari tiga macam komponen yaitu komponen searah (y ), komponen fundamental (y ), dan komponen harmonisa (y h ). Komponen searah adalah nilai rata-rata sinyal, komponen fundamental adalah komponen dengan frekuensi fundamental ω, sedangkan komponen harmonisa merupakan jumlah dari seluruh komponen harmonisa yang memiliki frekuensi nω dengan n >. Jadi sinyal nonsinus y dapat dinyatakan sebagai y y y y h kan tetapi kita juga dapat memandang sinyal nonsinus sebagai terdiri dari dua komponen saja, yaitu komponen fundamental dan komponen harmonisa total di mana komponen yang kedua ini mencakup komponen searah. lasan untuk berbuat demikian ini adalah bahwa dalam proses transfer energi, komponen searah dan harmonisa memiliki peran yang sama; hal ini akan kita lihat kemudian. Dalam pembahasan selanjutnya kita menggunakan cara pandang yang ke-dua ini. Dengan cara pandang ini suatu sinyal nonsinus dinyatakan sebagai 8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
y y y h (.) dengan y Ym sin( ωt θ) k dan yh Y Ynm sin( nωtθn ). n Dengan demikian maka relasi (.) menjadi Y rms Yrms Yhrms (.3) Dalam praktik, komponen harmonisa y h dihitung tidak melibatkan seluruh komponen harmonisa melainkan dihitung dalam lebar pita spektrum tertentu. Persamaan sinyal dijumlahkan sampai pada frekuensi tertinggi yang ditentukan yaitu kω ; sinyal dengan frekuensi di atas batas frekuensi tertinggi ini dianggap memiliki amplitudo yang sudah cukup kecil untuk diabaikan. CO TOH-.: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaji memiliki nilai maksimum volt, dengan frekuensi siklus per detik. Hitunglah nilai tegangan efektif dengan: (a) relasi nilai efektif; (b) uraian harmonisa. Penyelesaian: (a) Perioda sinyal,5 detik dengan persamaan: v( t) 4t. Nilai efektif: rms,5 6 (4 ),5 t dt,5 t 3 3,5,55 (b) Uraian sinyal ini sampai harmonisa ke-7 adalah diberikan dalam contoh di Bab-3, yaitu v( t) 6,366 sinωt 3,83sin ωt,sin 3ωt,59sin 4ωt,73sin 5ωt,6sin 6ωt,99 sin 7ωt Persamaan ini memberikan nilai efektif tegangan fundamental, tegangan harmonisa, dan tegangan total sebagai berikut. 6,366 rms hrms 4,5 3,66,,5 rms rms hrms 4,49,35,4 Contoh ini menunjukkan bahwa sinyal gigi gergaji memiliki nilai efektif harmonisa jauh lebih tinggi dari nilai efektif komponen fundamentalnya. 9
CO TOH-.3: Uraian dari penyearahan setengah gelombang arus sinus i sinω t sampai dengan harmonisa ke- adalah: i( t),38,5 cos( ω,8 cos(6ω t,57), cos(ω t). cos(8ω t ),4 cos(4ω t).7 cos(ω Hitung nilai efektif komponen arus fundamental, arus harmonisa, dan arus total. Penyelesaian: Nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa dan arus total berturut-turut adalah,5 rms,354 t) t) hrms,38,,4,8,,7,354 rms rms hrms,354,354,5 Contoh-.3 ini menunjukkan bahwa pada penyearah setengah gelombang nilai efektif komponen fundamental sama dengan nilai efektif komponen harmonisanya. CO TOH-.4: Tegangan pada sebuah kapasitor µf terdiri dari dua komponen yaitu v sinωt dan v5 sin5ωt. Jika diketahui frekuensi fundamental adalah 5 Hz, hitunglah: (a) nilai efektif arus yang diberikan oleh v ; (b) nilai efektif arus yang diberikan oleh v 5 ; (c) arus efektif total; (d) gambarkan kurva ketiga arus tersebut sebagai fungsi waktu. Penyelesaian: a). Komponen tegangan pertama adalah v sin(πt). rus yang diberikan oleh tegangan ini adalah i 6 Nilai efektifnya adalah: dv / dt 6,57 rms πcosπt,57 cosπt,89 b). Komponen tegangan ke-dua adalah v5 sin(5πt). rus yang diberikan oleh tegangan ini adalah i 5 6 dv 5,885cos5πt Nilai efektifnya adalah: c). Tegangan gabungan adalah / dt,885 5 rms 6 5πsin5πt,33 v sin(πt) sin(5πt) rus yang diberikan tegangan gabungan ini adalah Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
6 6 d i dv / dt ( v v5 ) dt,57 cosπt,885 cos5t rus ini merupakan jumlah dari dua komponen arus yang berbeda frekuensi. Kurva arus ini pastilah berbentuk nonsinus. Nilai efektif masing-masing komponen telah dihitung di jawaban (a) dan (b). Nilai efektif sinyal non sinus ini adalah rms rms rms 5,89,33,6 d). Kurva ketiga arus tersebut di atas adalah sebagai berikut. 4 i i i 5 3 detik...3.4.5.6 - - -3-4 CO TOH-.5: rus i sinωt, sin 3ωt, mengalir pada beban yang terdiri dari resistor Ω yang tersambung seri dengan induktor,5 H. Pada frekuensi 5 Hz: (a) gambarkan kurva tegangan dan arus beban; (b) tentukan nilai efektif tegangan beban dan arus beban. Penyelesaian: (a) rus beban adalah i sinωt, sin 3ωt. Tegangan beban adalah di v vr vl ir L sinωt sin 3ωt ωcosωt,3ω cos3ωt dt Kurva tegangan dan arus beban dibuat dengan sumbu mendatar dalam detik. Karena frekuensi 5 Hz, satu perioda adalah, detik. 6 4 i v.5..5 detik. - 4-4 4-6 (b). Nilai efektif arus beban adalah Tegangan beban adalah rms rms 3rms,,4 v sinωt sin 3ωt ωcosωt,3ω cos 3ωt
