Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma 6 f g Ambil sebarang f F,, R sehingga: (( ) f )( ( ) f ( Karena (( ) f )( untuk setiap x sehingga f f f Aksioma 7 Ambil sebarang f F,, R sehingga: (( ) f )( ( ) ( definisi perkalian skalar ) ( sifat asosiatif bilangan real ) Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati - 11 -
( f )( (definisi perkalian skalar ) ( f ) ( (definisi perkalian skalar ) Karena (( ) f )( ( f ) ( untuk setiap x sehingga ( ) f f Aksioma 8 ( 1 f )( 1, untuk setiap x sehingga 1 f f Berikut diberikan sifat-sifat yang selalu dimiliki oleh suatu ruang vektor Sifat-sifat ini tidak diangkat menjadi aksioma pada ruang vektor karena dengan memenuhi kedelapan aksioma, maka sifat-sifat berikut pasti dipenuhi Lemma 112 Andaikan V adalah suatu ruang vektor, untuk setiap v V, R berlaku: a 0 v 0 b 1 v v 0 c 0 0 Bukti: a 0 v 0 Perlu diingat bahwa selalu berlaku: v ( 1 0) v 1 v 0 v Jika kedua sisi ditambahkan invers jumlah vektor v, yaitu ( v ) maka diperoleh: Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati - 12 -
v v v v 0 v 0 0 0 v 0 0 v b 1 v v 0 c 0 0 1 v v 1 v 1 v ( 1 1) v 0 v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Latihan 111 1 Tentukan elemen nol pada himpunan himpunan berikut relatif terhadap definisi operasi yang bersangkutan: a Himpunan semua matriks ordo 2 4 terhadap operasi matriks standar b Himpunan semua fungsi f : 0 1 R f adalah fungsi kontinu terhadap operasi matriks standar a 0 c Himpunan M2 2 a, b R terhadap operasi matriks standarnya 0 b d Himpunan R, terhadap operasi perkalian kalar standar, dan operasi penjumlahan yang disefinisikan sebagai berikut: ( x x' 1, y y' 1, Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati - 1 -
2 Seperti dalam soal no 1, carilah invers dari sebarang elemen pada himpunan yang bersangkutan Tunjukkan bahwa setiap himpunan berikut merupakan ruang vektor: 2 4 4, a Himpunan semua polinomial linear P a bx cx dx ex a, b, c, d e R terhadap operasi jumlah dan perkalian standar polinomial b Himpunan semua matriks ordo dengan entri entrinya elemen bilangan real, terhadap operasi jumlah matriks dan perkalian skalar matriks standar c Himpunan A ( x, y, R x y 0 terhadap operasi jumlah dan perkalian skalar standar untuk R d Himpunan F a cos bsin a, b R terhadap operasi : ( a cos bsin ) ( a'cos b'sin ) ( a a')cos ( b b')sin ( a cos bsin ) ( a)cos ( b)sin d 2 f dx 2 e Himpunan L f : R R f 0 terhadap operasi standarnya f Himpunan semua bilangan real positif terhadap operasi: Penjumlahan : a b a b dan perkalian skalar a a g Himpunan bagian dari himpunan polinomial berderajat n, untuk n berhingga, yaitu Pn ' p( Pn p( p( terhadap operasi standar pada P n 4 Ujilah himpunan berikut apakah memmbentuk ruang vekto atau tidak, terhadap operasi yang didefinisikan kepadanya: Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati - 14 -
a Himpunan semua R dengan operasi jumlah didefinisikan sebagai berikut : ( x x', y dan operasi perkalian skalar : ( ( x,( 1) y, b Himpunan semua R dengan operasi jumlah didefinisikan sebagai berikut : ( x x', y dan operasi perkalian skalar : ( ( x, 2 y, c Himpunan semua R dengan operasi jumlah didefinisikan sebagai berikut : ( x x', y dan operasi perkalian skalar : ( ( 0, 0, 0) 5 Andaikan V adalah ruang vektor dan : V R sedemikian sehingga: ( a b) ( a) ( b), a, b R ( a ) ( a), a R, R Tunjukkan bahwa himpunan N a V ( a) 0 membentuk ruang vektor terhadap operasi tersebut 6 Andaikan V adalah ruang vektor dan S adalah himpunan bagian tak kosong dengan s S elemen tertentu Selanjutnya didefinisikan e s : F S, V V dengan e s ( f ) f ( s) dan F S, V adalah himpunan semua fungsi dari S ke V yang membentuk suatu ruang vektor terhadap operasi standarnya Tunjukkan bahwa K f F S, V es ( f ) 0 membentuk ruang vektor terhadap operasi yang didefinisikan pada ruang vektor F S, V Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati - 15 -
7 Diberikan V, W suatu ruang vektor Dibentuk suatu himpunan V W ( a, b) a V, b W Pada himpunan tersebut didefinisikan operasi jumlah dan perkalian skalar sebagai berikut: a, b a ', b' a a', b b' dan a b a, b 8 Andaikan V adalah ruang vektor dan S adalah himpunan bagian tak kosong dengan s, t S Didefinisikan : : F S, V V V dengan ( f ) f ( s), f ( t) Tunjukkan bahwa himpunan N f F S, V ( f ) 0 membentuk ruang vektor terhadap operasi yang didefinisikan pada F S, V 9 Andaikan 0 adalah himpunan semua barisan bilangan real Tunjukkan 0 membentuk ruang vektor terhadap operasi standar untuk penjumlahan barisan dan perkalian bilangan real pada barisan 10 Andaikan S himpunan tak kosong, dan F (S) adalah ruang vektor fungsi bernilai real pada S Jika A, B S tunjukkan bahwa : F ( S, A) F( S, B) F( S, A B) Jika A B, tunjukkan bahwa F ( S, A) memuat F ( S, B) 11 Andaikan C himpunan semua fungsi y f (, x, yang memenuhi persamaan deferensial y " y' 2y 0 Tunjukkan bahwa C membentuk ruang vektor Bab I - Definisi Ruang Vektor_Karyati - 16 -