JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (215 2337-352 (231-928X Print A-25 Pengkajian Metode Extended Runge Kutta dan Penerapannya pada Persamaan Diferensial Biasa Singgi Tawin Muammad, Erna Apriliani, Lukman Hanafi, Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Sepulu Nopember (ITS Jl. Arief Raman Hakim, Surabaya 6111 Indonesia e-mail: singgitawin8@gmail.com, april@matematika.its.ac.id, lukman@matematika.its.ac.id Abstrak Persamaan diferensial merupakan persamaan yang penyelesaiannya dapat diselesaikan menggunakan metode analitik, tetapi ada persamaan diferensial yang tidak bisa diselesaikan menggunakan metode analitik seingga dibutukan metode lain untuk menyelesaikan permasalaan persamaan diferensial yaitu metode numerik. Dengan menggunakan metode numerik, maka didapatkan nilai pendekatan sebagai solusi dari permasalaan persamaan diferensial.metode numerik yang digunakan dalam penelitian ini adala metode Runge Kutta yang tela diperluas dan asilnya akan dibandingkan dengan metode Runge Kutta. Pada penelitian ini, penulis mempelajari metode pada Runge Kutta dan Extended Runge Kutta. Pertama, dikaji dan diturunkanmodel matematika metode Runge Kutta dan Extended Runge Kutta.Kedua, metode matematika Runge Kutta dan Extended Runge Kutta diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1 dan 2.Ketiga, menganalisis asil error yang diasilkanole metode Runge Kutta dan Extended Runge Kutta.Dan yang terakir, asil simulasi berupa perbandingan maksimum error, grafik error metode Runge Kutta dan Extended Runge Kutta, dan grafikasil dari metode analitik, Runge Kutta, dan Extended Runge Kutta. Kata Kunci RungeKutta, Persamaan Diferensial Biasa, Extended Runge Kutta. P I. PENDAHULUAN ersamaan diferensial merupakan persamaan fungsi turunan yang ada dalam permasalaan matematika. Metode yang digunakan untuk solusi persamaan diferensial adala metode analitik, tetapi ada persamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitikseingga diperlukan adanya metode lain untuk mendekati nilai sebenarnya yaitu dengan menggunakan metode numerik. Metode numerikmerupakan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalaan persamaan diferensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat itungnya. Sala satu metode numerik yang digunakan untuk mendekati nilai eksak dari permasalaan persamaan diferensial adalametode Runge Kutta. Banyak penelitian yang dilakukan untuk memperbaiki efisiensi dari metode Runge Kutta, sala satunya adala perbaikan akurasi orde dari metode Runge Kutta dengan penambaan jumla derajat menggunakan deret Taylor. Penelitian Butcer[3] dan Dormand[4] menambakan kembali jumla fungsi evaluasi dari metode Runge Kutta yang sesuai, sebagai asilnya yaitu merancang berbagai kemungkinan dari perbaikan orde metode Runge Kutta dengan mereduksi fungsi evaluasi. Goeken dan Jonson[5] mengusulkan sebua kelas dari metode Runge Kutta dengan perkiraan derivative yang lebi tinggi untuk metode orde tiga dan empat. Xinyuan [6] menyajikan sebua kelas dari formula Runge Kutta orde tiga dan empat dengan mengurangi fungsi evaluasi untuk orde pertama persamaan diferensial. Poomsiri dan Udwadia [7] membangun sebua akselerasi skema integrasi Runge Kutta untuk metode orde tiga dengan menggunakan 2 fungsi evaluasi per taap dalam mengintegrasikan persamaan diferensial biasa. Penelitilain, seperti Xinyuan dan Jianlin [8] menyajikan formula metode Extended Runge Kutta untuk mengintegrasikan sistem dari persamaan diferensial biasa. Udwadia dan Faraani [9] mengembangkan akselerasi metode Runge Kutta untuk orde yang lebi tinggi. Rabiei dan Ismail [1] mengembangkan perbaikan metode Runge Kutta orde tiga untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan dua dan tiga taap. Dalam penilitian ini,penulis mengkaji metode Extended Runge Kutta dengan Runge Kutta dan menerapkannya pada persamaan diferensial biasa orde 1 dan 2, kemudian penulis menganalisis asil error yang diasilkan metode Extended Runge Kutta dan Runge Kutta. II. TINJAUAN PUSTAKA Dasar teori yang digunakan dibagi menjadi beberapa bagian yaitu model umum Runge Kutta, model umum Extended Runge Kutta, deret Taylor, dan tabel Butcer. Persamaan diferensial biasa dalam Tugas Akir menggunakan persamaan sebagai ( (2.1 2.1 Runge Kutta Secara umum Runge Kutta digunakan dalam penyelesaian masala yang berubungan dengan pengitungan numerik. Dalam Tugas Akir ini, model umum dari metode Runge Kutta [1] sebagai (2.2 dengan adala konstan dan adala : ( dengan dan adala konstan.