Nilai efektif tegangan beban, dengan ωπ, adalah rms ω (,3ω) 7.4. Daya Pada Sinyal onsinus Pengertian daya nyata dan daya reaktif pada sinyal sinus berlaku pula pada sinyal nonsinus. Daya nyata memberikan transfer energi netto, sedangkan daya reaktif tidak memberikan transfer energi netto. Kita tinjau resistor R b yang menerima arus berbentuk gelombang nonsinus Nilai efektif arus ini adalah Daya nyata yang diterima oleh R b adalah i Rb i i h Rbrms rms hrms PRb Rbrms Rb rms Rb hrms Rb (.4) Formulasi (.4) tetap berlaku sekiranya resistor ini terhubung seri dengan induktansi, karena dalam bubungan seri demikian ini daya nyata diserap oleh resistor, sementara induktor menyerap daya reaktif. CO TOH-.6: Seperti pada contoh-.5, arus i sinωt,sin3ωt mengalir pada resistor Ω yang tersambung seri dengan induktor,5 H. Jika frekuensi fundamental 5 Hz: (a) gambarkan dalam satu bidang gambar, kurva daya yang mengalir ke beban sebagai perkalian tegangan total dan arus beban dan kurva daya yang diserap resistor sebagai perkalian resistansi dan kuadrat arus resistor; (b) hitung nilai daya rata-rata dari dua kurva daya pada pertanyaan b; (c) berikan ulasan tentang kedua kurva daya tersebut. Penyelesaian: (a) Daya masuk ke beban dihitung sebagai: p v i sedangkan daya nyata yang diserap resistor dihitung sebagai: p R i R v R i R Kurva dari p dan p R terlihat pada gambar berikut. 6 W p vi p R i R v R i R 4.5..5. - detik -4 (b) Daya rata-rata merupakan daya nyata yang di transfer ke beban. Daya ini adalah daya yang diterima oleh resistor. rus efektif yang mengalir ke beban telah dihitung pada contoh-3.5. yaitu,4. Daya nyta yang diterima beban adalah Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
PR rms R (,4) W. Teorema Tellegen mengharuskan daya ini sama dengan daya rata-rata yang diberikan oleh sumber, yaitu p vi. Perhitungan dengan pendekatan numerik memberikan nilai rata-rata p adalah P rr W (c) Kurva p R selalu positif; nilai rata-rata juga positif sebesar W yang berupa daya nyata. Pada kurva p ada bagian yang negatif yang menunjukkan adanya daya reaktif; nilai rata-rata kurva p ini sama dengan nilai rata-rata kurva p R yang menunjukkan bagian nyata dari daya tampak. CO TOH-.7: Tegangan nonsinus pada terminal resistor Ω adalah v sin( ωt,5) sin(3ωt,) sin(5ωt,5) Tentukan arus efektif yang mengalir dan daya nyata yang diserap resistor. Penyelesaian: rus yang mengalir adalah v i 5 sin( ωt,5) sin(3ωt,),5sin(5ωt,5) R Nilai efektif masing-masing komponen arus adalah rus efektif yang mengalir adalah 5,5 rms ; 3rms ; 5rms rms 5 Daya nyata yang diserap resistor adalah 5 PR rms R,5,5 6,5 3,6 6,5 W CO TOH-.8: Tegangan nonsinus v sinωt sin 3ωt, terjadi pada terminal beban yang terdiri dari resistor Ω tersambung paralel dengan kapasitor 5 µf. Jika frekuensi fundamental adalah 5 Hz, (a) Tentukan persamaan arus total beban; (b) hitung daya nyata yang diserap beban. Penyelesaian: (a). rus total (i) adalah jumlah arus yang melalui resistor (i R ) dan kapasitor (i C ). v i R sin ωt,sin 3ωt R i C C rus total beban: dv dt 6 5 ( ωcosωt 3ωcos3ωt) i sin ωt,sin 3ωt,5 cosωt.5ωcos 3ωt 3
(b). rus efektif melalui resistor Rrms,,7 Daya nyata yang diserap beban adalah daya yang diserap resistor: P R,7 5 W.5. Resonansi Karena sinyal nonsinus mengandung harmonisa dengan berbagai macam frekuensi, maka ada kemungkinan salah satu frekuensi harmonisa bertepatan dengan frekuensi resonansi dari rangkaian. Frekuensi resonansi telah kita bahas di bab sebelumnya. Berikut ini kita akan melihat gejala resonansi pada rangkaian karena adanya frekuensi harmonisa. CO TOH-.9: Suatu generator 5 Hz dengan induktansi internal,5 H mencatu daya melalui kabel yang memiliki kapasitansi total sebesar 5 µf. Dalam keadaan tak ada beban tersambung di ujung kabel, tentukan frekuensi harmonisa sumber yang akan memberikan resonansi. Penyelesaian: Frekuensi resonansi adalah ωr nilah frekuensi harmonisa ke-9. LC f r 88,4 6,5 5 88,4 45 Hz π CO TOH-: Sumber tegangan satu fasa 6 k, 5 Hz, mencatu beban melalui kabel yang memiliki kapasitansi total,3 µf. Dalam keadaan tak ada beban terhubung di ujung kabel, induktansi total rangkaian ini adalah, H. Tentukan harmonisa ke berapa dari sumber yang akan membuat terjadinya resonansi pada keadaan tak ada beban tersebut. Penyelesaian: Frekuensi resonansi adalah ωr LC 569,4 rad/det 6,,3 569,4 atau f r 49,78 Hz π Resonansi terjadi jika sumber mengandung harmonisa ke-5. 4 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
