METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS Mardhika WA 1, Syamsdhha 2, Aziskhan 2 mardhikawirahadi@nriacid 1 Mahasiswa Program Stdi S1 Matematika 2 Laboratorim Komptasi Jrsan Matematika Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan Alam Universitas Ria Kamps Binawidya Pekanbar (28293), Indonesia ABSTRACT The aim of this paper is to solve a heat eqation by sing Interval Finite Difference method The method is the modified form of Finite Difference Method which incldes the error terms of the corresponding conventional method It gives a soltion in interval form which consists all of the possible nmerical error Keywords: Heat eqation, Finite Difference Method, Finite Difference Interval Method 1 PENDAHULUAN Persamaan panas merpakan persamaan diferensial parsial orde da dengan bentk mm sebagai berikt : dengan syarat awal t (,t) = α2 2 2(,t), a b, t (1) (,) = f(), a b (2) (a,t) = (b,t) =, t > (3) dengan konstanta α merpakan koefisien difsi Penyelesaian dari persamaan (1) merpakan temperatr pada titik disepanjang batang homogen yang panjangnya (b a) pada wakt t Untk memperoleh solsi dari persamaan panas tersebt dapat diselesaikan secara nmerik, salah satnya dengan metode Finite Difference Tetapi pada penggnaannya metode tersebt mengabaikan galat pemotongan(trncation error) Dalam penelitian ini, penlis ingin mengetahi bagaimana jika metode tersebt dikembangkan dengan penerapan analisis interval sehingga tidak mengabaikan galat pemotongan 1
Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 2 2 METODE FINITE DIFFERENCE Untk mendapatkan bentk diskrit persamaan panas pada persamaan (1) dengan syarat awal (2) (3) dengan interval wakt [,T], pilih bilangan blat n dan m sebagai partisi dari dan t Kemdian akan diperolah mesh constant h dan k dengan h = L/n dan k = T/m Maka diperoleh titik grid ( i,t j ), dimana i = ih ntk i =,1,,n dan t j = jk ntk j =,1,,m Dengan menggnakan Teorema Taylor Da Variabel [6], diperoleh formla Backward Difference trnan pertama berorde O(k) pada langkah ke j dalam t sebagai berikt: t ( i,t j ) = ( i,t j ) ( i,t j 1 ) + k k 2 2 t ( i,µ j ), (4) dengan µ i (t j 1,t j ) Karena galat pemotongan diabaikan yait k ( 2 2 t i,µ j ) dan Pendekatan i,t j akan dibentk dalam notasi indeks ganda i,j pendekatan ntk ( i,t j ) dengan i = +ih,t i = t +jk Maka dalam indeks ganda persamaan (4) dapat ditlis sebagai pendekatan diskrit ntk trnan pertama orde O(k) menjadi t i,j i,j 1 (5) i,j k Formla Forward Difference trnan pertama berorde O(k) pada langkah ke j dalam t sebagai berikt: t ( i,t j ) = ( i,t j+1 ) ( i,t j ) k k 2 2 t ( i,µ j ), (6) dengan µ i (t j,t j+1 ) dan karena galat pemotongan diabaikan yait k ( 2 2 t i,µ j ), maka dalam indeks ganda persamaan (6) dapat ditlis sebagai pendekatan diskrit ntk trnan pertama orde O(k) menjadi t i,j+1 i,j (7) i,j k Dan formla Central Difference trnan keda orde O(k 2 ) sebagai berikt : 2( i,t j ) = ( i 1,t j ) 2( i,t j )+( i+1,t j ) h2 4 h 2 12 4(ξ i,t j ) (8) dimana ξ i ( i 1, i+1 ) Karena galat pemotongan yang diabaikan yait h2 4 12 4(ξ i,t j ), pendekatan diskrit i,j ntk persamaan (8) yait 2 i 1,j 2 i,j + i+1,j (9) i,j h 2
Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 3 21 Metode Backward Difference ntk Persamaan Panas Dengan mensbtitsi persamaan (5) dan persamaan (9) ke persamaan panas pada persamaan (1), diperoleh i,j i,j 1 k α 2 i 1,j 2 i,j + i+1,j h 2 =, (1) serta Memisalkan λ = α 2 k h2, maka akan diperoleh λ i 1,j +(1+2λ) i,j λ i+1,j = i,j 1, (11) ntk i = 1,2,,n 1, j = 1,2,3,,m dengan syarat awal i, = f( i ), (12),j = n,j =,j = 1,2,,m (13) Persamaan (11) merpakan formla metode Backward Difference yang dignakan ntk menyelesaikan persamaan panas 22 Metode Forward Difference ntk Persamaan Panas Sbtitsi persamaan (7) dan persamaan (9) ke persamaan panas pada persamaan (1), sehingga diperoleh i,j+1 i,j k α 2 i 1,j 2 i,j + i+1,j h 2 =, (14) serta Memisalkan λ = α 2 k h2, maka akan diperoleh i,j+1 = λ i 1,j +(1 2λ) i,j +λ i+1,j, (15) ntk i = 1,2,,n 1, j = 1,2,3,,m dengan syarat awal i, = f( i ), (16),j = n,j = (17) Persamaan (15) merpakan formla metode Forward Difference yang dignakan ntk menyelesaikan persamaan panas
Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 4 3 METODE FINITE DIFFERENCE INTERVAL 31 Metode Backward Difference Interval ntk Persamaan Panas Perhatikan persamaan (4) dan (8), karena galat pemotongan akan dirbah kedalam bentk interval maka perl didapatkan interval yang memat 2 ( 2 t i,µ j ) dan 4 (ξ 4 i,t j ), dengan µ i (t j 1,t j ) dan ξ i ( i 1, i+1 ) Dari persamaan (1) diperolah t 2(,t) = 3 α2 t 2(,t) (18) dan 4 4(,t) = 1 3 α 2 t 2(,t) (19) Dengan mengasmsikan 3 t 2(,t) M, L, t T, (2) maka akan diperoleh t 2( i,µ j ) α 2 [ M,M] (21) dengan µ i (t j 1,t j ) dan 4 4(ξ i,t j ) 1 [ M,M] (22) α2 dengan ξ j ( i 1, i+1 ) Kemdian sbtitsi persamaan (4 dan persamaan (8) ke persamaan (1) serta memisalkan λ = α 2 k akan diperoleh h2 (1+2λ) i,j λ i 1,j λ i+1,j = i,j 1 α 2kh2 12 4 4(ξ i,t j ) k2 2 2 t ( i,µ j ) (23) dengan i,j pendekatan ntk ( i,y j ) Kemdian sbtitsi persamaan (21) dan (22) ke persamaan (23) maka diperoleh (1+2λ)U i,j λu i 1,j λu i+1,j = U i,j 1 kh2 12 [ M,M] α2k2 [ M,M] (24) 2 dimana U i,j = [ i,j, i,j ], ntk i = 1,2,,n 1, j = 1,2,3,,m, dengan syarat awal U i, = F([ih,ih]),i =,1,,n, (25) U,j = U n,j = [,],j = 1,2,,m (26) Persamaan(24) merpakan formla metode Backward Difference Interval yang dignakan ntk menyelesaikan persamaan panas Dalam bentk matrik, persamaan (24) dapat ditliskan sebagai berikt AU (j) = U (j 1),j = 1,2,,m, (27)
dengan dan Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 5 1+2λ λ λ 1+2λ λ A =, λ 1+2λ λ λ 1+2λ U 1,j U 1,j 1 +R U 2,j U 2,j 1 +R U 3,j dan U (j 1) = U 3,j 1 +R U (j) = U n 1,j U n 1,j 1 +R R = kh2 12 [ M,M] α2k2 [ M,M] (28) 2 Dengan nilai M adalah sebagai berikt M 15 kh 2maks i=1,,n 1,j=1,,m 1 i 1,j i 1,j 1 2 i,j i,j 1 + i+1,j i+1,j 1 (29) 32 Metode Forward Difference Interval ntk Persamaan Panas Perhatikan persamaan (6) dan (8), karena galat pemotongan akan dirbah kedalam bentk interval maka perl didapatkan interval yang memat 2 ( 2 t i,µ j ) dan 4 (ξ 4 i,t j ), dengan µ i (t j,t j+1 ) dan ξ i ( i 1, i+1 ) Dari persamaan (1) diperoleh t 2(,t) = 3 α2 t 2(,t) (3) dan 4 4(,t) = 1 3 α 2 t 2(,t) (31) Dengan mengasmsikan 3 t 2(,t) M, L, t T (32) sehingga diperoleh dengan µ i (t j,t j+1 ) dan t 2( i,µ j ) α 2 [ M,M] (33) 4 4(ξ i,t j ) 1 [ M,M] (34) α2
Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 6 dengan ξ j ( i 1, i+1 ) Kemdian sbtitsi persamaan (6) dan (8) ke persamaan (1) serta dengan Memisalkan λ = α 2 k akan diperoleh h2 i,j+1 = (1 2λ) i,j +λ i 1,j +λ i+1,j α 2kh2 12 4 4(ξ i,t j )+ k2 2 2 t ( i,µ j ) (35) dengan i,j pendekatan ntk ( i,y j ) Kemdian sbtitsi persamaan (33) dan (34) ke persamaan (35)maka diperoleh U i,j+1 = (1 2λ)U i,j +λu i 1,j +λu i+1,j kh2 12 [ M,M]+α2k2 [ M,M] (36) 2 dimana U i,j = [ i,j, i,j ], ntk i = 1,2,,n 1, j = 1,2,3,,m,dengan syarat awal U i, = F([ih,ih]),i =,1,,n, (37) U,j = U n,j = [,],j = 1,2,,m (38) Persamaan (36) merpakan formla metode Forward Difference Interval yang dignakan ntk menyelesaikan persamaan panas Dalam bentk matrik, persamaan (36) dapat ditliskan sebagai berikt dengan dan U (j) = U (j) = AU (j 1) +r,j = 1,2,,m 1, (39) 1 2λ λ λ 1 2λ λ A =, λ 1 2λ λ λ 1 2λ U 1,j U 1,j 1 U 2,j U 2,j 1 U 3,j,U (j 1) = U 3,j 1 dan r = U n 1,j U n 1,j 1 R = α 2k2 kh2 [ M,M] [ M,M] (4) 2 12 Dengan nilai M adalah sebagai berikt M 15 kh 2maks i=1,,n 1,j=,,m 2 i 1,j+1 i 1,j R R Ṛ R 2 i,j+1 i,j + i+1,j+1 i+1,j (41)
Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 7 4 Contoh Nmerik Misalkan sebatang kawat berkran 1 meter yang diberi aliran panas disepanjang smb selama,5 detik Bentk mm persamaan panas, yait dengan syarat awal t (,t) = 2 2(,t), < < 1, t (42) (,) = sin(π), 1 (43) (,t) = (1,t) =, t > (44) Permasalahan diatas akan diselesaikan secara nmerik yait menggnakan metode Finite Difference dan metode Finite Difference Interval Dengan memilih n = 2, m = 8, karena telah didefinisikan h = (b a)/n = (1 )/2 sehingga diperoleh h =,5 dan k = T/m =,5/8 maka diperoleh k =,625 Kemdian nilai M = 145 ntk metode Backward Difference Interval yang diperoleh dari persamaan (29) serta M = 97 ntk metode Forward Difference Interval yang diperoleh dari persamaan (41) Hasil komptasi nmerik dapat dilihat pada tabel berikt : Tabel 1: Solsi nmerik dengan menggnakan metode Backward Difference dan metode Backward Difference Interval dengan nilai M = 145, serta solsi nmerik dengan menggnakan metode Forward Difference dan metode Forward Difference Interval dengan nilai M = 97 i i ( i,t j ) i,j [W i,j,u i,j ] v i,j [Z i,j,v i,j ] [, ] [, ] 1 5 955 957 [949, 966] 9545 [9528, 9562] 2 1 1887 1891 [1876, 197] 18856 [18825, 18887] 3 15 2772 2779 [2758, 28] 2772 [2766, 27744] 4 2 3588 3597 [3572, 3623] 35866 [35815, 35917] 5 25 4317 4328 [4299, 4356] 43147 [4389, 4325] 6 3 4939 4952 [4921, 4982] 49365 [4933, 49427] 7 35 544 5453 [5421, 5486] 54368 [5432, 54434] 8 4 586 5821 [5787, 5855] 5832 [57964, 581] 9 45 3 45 [11, 8] 268 [198, 338] 1 5 15 12 [86, 155] 119 [949, 189] 11 55 3 45 [11, 8] 268 [198, 338] 12 586 5821 [5787, 5855] 5832 [57964, 581] 13 5 544 5453 [5421, 5486] 54368 [5432, 54434] 14 7 4939 4952 [4921, 4982] 49365 [4933, 49427] 15 75 4317 4328 [4299, 4356] 43147 [4389, 4325] 16 8 3588 3597 [3572, 3623] 35866 [35815, 35917] 17 85 2772 2779 [2758, 28] 2772 [2766, 27744] 18 9 1887 1891 [1876, 197] 18856 [18825, 18887] 19 95 955 957 [949, 966] 9545 [9528, 9562] 2 1 [, ] [, ] Pada Tabel 1, kolom ( i,t j ) menyatakan solsi eksak Kolom i,j merpakan solsi nmerik dengan metode Backward Difference Sedangkan pada kolom [W i,j,u i,j ]
Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 8 merpakan solsi nmerik dengan metode Backward Difference Interval, U i,j merpakan solsi interval atas dan W i,j merpakan interval bawah Kolom v i,j merpakan solsi nmerik yang dengan metode Forward Difference Sedangkan kolom [Z i,j,v i,j ] merpakan solsi nmerik dengan metode Forward Difference Interval, V i,j merpakan interval atas sedangkan Z i,j merpakan interval bawah 7 Solsi Backward Difference Interval Atas Solsi Eksak Solsi Backward Difference Interval Bawah Solsi Backward