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (215 2337-352 (231-928X Print A-26 Persamaan (2.2 adala fungsi utama dari Runge Kutta dan adala fungsi evaluasi dari metode Runge Kutta.Runge Kutta dalam Tugas Akiryang digunakan adala Runge Kutta orde dua, Runge Kutta orde tiga, dan Runge Kutta orde empat. 2.2 Extended Runge Kutta Extended Runge Kutta merupakan perluasan metode Runge Kutta pada fungsi utama dan fungsi evaluasinya. Secara umum persamaannya ampir sama dengan Runge Kutta, model umum dari Extended Runge Kutta [8] sebagai dengan, ( ( Seperti dalam Runge Kutta, persamaan (2.3 merupakan fungsi utama dari Runge Kutta sedangkan dan adala fungsi evaluasi. Dalam Tugas Akir ini, penulis menggunakan Extended Runge Kutta orde dua, Extended Runge Kutta orde tiga, Extended Runge Kutta orde empat, dan tabel Butcer untuk menentukan nilai koefisien masingmasing orde. 2.3 Deret Taylor Deret Taylor secara umum digunakan untuk membantu dalam mendapatkan nilai koefisien Runge Kutta maupun Extended Runge Kutta. Dalam penerapannya, akan digunakan dua metode deret Taylor: 2.3.1 Deret Taylor Satu Variabel Deret Taylor satu variabel secara umum persamaannya seperti (2.4 Dengan permasalaan yang diberikan seperti pada persamaan (2.1, kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (2.1 kedalam persamaan (2.4. Seingga persamaan (2.4 menjadi : ( 2.5 Persamaan (2.5 akan dibandingkan asilnya dengan persamaan (2.2 dan (2.3. dengan menyamakan, kemudian menyamakan fungsi yang melekat pada koefisien persamaan (2.2 dan (2.3 dengan fungsi yang ada pada persamaan (2.5. Untuk turunan dari bisa didefinisikan sebagai ( ( (2.6 mendefinisikan turunan ke n fungsi. 2.3.2 Deret Taylor Dua Variabel Persamaan secara umumnya seperti dibawa ini: ( (2.7 Persamaan (2.7 digunakan dalam penyederanaan fungsi evaluasi, kemudian setela disederanakan selanjutnya disubstitusikan ke dalam persamaan (2.2 dan (2.3 untuk dapat dicari nilai koefisiennya dengan menyamakan nilainya dengan persamaan (2.4. 2.4 Ketentuan Koefisien Orde Dalam mencari nilai koefisien yang ada pada persamaan (2.2 maupun (2.3 digunakan tabel Butcer sebagai Tabel 2.1. Tabel Butcer koefisienorde ke m Dengan, dan. III. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dibaas mengenai penurunan model dari metode Extended Runge Kutta dan Runge Kutta beserta penerapan pada persamaan diferensial biasa. 3.1 Extended RungeKutta Orde Dua dan RungeKutta Orde Dua Secara umumrungekutta orde dua ada tiga jenis berdasarkan pengitungannya yaitu menggunkana metode Heun, metode Midpoint,dan metode Ralston. Dalam tugas akir ini, penulis menggunakan metode Heun dengan Persamaannya sebagai