BB Pembebanan on-linier Pada pembebanan nonlinier arus yang mengalir ke beban merupakan arus periodik nonsinus, walaupun sumber memberikan tegangan sinus. Pembahasan akan kita lakukan di dua sisi yaitu tinjauan di sisi beban dan tinjauan di sisi sumber. Tinjauan di sisi beban adalah melihat beban yang menerima arus nonsinus tanpa mempersoalkan bagaimana sumber melayani pembebanan yang demikian ini. Tinjauan di sisi sumber adalah melihat sumber yang bertegangan sinus namun harus memberikan arus yang nonsinus... Tinjauan Di Sisi Beban Rangkaian yang akan kita tinjau terlihat pada Gb... Sebuah sumber tegangan sinus memberikan arus pada resistor R b melalui saluran dengan resistansi R s dan sebuah pengubah arus p.i., misalnya penyearah; pengubah arus inilah yang menyebabkan arus yang mengalir di R b berbentuk gelombang nonsinus. Menurut teorema Tellegen, transfer daya elektrik hanya bisa terjadi melalui tegangan dan arus. Namun dalam tinjauan dari sisi beban ini, R b hanya melihat bahwa ada arus yang diterima olehnya. Cara bagaimana arus ini sampai ke beban tidaklah penting bagi beban. nilah arus yang diterima oleh R b. Daya nyata yang diterima oleh R b adalah.. Tinjauan Di Sisi Sumber v s i Rb i i h (.) dengan i m sin( ωt θ) k ih nm sin( nωtθn ) n PRb rms Rb hrms Rb (.) Tegangan sumber berbentuk gelombang sinus, yaitu vs s sinωt. Daya yang diberikan oleh sumber adalah tegangan sumber kali arus sumber yang besarnya sama dengan arus beban. Jadi daya keluar dari sumber adalah ps vs ( t) is ( t) s sinωt sin( ωtθ) k s sinωt ω θ n sin( n t n ) n Suku pertama (.3) memberikan daya R s p.i. i nonsinus R b Gb.33.. Pembebanan nonlinier. (.3) 5
cosθ cos(ωt θ) ps s ( sinωt sin( ωtθ) ) s (6.4) s s cosθ cos(ωtθ) Suku ke-dua dari persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol akan tetapi suku pertama mempunyai nilai tertentu. Hal ini berarti p s memberikan transfer energi netto. Suku kedua (.3) memberikan daya p sh p s sh [ sin( nω tθ ) ω t] s sinωt s n n sin n p (.5) Suku pertama persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol. Suku kedua juga mempunyai nilai rata-rata nol karena yang berada dalam tanda kurung pada (.5) berbentuk fungsi cosinus y s [ n sin( nωtθn ) sinωt] n n s { cos( ( n ) ωtθn) cos( ( n ) ωtθn) } n yang memiliki nilai rata-rata nol. Hal ini berarti bahwa p sh tidak memberikan transfer energi netto. Jadi secara umum daya yang diberikan oleh sumber pada pembebanan nonlinier dapat kita tuliskan sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu p s ps psh (.6) Dari dua komponen daya ini hanya komponen fundamental, p s, yang memberikan transfer energi netto. Dengan kata lain hanya p s yang memberikan daya nyata, yaitu sebesar s s cosθ srms rms cosθ P (.7) dengan θ adalah beda susut fasa antara v s dan i. Sementara itu P sh merupakan daya reaktif. Menurut teorema Tellegen, daya nyata yang diberikan oleh sumber harus tepat sama dengan daya yang diterima oleh beban. Daya nyata yang diterima oleh R b adalah P Rb seperti diberikan oleh persamaan (.). Daya nyata yang diberikan oleh sumber, yaitu P s haruslah diserap oleh R b dan R s..3. Kasus Penyearah Setengah Gelombang Sebagai contoh dalam pembahasan pembebanan nonlinier ini, kita akan mengamati penyearah setengah gelombang. Dengan penyearah ini, sinyal sinus diubah sehingga arus mengalir setiap setengah perioda seperti telah pernah kita temui. Rangkaian penyearah yang kita tinjau terlihat pada Gb...a. 6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
v s i s i R s v s a). v s R v R i R p R p R ωt [ o ] p R 9 8 7 36 45 54 63 7 b). Gb... Penyearah setengah gelombang dengan beban resistif. rus penyearah setengah gelombang mempunyai nilai pada setengah perioda pertama (yang positif); pada setengah perioda ke-dua, ia bernilai nol. Uraian fungsi ini sampai dengan harmonisa ke-6, telah dihitung pada Contoh-3.3 di Bab-3, yaitu,38,5 cos( ωt,57), cos(ωt ) i( t) m,4 cos(4 ),8 cos(6 ) (.8) ω t ω t Dalam rangkaian yang kita tinjau ini hanya ada satu sumber yang mencatu daya hanya kepada satu beban. Pada waktu dioda konduksi, arus sumber selalu sama dengan arus beban, karena mereka terhubung seri; tegangan beban juga sama dengan tegangan sumber karena dioda dianggap ideal sedangkan resistor memiliki karakteristik linier dan bilateral. Pada waktu dioda tidak konduksi arus beban maupun arus sumber sama dengan nol. Gb...b. memperlihatkan bahwa hanya kurva tegangan sumber yang merupakan fungsi sinus; kurva arus dan daya merupakan fungsi nonsinus. Pada persamaan (.8) arus fundamental dinyatakan dalam fungsi cosinus yaitu i m,5 cos( ωt,57) Fungsi ini tidak lain adalah pergeseran,57 rad atau 9 o ke arah positif dari fungsi cosinus yang ekivalen dengan fungsi sinus i,5 m sin( ωt) Pernyataan i dalam fungsi sinus ini sesuai dengan pernyataan bentuk gelombang tegangan yang juga dalam fungsi sinus. Dengan pernyataan yang bersesuaian ini kita dapat melihat beda fasa antara keduanya; ternyata dalam kasus penyearah setengah gelombang ini, arus fundamental sefasa dengan tegangan sumber. CO TOH-.: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi internal yang dapat diabaikan mencatu beban resistif melalui penyearah setengah gelombang. Tegangan sumber adalah v s 38sinω t dan resistansi beban R b adalah 3,8 Ω. Hitung daya nyata yang diterima oleh beban dan daya nyata yang diberikan oleh sumber. Penyelesaian: s Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah 38/3,8. Persamaan arus sampai harmonisa ke-enam menjadi 7