Difference 4 Solsi Backward Difference Interval Atas Solsi Eksak Solsi Backward Difference Interval Bawah Solsi Backward Difference 5 2 4 3 58 2 56 1 54 1 2 3 4 5 7 8 9 1 44 46 48 5 52 54 56 58 (a) 7 Solsi Eksak Solsi Atas Forward Difference Interval Solsi Bawah Foerward Interval Solsi Forward Interval 2 Solsi Eksak Solsi Atas Forward Difference Interval Solsi Bawah Foerward Interval Solsi Forward Interval 15 5 1 4 3 5 2 595 1 59 1 2 3 4 5 7 8 9 1 (b) 44 46 48 5 52 54 56 Gambar 1: (a) Grafik Solsi Nmerik Metode Backward Difference Interval dengan M = 145, Solsi Nmerik Metode Backward Difference dan Solsi Eksak dalam i dan t j pada t = 5, (b) Grafik Solsi Nmerik Metode Forward Difference Interval dengan nilai M = 97, Solsi Nmerik Metode Forward Difference dan Solsi Eksak dalam i dan t j pada t = 5 Berdasarkan Gambar 1(a) dapat dilihat bahwa metode Backward Difference dan solsi eksak berada di dalam grafik metode Backward Difference Interval, hal ini mennjkkan bahwa metode Backward Difference Interval memberikan solsi dalam bentk interval yang memat sema kemngkinan galat nmerik Selanjtnya, berdasarkan Gambar 1(b) dapat dilihat bahwa hanya pada titik ( i,t j ) saja solsi eksak berada di dalam
Mardhika WA et al Metode Finite Difference Interval 9 grafik metode Forward Difference Interval, hal ini mennjkkan nilai M yang diperoleh dari hasil rmsan persamaan (41) hanya menjamin keberadaan soksi eksak di dalam solsi Forward Difference Interval pada titik ( i,t j ) saja Untk it dilakkan komptasi nmerik metode Forward Difference Interval dengan pengambilan nilai M yang berbeda dari 97, pada komptasi berikt ini diambil nilai M = 6 7 Solsi Eksak Solsi Forward Difference Interval Atas Solsi Forward Difference Interval Bawah Solsi Forward Difference 3 Solsi Eksak Solsi Forward Difference Interval Atas Solsi Forward Difference Interval Bawah Solsi Forward Difference 2 5 4 1 3 2 59 1 58 1 2 3 4 5 7 8 9 1 44 46 48 5 52 54 56 Gambar 2: Grafik Solsi Nmerik Metode Forward Difference dan Metode Forward Difference Interval dengan nilai M = 6 serta Solsi Eksak dalam i dan t j pada t = 5 Dari Grafik 2 terlihat bahwa solsi eksak berada di dalam grafik solsi metode Forward Difference Interval, ini mennjkkan bahwa metode Forward Difference Interval dengan nilai M = 6 memberikan solsi yang memat sema kemngkinan galat nmerik Dari hasil eksperimen tersebt dapat diambil kesimplan bahwa bahwa Metode Finite Difference Interval mempnyai kengglan dari Metode Finite Difference dalam memberikan solsi yang mendekati solsi sebenarnya (solsi eksak) Solsi yang diperoleh dengan Metode Finite Difference Interval yait dalam bentk interval yang berisi sema kemngkinan galat nmerik dengan pemilihan nilai M yang tepat DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K E 1993 Elementary Nmerical Analysis John Wiley & Sons, Inc, New York [2] Bartle, R G & D R Shebert 1999 Introdction to Real Analysis, Third Edition John Wiley & Sons, Inc, New York [3] Faires, JD & R Brden 1993 Nmerical Analysis Fifth Edition PWS Pblishing Company, Boston [4] Jankowska, MA 29 An Interval Finite Difference Method for Solving the One-Dimensional Heat Eqation: 4 hal http://para8idintnno/docs/sbmission-17pdf, 25 Desember 211 Pk 17, [5] Martono, K 1999 Kalkls Erlangga, Bandng [6] Patel, VA 1994 Nmerical Analysis Sanders College Pblishing, Orlando [7] Saer, T 26 Nmerical Analysis Addison Wesley, Boston