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (215 2337-352 (231-928X Print A-27 (3.1 Persamaan (3.1 akan dibandingkan dengan orde dua dari Extended Runge Kuttasebagai Persamaan RungeKutta orde tiga tersebut akan dibandingkan dengan Extended Runge Kutta orde tiga. Persamaan Extended Runge Kutta orde tiga sebagai (3.2 (3.8 Persamaan (3.2 dapat diselesaikan dengan menyederanakan persamaan (3.2 dengan langka pertama menyederanakan fungsi evaluasi dan dengan menggunakan persamaan (2.5dan (2.7. Fungsi evaluasi dan yang tela disederanakan, kemudian disubstitusikan kedalam persamaan (3.2. Dan yang terakir, menyamakan asil penyederanaan dari persamaan (3.2 dengan persamaan (2.5, setela menyamakan persamaan (3.2 dengan (2.5 diperole: (3.3 (3.4 Persamaan (38 dapat diselesaikan dengan menyederanakan persamaan (8 dengan langka pertama menyederanakan fungsi evaluasi dan dengan menggunakan persamaan (2.5 dan (2.7, kemudian disubstitusikan kedalam persamaan (3.8. Persamaan (3.8 yang tela disederanakan, kemudian dibandingkan dengan persamaan (2.5. asil yang diperole : (3.5 (3.6 Dari persamaan (3.3, (3.4, (3.5, dan (3.6, maka didapatkan beberapa nilai koefisien sebagai Tabel 3.1 koefisien orde dua ( ( 1 Nilai-nilai pada Tabel 3.1 disubstitusikan ke persamaan (3.2 untuk memperole penyelesaian Extended Runge Kutta orde dua 3.2 Extended RungeKutta Orde Tiga dan RungeKutta Orde Tiga Secara umumnya RungeKutta orde tigayang diketaui sebagai (3.7 Dari asil yangdidapatkan tersebut, maka selanjutnya memberikan nilai pada sala satu koefisien agar mendapatkan fungsi evaluasi yang sederana, seingga diperole: Tabel 3.2 koefisien orde tiga
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (215 2337-352 (231-928X Print A-28 1 Nilai-nilai pada Tabel 3.2 disubstitusikan ke persamaan (3.2 untuk memperole penyelesaian Extended Runge Kutta orde tiga. 3.3 Extended RungeKutta Orde Empat dan RungeKutta Orde Empat Cara penurunan model Extended Runge Kutta dan Runge Kutta memiliki cara yang sama dengan penurunan. Persamaan Runge Kutta orde empatsebagai : (3.9 ( ( Dengan cara yang sama pula dengan Extended Runge Kutta orde dua dan tiga,diasilkan nilai koefisien sebagai Tabel 1.4 koefisien orde empat Persamaan (3.9 dibandingkan nilai errornya dengan Extended RungeKutta orde empat.extended RungeKuttaorde empat persamaannya sebagai 1 Nilai-nilai pada Tabel 3.3 disubstitusikan ke persamaan (3.1 untuk memperole penyelesaian Extended Runge Kutta orde empat. 3.4 Penerapan pada persamaan differensial biasa dengan : (3.1 Pada penerapan ini menggunakan persamaan differensial biasa yang mempunyai penyelesaian eksak.berikut ini conto persamaan differensial biasa: Dengan cara yang sama denganorde dua dan tigamaka diperole asil sebagai ( ( ( 1. Persamaan dengan syarat awal, dan. persamaan mempunyai penyelesaian eksak.berikut ini asil yang didapat dari metode Extended Runge Kutta dan Runge Kutta dalam tabel maksimum error: Tabel 2.1 Tabel maksimum error persamaan XRK2 RK2 XRK2 RK2.1 6.49e-7 7.22e-4 3.86e-3 2.38e-3.5 8.16e-8 1.82e-4 3.86e-3 2.39e-3.25 1.2e-8 4.56e-5 3.86e-3 2.39e-3.125 1.28e-9 1.14e-5 3.86e-3 2.39e-3 XRK3 RK3 XRK3 RK3.1 2.63e-9 3.78e-6 4.75e-3 2.88e-3.5 1.67e-1 4.74e-7 4.75e-3 2.88e-3.25 1.5e-11 5.94e-8 4.75e-3 2.88e-3.125 6.5e-13 7.44e-9 4.75e-3 2.88e-3 XRK4 RK4 XRK4 RK4.1 1.72e-9 1.64e-8 6.5e-3 3.86e-3.5 1.9e-1 1.3e-9 6.5e-3 3.86e-3.25 6.83e-12 6.47e-11 6.5e-3 3.86e-3.125 4.33e-13 4.2e-12 6.5e-3 3.86e-3