3,8 5 cos( ωt,57), cos(ω i ( t) 4, cos(4ωt),8 cos(6ωt) yang memberikan arus-arus efektif pada beban brms bhrms 5 ; 3,8 Daya yang diterima beban adalah P, 8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa 4,,8 35,3 t ) ; ( ) 3,8 9488 W 9,5 kw rms Rb b rms bhrms Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber adalah v s 38sinω t. Komponen arus fundamental yang diberikan oleh sumber adalah sama dengan arus fundamental beban dengan nilai efektif srms 5 / is irb 5cos( ωt,57) 5sinωt Tak ada beda fasa antara tegangan sumber dan arus fundamentalnya. Daya dikeluarkan oleh sumber adalah 38 5 P s s rms s rms 9,5 kw Hasil perhitungan dari kedua sisi tinjauan adalah sama. Daya yang diberikan oleh komponen fundamental sebagai fungsi waktu adalah s 38 5 ps t ( cos(ω t) ( cos(ω t) 9( cos(ω ) kw Gb..3 memperlihatkan kurva p s pada Contoh-. di atas. Kurva p s bervariasi sinusoidal namun selalu positif dengan nilai puncak 9 kw, dan nilai rata-rata (yang merupakan daya nyata) sebesar setengah dari nilai puncak yaitu 9,5 kw. Kurva daya yang dikontribusikan oleh komponen searah, p s yaitu suku pertama (.5), dan komponen harmonisa p sh yaitu suku ke-dua persamaan (.5), juga diperlihatkan dalam Gb..3. Kurva kedua komponen daya ini simetris terhadap sumbu waktu yang berarti memiliki nilai rata-rata nol. Dengan kata lain komponen searah dan komponen harmonisa tidak memberikan daya nyata. W 5 5-5 - -5 p s p s t [det].5..5. p sh Gb..3. Kurva komponen daya yang diberikan sumber.
Konfirmasi logis kita peroleh sebagai berikut. Seandainya tidak ada penyearah antara sumber dan beban, arus pada resistor akan mengalir sefasa dan sebentuk dengan gelombang tegangan sumber. Daya yang di keluarkan oleh sumber dalam keadaan ini adalah p s s s sin ω t 38sin cos ωt cos 38 38( cos ωt) kw Dalam hal penyearahan setengah gelombang, arus hanya mengalir setiap setengah perioda. Oleh karena itu daya yang diberikan oleh sumber menjadi setengahnya, sehingga p setengah gel 9( cos ω t ) kw, dan inilah p s. CO TOH-.: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi internal yang diabaikan, mencatu beban resistif melalui kabel dengan resistansi, Ω dan penyearah setengah gelombang. Tegangan sumber adalah v s 38sinω t dan resistansi beban R adalah 3,8 Ω. Hitung daya yang diterima oleh beban. Penyelesaian: Rangkaian sistem ini adalah seperti berikut v s 38sinω t ω t R s,ω R b 3,8Ω Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah m 38 95 3,8, Persamaan arus sampai harmonisa ke-6 menjadi,38,5 cos( ωt,57), cos(ω i( t) 95,4 cos(4ωt),8 cos(6ωt) 3, 47,5 cos( ω t,57),4 cos(ω t) 4,9 cos(4ω 3,,4 t),7cos(6ω Nilai efektif arus fundamental dan arus harmonisa total adalah 47.5 rms 33,59 ; hrms Daya yang diterima R b adalah 4,9 t),7 33,54 t ) P Rb rms Rb (33,59 33,54 ) 3,8 8563 W 9
Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber dan arus fundamental sumber adalah v s 38sinω t is irb 47,5 cos( ωt,57) 47,5 sinωt Tidak ada beda fasa antara v s dan i s. Daya nyata yang diberikan oleh sumber adalah P 38 47,5 cos o s vsrmsi rms 95 W Daya ini diserap oleh beban dan saluran. Daya yang diserap saluran adalah P saluran, isrms, ( i rms ihrms ), (33,6 33,55 ) 45,7 W Perbedaan angka perhitungan P Rb dengan (P s P saluran ) adalah sekitar,%..4. Perambatan Harmonisa Dalam sistem tenaga, beban pada umumnya bukanlah beban tunggal, melainkan beberapa beban terparalel. Sebagian beban merupakan beban linier dan sebagian yang lain merupakan beban nonlinier. Dalam keadaan demikian ini, komponen harmonisa tidak hanya hadir di beban nonlinier saja melainkan terasa juga di beban linier; gejala ini kita sebut perambatan harmonisa. Berikut ini akan kita lihat gejala tersebut pada suatu rangkaian yang mendekati situasi nyata. Gb..4. memperlihatkan rangkaian yang dimaksud. Gb..4. Sumber mencatu beban paralel linier dan nonlinier. Tegangan sumber berbentuk sinusoidal murni vs sm sinωt. Sumber ini mencatu beban melalui saluran yang memiliki resistansi R s. Beban yang terhubung di terminal -B (terminal bersama), terdiri dari beban linier R a dengan arus i a dan beban R b yang dialiri arus nonlinier i b i b i bh dengan i b adalah komponen fundamental dari i b dan i bh adalah komponen harmonisa total dari i b. Pada rangkaian sederhana ini, di sisi beban kita lihat bahwa aplikasi Hukum rus Kirchhoff di simpul, yaitu simpul bersama dari kedua beban, memberikan dan dari sini kita peroleh ( v vs ) / Rs v / Ra ( ib ibh ) Ra Rs Ra v vs ( i b i bh ) (.9) R R R R s a Jadi sebagai akibat pembebanan nonlinier di suatu beban menyebabkan tegangan di terminalbersama juga mengandung harmonisa. kibat selanjutnya adalah bahwa arus di beban lain yang terhubung ke terminal-bersama ini juga mengandung harmonisa. s v s a i s i R a s R a B R b i b i b i bh Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
v vs Rs i a ( i b i bh ) (.) R R R R R a Sementara itu di sisi sumber, dengan tegangan sumber berbentuk sinus keluar arus yang mengandung harmonisa yaitu i s i a i s s b vs R R a vs R R a s s a Rs R R a Ra Rs R s ( i a b ( i b a i bh i ) ( i bh ) b i bh ) vs sm sinωt, (.) danya komponen harmonisa pada arus sumber dan beban yang seharusnya merupakan beban linier dapat menyebabkan penambahan penyerapan daya pada saluran. Hal ini akan kita bahas kemudian. CO TOH-.3: Sebuah sumber tegangan 5 Hz, v 4sin ω t memiliki resistansi dan induktansi internal yang diabaikan. Sumber ini mencatu beban resistif R a 5 Ω melalui saluran yang memiliki resistansi Ω. Sebuah beban resistif lain yaitu R b 5 Ω dengan penyearah setengah gelombang dihubungkan paralel dengan R a. Hitunglah: (a) daya nyata yang diserap R a sebelum R b dan penyearah dihubungkan; (b) daya nyata yang diserap R b sesudah R b dan penyearah dihubungkan; (c) daya nyata yang diserap R a sesudah R b dan penyearah dihubungkan; (d) daya nyata yang diserap saluran R s ; (e) daya nyata yang diberikan sumber; (f) bandingkan daya nyata yang diberikan oleh sumber dan daya nyata yang diserap oleh bagian rangkaian yang lain. Penyelesaian: (a) Sebelum R b dan penyearah dihubungkan, rangkaian adalah seperti di samping ini. rus efektif yang mengalir dari sumber, daya nyata yang diserap R a dan R s, serta daya nyata yang diberikan sumber adalah Rarms ( 4 / ) /(5 ) 8,8 P 8,8 5 4 W ; P 8,8 8 W Ra P 8,8 4 / 48 W P P s (b) Setelah R b dan penyearah dihubungkan, rangkaian menjadi v s i s R s R a v s 4sinω t Rs R b Ra Rs i a i Rb i Rb i Rbh B i s R s Ω B R a 5Ω
Untuk menghitung i Rb kita buat rangkaian ekivalen Thévenin terlebih dulu di terminal -B. 5 v sth 4 sinωt sinωt 5 ; 5 R sth,833 5 Ω Setelah R b dihubungkan pada rangkaian ekivalen Thévenin, rangkaian menjadi i sth v sth sinω t,833ω B 5Ω i b i b i bh Nilai maksimum arus i Rb adalah Rbm 34,9,833 5 rus yang melalui R b menjadi i Rb Dari sini kita peroleh,38,5 cos( ωt,57), cos(ω 34,9,4 cos(4ωt),8 cos(6ωt),9 7,4 cos( ω t,57) 7,7 cos(ω t) Rbrms Rbhrms,47 cos(4ω,9 Daya yang diserap R b adalah 7,4, t),6 cos(6ω 7,7 /,47 t) /,6 / t). P Rb (,. ) 5 47 W (c) Untuk menghitung daya yang diserap R a setelah R b dihubungkan, kita kembali pada rangkaian semula. Hukum rus Kischhoff untuk simpul memberikan v vs v vs irb v irb Rs R a Rs R a Rs Ra Rs Ra v vs ( ib ibh ) Rs Ra Rs Ra 5 5 4 sinωt ( 7,4 sinωt ibh) 6 6 5 85,7sinωt ibh v v h 6 85,7 rms 3,3 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
v h 5 5,9 7,7 cos(ωt) ibh 6 6,47 cos(4 t),6 cos(6 t) ω ω 9,9 6,6 cos(ω t),3 cos(4ω t),5cos(6ω 6,6 hrms 9,9 Daya yang diserap R a adalah P Ra R rms a R (d) Tegangan jatuh di saluran adalah.3 hrms a,5 3,3 5,9,9 5 t) 3469 W vs vs v 4sinωt 85,7sinωt 54,9 sinωt 54,9 s rms 38,39,9 shrms hrms Daya yang diserap saluran adalah srms shrms 38,39,9 P Rs 575 W Rs Rs (e) Tegangan sumber adalah v 4sin ω t rus fundamental sumber adalah vs is 54,9 sinωt Rs Daya nyata yang diberikan sumber 4 54,9 ps srms srms 655 W R (f) Bagian lain rangkaian yang menyerap daya nyata adalah R s, R a, dan R b. Daya nyata yang diserap adalah P Rtotal PRs PRa PRb 575 3469 468 65 W Hasil ini menunjukkan bahwa daya nyata yang diberikan sumber sama dengan daya nyata yang diserap oleh bagian lain dari rangkaian (perbedaan angka adalah karena pembulatan-pembulatan)..5. Ukuran Distorsi Harmonisa Hadirnya harmonisa dalam sistem, menimbulkan dampak negatif. Oleh karena itu kehadirannya perlu dibatasi. Untuk melakukan pembatasan diperlukan ukuran-ukuran kehadiran armonisa..5.. Crest Factor Salah satu ukuran adalah crest factor, yang disefinisikan sebagai crest nilai puncak factor nilai efektif 3
.5.. Total Harmonic Distortion (THD) Total Harmonic Distortion, disingkat THD, digunakan sebagai ukuran untuk melihat berapa besar pengaruh keseluruhan adanya harmonisa terhadap sinyal sinus. Pengaruh keseluruhan harmonisa diperbandingkan terhadap komponen fundamental, karena komponen fundamental-lah yang memberikan transfer energi nyata. hrms Untuk tegangan nonsinus, THD didefinisikan sebagai THD rms (.3) hrms Untuk arus nonsinus, THD didefinisikan sebagai THD rms (.4) CO TOH-.4: Dari Contoh-., dengan nilai puncak arus, persamaan arus penyearahan setengah gelombang sampai harmonisa ke-enam adalah Hitunglah crest factor dan THD. 3,8 5 cos( ωt,57), cos(ω i ( t) 4, cos(4ωt),8 cos(6ωt) t ) Penyelesaian: Telah dihitung nilai efektif arus dalam contoh soal tersebut brms 5 ; bhrms 3,8, 4,,8 35,3 Nilai efektif arus adalah rms 5 / 35,3 49,7 Crest factor adalah: c. f. ; 49, hrms 35,3 THD adalah: THD atau % rms 5 / Crest factor dan THD hanyalah tergantung bentuk dan tidak tergantung dari nilai mutlak arus. ngka yang sama akan kita peroleh jika nilai puncak arus hanya ampere. Hal ini dapat dimengerti karena persamaan arus secara umum adalah n maks i( t) ω ϕ m n cos( n t n ) n sehingga dalam perhitungan rms, rms, dan hrms faktor m akan terhilangkan. 4 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