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (215 2337-352 (231-928X Print A-29 Grafik yang diasilkan dengan menggunakan Runge Kutta dan Extended Runge Kutta orde empat sebagai Grafik asil numerik dengan Runge Kutta dan Extended Runge Kuttaorde empat sebagai Gambar 3. Plot Grafik Gambar 1. Plot Grafik Dari asil peritungan didapatkan bawa nilai pendekatan dari dua metode memiliki error yang sangat kecil seingga terliat dari grafik pada gambar 1 saling berimpitan. Grafik perbandingan error sebagai Dari asil peritungan didapatkan bawa nilai pendekatan dari dua metode memiliki error yang sangat kecil. Berikut ini grafik perbandingan error: Gambar 4. Perbandingan Error RK4 & XRK4 Gambar 2.Grafik Error XRK4 dan RK4 Dari asil peritungan kedua metode untuk nilai error yang diasilkan yang terbaik adala metode Extended Runge Kutta karena memiliki deraja lebi tinggi. 2. Persamaan dengan syarat awal, dan. Persamaan mempunyai penyelesaian eksak. Hasil yang diasilkan adala maksimum error dan grafik asil numerik dengan eksaknya.berikut ini tabel maksimum error: Tabel 2.2 Tabel maksimum error XRK2 RK2 XRK2 RK2.1 3.27e+1 1.25e+3 3.29e-3 2.24e-3.5 4.26e+ 3.26e+2 3.29e-3 2.24e-3.25 5.43e-1 8.32e+1 3.29e-3 2.24e-3.125 6.86e-2 2.1e+1 3.29e-3 2.24e-3 XRK3 RK3 XRK3 RK3.1 6.32e-1 3.21e+1 5.1e-3 6.34e-3.5 4.12e-2 4.18e+ 5.1e-3 6.34e-3.25 2.63e-3 5.34e-1 5.1e-3 6.34e-3.125 1.66e-4 6.74e-2 5.1e-3 6.34e-3 XRK4 RK4 XRK4 RK4.1 9.21e-2 6.32e-1 5.36e-3 4.79e-3.5 5.75e-3 4.12e-2 5.36e-3 4.79e-3.25 3.59e-4 2.63e-3 5.36e-3 4.79e-3.125 2.24e-5 1.66e-4 5.37e-3 4.79e-3 Dari asil peritungan kedua metode untuk nilai error yang diasilkan yang terbaik adala metode Extended Runge Kuttakarena memiliki orde derajat yanglebi tinggi. 3. Conto PDB dari penelitian orang lain yaitu menggunakan persamaan duffing yang diteliti ole Tamimi[11] dengan Runge Kutta sebagai ( dengan. Persamaan diferensial orde dua diselesaikan dengan menguba persamaan kedalam fungsi Misal: ( ( ( Berikut ini adala langka dalam mengerjakan sistem tersebut untuk metode Runge Kutta orde empat: ( (