CO TOH-.5: Tentukan crest factor dan THD arus yang mengalir dari sumber tegangan sinusoidal v sinωt yang mencatu arus ke beban resistif Ω melalui saklar sinkron yang menutup setiap paruh ke-dua dari tiap setengah perioda. Kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini. Penyelesaian: Uraian bentuk gelombang arus seperti pada gambar di atas hanya memiliki harmonisa ganjil. Pendekatan numerik dari bentuk gelombang arus seperti yang digambarkan di atas memberikan spektrum amplitudo sampai harmonisa ke- sebagai berikut: rus ini tidak memiliki komponen searah. Nilai efektif arus adalah brms 83,79 44,96 4,83 4,83 8,7 Nilai puncak arus terjadi pada t,5 detik; bm 4,4. 4,4 Crest factor adalah c. f. bm brms 69,4 8,7 69,4 Nilai efektif komponen fundamental dan komponen harmonisa total, berturut-turut adalah 83,8 rms 58,84 ; hrms [] [] 9 8 7 6 5 4 3 3 v s (t)/5 i s (t) [detik],, - - -3. 45, 83.79 44.96 4,96 4.83 4.83 8.7 8.7 3 45 75 96 7 harmonisa 4,96 8,93 8,93 34,73 34,73 Total Harminis Distortion arus adalah THD,6 atau 6%. 58,84 5
Dalam menentukan THD data yang diperlukan adalah spektrum amplitudo; spektrum sudut fasa tidak diperlukan. Namun untuk keperluan lain spektrum sudut fasa tetap diperlukan. 6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
BB 3 Tinjauan di Kawasan Fasor Dalam bab ini kita akan meninjau sinyal nonsinus melalui pengertian fasor. Konsep fasor sendiri telah kita bahas di buku bagian pertama. 3.. Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Fasor Sebagaimana dijelaskan di Bab- sub-bab.3., suatu sinyal sinus di kawasan waktu dinyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus seperti pada persamaan (.7.a) v( t) cos[ ω t φ] dengan adalah amplitudo sinyal, ω adalah frekuensi sudut, dan φ adalah sudut fasa yang menunjukkan posisi puncak pertama fungsi cosinus. Pernyataan sinyal sinus menggunakan fungsi cosinus diambil sebagai pernyataan standar. Dalam Bab- dijelaskan bahwa jika seluruh sistem bekerja pada satu frekuensi tertentu, ω, maka sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fasor dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Untuk suatu sinyal sinus yang di kawasan waktu dinyatakan sebagai v ( t) cos( ωt θ) maka di kawasan fasor ia dituliskan dalam format kompleks sebagai jθ e dengan adalah nilai puncak sinyal. Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja, maka pernyataan sinyal dalam fasor biasa dituliskan seperti pada (.5) yaitu θ cosθ jsinθ yang dalam bidang kompleks digambarkan sebagai diagram fasor seperti pada Gb.3..a. pabila sudut fasa θ o maka pernyataan sinyal di kawasan waktu menjadi o v( t) cos( ωt) yang dalam bentuk fasor menjadi dengan diagram fasor seperti pada Gb.4..b. Suatu sinyal yang di kawasan waktu dinyatakan sebagai o v ( t) sin( ωt) cos( ωt π / ) di kawasan fasor menjadi 9 dengan diagram fasor seperti Gb.3..c m m θ o θ Re Re a). b). c). m Gb.3.. Diagram fasor fungsi: a) v ( t) cos( ωt θ) ; b) v( t) cos( ωt) ; c) v( t) sin( ωt). Dalam meninjau sinyal nonsinus, kita tidak dapat menyatakan satu sinyal nonsinus dengan menggunakan satu bentuk fasor tertentu karena walaupun sistem yang kita tinjau beroperasi pada satu macam frekuensi (5 Hz misalnya) namun arus dan tegangan yang kita hadapi Re o 9 7
mengandung banyak frekuensi. Oleh karena itu satu sinyal nonsinus terpaksa kita nyatakan dengan banyak fasor; masing-masing komponen sinyal nonsinus memiliki frekuensi sendiri. Selain dari pada itu, uraian sinyal sinyal nonsinus ke dalam komponen-komponennya dilakukan melalui deret Fourier. Bentuk umum komponen sinus sinyal ini adalah yang dapat dituliskan sebagai i ( t) a cos nωt b sin nωt n n in ( t) an bn cos( nωt θn ) yang dalam bentuk fasor menjadi n an bn θn dengan n θ tan Mengacu pada Gb.3., diagram fasor komponen sinyal ini adalah seperti pada Gb.3.. m b a n n θ a n Re b n n a n b n θ Gb.3.. Fasor komponen arus nonsinus dengan a n > dan b n >. Fasor n pada Gb.3.. adalah fasor komponen arus jika a n positif dan b n positif. Fasor ini leading terhadap sinyal sinus sebesar (9 o θ). Gb.3.3 berikut ini memperlihatkan kombinasi nilai a n dan b n yang lain. m m m b n b n a n θ Re a n θ Re θ a n Re b n a n negatif, b n positif n lagging (9 θ) terhadap sinyal sinus o n an bn (8 θ) a n negatif, b n negatif n lagging (9 θ) terhadap sinyal sinus o n an bn (8 θ) a n positif, b n negatif n leading (9 θ) terhadap sinyal sinus n an bn θ Gb.3.3. Fasor komponen arus nonsinus untuk berbagai kombinasi nilai a n dan b n. Perlu kita perhatikan bahwa pernyataan fasor dan diagram fasor yang dikemukakan di atas menggunakan nilai puncak sinyal sebagai besar fasor. Dalam analisis daya, diambil nilai efektif sebagai besar fasor. Oleh karena itu kita perlu memperhatikan apakah spektrum amplitudo sinyal nonsinus diberikan dalam nilai efektif atau nilai puncak. 8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa
CO TOH-3.: Dalam Contoh-3.3 di Bab-3 uraian di kawasan waktu arus penyearahan setengah gelombang dengan nilai maksimum m adalah,38,5 cos( ωt,57), cos(ωt ),4 cos(4ωt) i( t) m,8 cos(6 ). cos(8 ).7 cos( ) ω t ω t ω t Nyatakanlah sinyal ini dalam bentuk fasor. Penyelesaian: Formulasi arus i(t) yang diberikan ini diturunkan dari uraian deret Fourier yang komponen fundamentalnya adalah i ( t),5 sinωt ; jadi sesungguhnya komponen ini adalah fungsi sinus di kawasan waktu. Jika kita mengambil nilai efektif sebagai besar fasor, maka pernyataan arus dalam bentuk fasor adalah,5 m o, m o,4 m o,38 m ; 9 ; ; 4 ;,8 m o, m o,7 m o 6 ; 8 ; ; Diagram fasor arus-arus pada Contoh-3. di atas, dapat kita gambarkan (hanya mengambil tiga komponen) seperti terlihat pada Gb. 3.4. 4 Gb.3.4. Diagram fasor arus fundamental, harmonisa ke-, dan harmonisa ke-4 Persamaan arus pada Contoh-3. yang dinyatakan dalam fungsi cosinus dapat pula dinyatakan dalam fungsi sinus menjadi,38,5 sin( ωt), sin(ωt,57),sin(4ωt,57) i( t) m,8sin(6,57). cos(8 ).7 cos( ) ω t ω t ω t Jika komponen sinus fundamental digunakan sebagai referensi dengan pernyataan o fasornya rms, maka masing-masing komponen arus ini dapat kita nyatakan dalam fasor sebagai:,5 m o, m o,38 m ; ; 9 ;,4 m o,8 m o 4 9 ; 6 9 ;... Diagram fasor-fasor arus ini dapat kita gambarkan seperti terlihat pada Gb.3.5. 9
Gb.3.5. Diagram fasor arus fundamental, harmonisa ke-, dan harmonisa ke-4 Diagram fasor arus pada Gb.3.5 tidak lain adalah diagram fasor pada Gb.3.4 yang diputar 9 o ke arah positif karena fungsi sinus dijadikan referensi dengan sudut fasa nol. Nilai fasor dan selisih sudut fasa antar fasor tidak berubah. Dengan menggunakan Gb.3.5. ini, kita lihat bahwa komponen harmonisa ke- leading 9 o dari komponen fundamental; demikian juga dengan komponen harmonisa ke-4. Namun fasor harmonisa ke- berputar kearah positif dengan frekuensi dua kali lipat dibanding dengan komponen fundamental, dan fasor harmonisa ke-4 berputar kearah positif dengan frekuensi empat kali lipat dibanding komponen fundamental. Oleh karena itulah mereka tidak dapat secara langsung dijumlahkan. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan menggunakan cara penggambaran fasor seperti pada Gb.3.4 dimana fasor referensi adalah fasor dari sinyal sinus yang dinyatakan dalam fungsi cosinus dan memiliki sudut fasa nol. Hal ini perlu ditegaskan karena uraian arus nonsinus ke dalam deret Fourier dinyatakan sebagai fungsi cosinus sedangkan tegangan sumber biasanya dinyatakan sebagai fungsi sinus. Fasor tegangan sumber akan berbentuk o s srms 9 dan relasi-relasi sudut fasa yang tertulis pada Gb.3.3 akan digunakan. Contoh-3.: Gambarkan diagram fasor sumber tegangan dan arus-arus berkut ini vs srms sinωt sinωt, rms 3 3 o lagging dari tegangan sumber dan rms 5 9 o leading dari tegangan sumber. Penyelesaian: 4 m 3 o Re 3... mpedansi Karena setiap komponen harmonisa memiliki frekuensi berbeda maka pada satu cabang rangkaian yang mengandung elemen dinamis akan terjadi impedansi yang berbeda untuk setiap komponen. Setiap komponen harmonisa dari arus nonsinus yang mengalir pada satu cabang rangkaian dengan elemen dinamis akan mengakibatkan tegangan berbeda. CO TOH-3.3: rus i sinωt 7sin 3ωt 3sin 5ωt mengalir melalui resistor 5 Ω yang terhubung seri dengan kapasitor µf. Jika frekuensi fundamental adalah 5 Hz, hitung tegangan puncak fundamental dan tegangan puncak setiap komponen harmonisa. (a) Reaktansi dan impedansi untuk frekuensi fundamental adalah 6 X C /(π 5 ) 59,5 Z 5 59,5 59, 3Ω 3 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa s
Tegangan puncak fundamental adalah m Z m 59,3 3,85 k (b) mpedansi untuk harmonisa ke-3 adalah X X / 3 53,5 Z 5 53,5 53, 9Ω C 3 C Tegangan puncak harmonisa ke-3 adalah 3 3 m Z3 3m 53,9 7 3,73 k (c) mpedansi untuk harmonisa ke-5 adalah X X / 5 3,83 Z 5 3,83 3, Ω C 5 C Tegangan puncak harmonisa ke-5 adalah 3 5 m Z5 5m 3, 3,97 k 3..3. ilai Efektif Sebagaimana telah dibahas dalam bab sebelumnya, sinyal nonsinus dipandang sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu komponen fundamental dan komponen harmonisa total. Nilai efektif suatu sinyal periodik nonsinus y, adalah Y Y rms rms Yrms Yhrms (3.) Y dengan : nilai efektif komponen fundamental. hrms : nilai efektif komponen harmonisa total. Karena komponen ke-dua, yaitu komponen harmonisa total, merupakan gabungan dari seluruh harmonisa yang masih diperhitungkan, maka komponen ini tidak kita gambarkan diagram fasornya; kita hanya menyatakan nilai efektifnya saja walaupun kalau kita gambarkan kurvanya di kawasan waktu bisa terlihat perbedaan fasa yang mungkin terjadi antara tegangan fundamental dan arus harmonisa total. 