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (215 2337-352 (231-928X Print A-3 ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( (( ( ( ( ( Dengan sampai iterasi yang diinginkan. Langka untuk Extended Runge Kutta orde empat juga sama dengan Runge Kutta orde empat, seingga mengasilkan grafik nilai numerik sebagai Gambar 4.15 Gambar plot nilai y RK4, XRK4, dan Ode45. Persamaan yang diselesaikan dengan menggunakan Extended Runge Kutta orde Empat memiliki nilai yang ampir sama dengan nilai Runge Kutta orde empat asil penelitian ataupun ode45 pada aplikasi MatLab. IV. KESIMPULAN Berdasarkan analisis dan pembaasan yang tela disajikan dalam bab sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa al sebagai a. Langka dalam penurunan untuk mendapatkan model metode Extended Runge Kutta memiliki kesamaan dengan metode Runge Kutta, namun pada Extended Runge Kutta ada penambaan orde derajat seingga ada tambaan fungsi evaluasinya secara keseluruan ampir sama. b. Penambaan orde derajat dan fungsi evaluasi pada metode Extended Runge Kutta mengasilkan nilai error yang lebi kecil dibanding dengan metode Runge Kutta dan waktu komputasi Extended Runge Kutta lebi lama untuk persamaan differensial dengan orde yang lebi tinggi. c. Penerapan metode Extended Runge Kutta selain pada persamaan differensial linier juga dapat diterapkan pada persamaan differensial biasa non linier seperti alnya penerapan pada Runge Kutta. V. SARAN Penelitian ini masi memiliki banyak kekurangan seingga diperlukan banyaknya percobaan agar bisa membuktikan Extended (perluasan Runge Kutta lebi baik dari Runge Kutta. Kritik bagi pembaca sangat diarapkan bagi penulis untuk melakukan penelitian yang lebi baik lagi. DAFTAR PUSTAKA [1] Capra, S.C., Canale, R.P..(21. Numerical Metods for Engineers.Higer Education Sixt Edition, Hal.78-16 & 77-756. [2] Jikantoro, Y.D,dkk. (214. Improved Extended Runge- Kutta-Like Metod dor solving First Orde IVPs. Te International Conference on Computer Engineering and Matematical Sciences(ICCEMS. [3] J.C. Butcer., Te Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Runge-Kutta and General Linear Metods, Wiley, New York, 1987. [4] J.R. Domand., Numerical Metods for Differential Equations: A Computational approac, CRC Press, New York, 1996. [5] D. Goeken and O.,Jonson., Runge-Kutta wit Higer orde derivative approximations, Appl. Numer. Mat., 2, 34: 27-218. [6] W. Xinyuan., A class of Runge-Kutta formuale of orde tree and four wit reduced evaluations of function, Appl. Mat. Comput., 23, 146:417-432. [7] Poomsiri P. and Udwadia F. E., Acceleration o Runge- Kutta integration scemes, Discrit. Dynamic. Nature. Soci., 24, 2: 37-314. [8] W., Xinyuan. and X. Jianlin., Extended Runge-Kutta-like formulae, Appl. Numer. Mat., 26, 1584-165. [9] F., E, Udwadia and A.,Faraani., Accelerated Runge- Kutta metods, Discrit. Dynamic. Nature. Soci., 28, doi:1.1155/28/79619. [1] F. Rabiei and F. Ismail, Fift-orde Improved Runge- Kutta metod for solving ordinary differential equation, Proceeding of WSEAS Conference, Penang, Malaysia, 211, ISBN:978-1-6184-39-8:129-133. [11] Tamimi, Z.A, dkk. (214. Penyelesaian Persamaan Duffing Osilator pada Aplikasi Weak Signal Detection Menggunakan Metode Averaging. Jurnal Mipa 37 (2 (214: 192-199.