3.. Sumber Tegangan Sinusiodal Dengan Beban onlinier Sebagaimana dijelaskan di bab sebelumnya, pembebanan nonlinier terjadi bila sumber dengan tegangan sinus mencatu beban dengan arus nonsinus. rus nonsinus mengalir karena terjadi pengubahan arus oleh pengubah arus, seperti misalnya penyearah atau saklar sinkron. Dalam analisis di kawasan fasor pada pembebanan non linier ini kita perlu memperhatikan hal-hal berikut ini. 3... Daya Kompleks Sisi Beban. Jika tegangan pada suatu beban memiliki nilai efektif brms dan arus nonsinus yang mengalir padanya memiliki nilai efektif brms, maka beban ini menyerap daya kompleks sebesar S b brms brms (3.) 3
Kita ingat pengertian mengenai daya kompleks yang didefinisikan pada persamaan (4.9) di * Bab-4 sebagai S. Definisi ini adalah untuk sinyal sinus murni. Dalam hal sinyal nonsinus kita tidak menggambarkan fasor arus harmonisa total sehingga mengenai daya kompleks hanya bisa menyatakan besarnya, yaitu persamaan (3.), tetapi kita tidak menggambarkan segitiga daya. Segitiga daya dapat digambarkan hanya untuk komponen fundamental. Sisi Sumber. Daya kompleks S s yang diberikan oleh sumber tegangan sinus vs sm sin ωt yang mengeluarkan arus nonsinus bernilai efektif 3... Daya yata srms shrms adalah Seperti halnya dengan daya kompleks, impedansi beban hanya dapat kita hitung besarnya dengan relasi (3.6) akan tetapi tidak dinyatakan dalam format kompleks seperti (a jb). 3 Sudaryatno Sudirham, nalisis Harmonisa srms sm S s srms srms srms (3.3) Sisi Beban. Jika suatu beban memiliki resistansi R b, maka beban tersebut menyerap daya nyata sebesar P b brms Rb ( b rms bhrms) Rb W (3.4) di mana total. b rms adalah arus efektif fundamental dan bhrms adalah arus efektif harmonisa Sisi Sumber. Dilihat dari sisi sumber, daya nyata dikirimkan melalui komponen fundamental. Komponen arus harmonisa sumber tidak memberikan transfer energi netto. P s srms rmscosϕ W (3.5) ϕ adalah beda sudut fasa antara tegangan dan arus fundamental sumber, dan cosϕ adalah faktor daya pada komponen fundamental yang disebut displacement power factor. 3..3. Faktor Daya Sisi Beban. Dengan pengertian daya kompleks dan daya nyata seperti diuraikan di atas, maka faktor daya rangkaian beban dapat dihitung sebagai Sisi Sumber. Faktor daya total, dilihat dari sisi sumber, adalah 3..4. mpedansi Beban P b f.d. beban (3.5) Sb Ps f.d. s (3.6) Ss Reaktansi beban tergantung dari frekuensi harmonisa, sehingga masing-masing harmonisa menghadapi nilai impedansi yang berbeda-beda. Namun demikian nilai impedansi beban secara keseluruhan dapat dihitung, sesuai dengan konsep tentang impedansi, sebagai brms Z b Ω (3.6) brms
3..5. Teorema Tellegen Sebagaimana dijelaskan dalam Bab-7, teorema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian elektrik harus ada perimbangan yang tepat antara daya yang diserap oleh elemen pasif dengan daya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip konservasi energi. Sebagaimana telah pula disebutkan teorema ini juga memberikan kesimpulan bahwa satu-satunya cara agar energi dapat diserap dari atau disalurkan ke suatu bagian rangkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya. Teorema ini berlaku baik untuk rangkaian linier maupun non linier. Teorema ini juga berlaku baik di kawasan waktu maupun kawasan fasor untuk daya kompleks maupun daya nyata. Fasor tidak lain adalah pernyataan sinyal yang biasanya berupakan fungsi waktu, menjadi pernyataan di bidang kompleks. Oleh karena itu perhitungan daya yang dilakukan di kawasan fasor harus menghasilkan angka-angka yang sama dengan perhitungan di kawasan waktu. 3.3. Contoh-Contoh Perhitungan CO TOH-3.4: Di terminal suatu beban yang terdiri dari resistor R b Ω terhubung seri dengan induktor L b,5 H terdapat tegangan nonsinus v s sinω t. Jika frekuensi fundamental adalah 5 Hz, hitunglah: (a) daya nyata yang diserap beban; (b) impedansi beban; (c) faktor daya beban; Penyelesaian: (a) Tegangan pada beban terdiri dari dua komponen yaitu komponen searah dan komponen fundamental: dan o 9 rus komponen searah yang mengalir di beban adalah b / Rb / rus efektif komponen fundamental di beban adalah rms brms Zb Nilai efektif arus rangkaian total adalah (π,5),74 brms b b rms,74 4,68 Daya nyata yang diserap beban sama dengan daya yang diserap R b karena hanya R b yang menyerap daya nyata. P Rb brms Rb 4,68 54 W (b) mpedansi beban adalah rasio antara tegangan efektif dan arus efektif beban. brms rms 5 33