MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66
Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks 6 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) 7 Solusi (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 2 / 66
Definisi matriks Matriks Definisi (Matriks) Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau persegi. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf kapital A, B, C, D,... Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb. A m n = [ a ij ]m n = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn a ij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j. i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. m n = ukuran atau ordo matriks A. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 3 / 66
Matriks Mendefinisikan matriks Cara mendefinisikan matriks: Soal dituliskan seluruh elemennya didefinisikan elemennya Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut: 1 A = ( { 1, i = j a ij )3 3, a ij = i, i = j 2 A = ( { 1 + i, i < j a ij )4 5, a ij = i j, i j SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 4 / 66
Submatriks Matriks Definisi (Submatriks) Submatriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya. Catatan: A adalah submatriks A sendiri. Soal Tentukan submatriks dari matriks A = ( 1 0 1 2 1 2 3 1 5 a. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 2 dan kolom 1. b. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2. SOLUSI ) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 5 / 66
Matriks khusus Matriks 1 Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Catatan: 1 Khusus untuk matriks segi, ordo n n, biasa ditulis ordo n. 2 Jika A = (a ij ) n n maka elemen a 11, a 22,..., a nn disebut elemen diagonal utama matriks A. 2 Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. 3 Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. 4 Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan I n. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 6 / 66
Operasi Matriks Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar Definisi (Penjumlahan dan pengurangan) Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m n dan a 11 a 12... a 1n a A = 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn, B = b 11 b 12... b 1n b 21 b 22... b 2n...... b m1 b m2... b mn Penjumlahan/pengurangan matriks A dan B ditulis A ± B didefinisikan sebagai berikut: a 11 ± b 11 a 12 ± b 12... a 1n ± b 1n a A ± B = 21 ± b 21 a 22 ± b 22... a 2n ± b 2n....... a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 7 / 66
Operasi Matriks Definisi (Perkalian skalar) Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis ka, didefinisikan sebagai berikut: ka 11 ka 12... ka 1n ka ka = 21 ka 22... ka 2n....... ka m1 ka m2... ka mn Catatan: A = ( 1) A (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 8 / 66
Operasi Matriks Hukum penjumlahan dan perkalian skalar Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k adalah skalar, maka 1 (A + B) + C = A + (B + C) 2 A + ( A) = A A = O 3 A + B = B + A 4 k(a + B) = ka + kb 5 0A = O dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 9 / 66
Operasi Matriks Definisi (Perkalian matriks) Misalkan A = ( ) a ij m p dan B = ( ) b ij adalah dua matriks yang p n berturut-turut berukuran m p dan p n. Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut: dengan c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ip b pj = j = 1, 2,..., n. p a ik b kj. i = 1, 2,..., m, k=1 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 10 / 66
Operasi Matriks Hukum perkalian matriks Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1 Hukum asosiatif (AB)C = A(BC) 2 Hukum distributif kiri A(B + C) = AB + AC 3 Hukum distributif kanan (B + C)A = BA + CA 4 k(ab) = (ka)b = A (kb) Catatan: secara umum AB = BA. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 11 / 66
Operasi Matriks Putaran (transpos) matriks Definisi (Putaran (transpos) suatu matriks) Misalkan A = (a ij ) adalah matriks berukuran m n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis A T, adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai berikut: (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 12 / 66
Operasi Matriks Sifat matriks putaran 1 (A ± B) T = A T ± B T 2 (A T ) T = A 3 (ka) T = k ( A T),dengan k skalar 4 (AB) T = B T A T (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 13 / 66
Operasi Matriks Soal operasi matriks Soal Diketahui matriks A, B, C, dan D sebagai berikut: ( ) ( 1 1 2 4 0 3 A = 0 3 4 B = 1 2 3 ( ) ( ) 2 3 2 C = 5 1 D = 1 1 0 3 ) Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya. a. 2A + B b. (2A + B)C c. C T D SOLUSI d. (AC) T e. AA T f. 3A + BD (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 14 / 66
Determinan matriks Definisi (Determinan matriks berukuran 1 x 1) Diberikan matriks A berukuran 1 x 1, yaitu A = (a 11 ). Didefinisikan determinan matriks A, yaitu det(a) = A = a 11. Catatan: Determinan matriks A, biasa juga ditulis A (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 15 / 66
Determinan matriks Definisi (Determinan matriks berukuran n x n) Misalkan A = (a ij ) n n dan A ij adalah submatriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor elemen a ij, notasi M ij, didefinisikan sebagai Maka M ij = det(a ij ), dan kofaktor elemen a ij, notasi α ij didefinisikan 1 det (A) = 2 det (A) = n j=1 n i=1 α ij = ( 1) i+j M ij. a ij α ij, untuk sebarang i, i = 1, 2,..., n a ij α ij, untuk sebarang j, j = 1, 2,..., n. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 16 / 66
Determinan matriks Metode ini dikenal dengan nama metode minor-kofaktor. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 17 / 66
Determinan matriks Contoh (Determinan matriks ukuran 2 x 2) Dengan menggunakan metode minor kofaktor, matriks A berukuran 2 x 2 ( ) a b A = c d, maka tunjukkan det(a) = ad bc. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 17 / 66
Determinan matriks Contoh (Determinan matriks ukuran 3 x 3) Jika matriks A berukuran 3 x 3 ( a11 a 12 a 13 ) A = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 maka det(a) = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32 ). Metode ini dikenal dengan nama metode Sarrus. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 18 / 66
Determinan matriks Soal determinan matriks Soal Tentukan determinan matriks berikut: ( ) 1 2 1 A = 3 1 ( ) 3 2 1 2 B = 1 3 2 0 3 1 0 0 1 1 1 0 0 1 3 C = 0 1 1 1 1 1 1 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 19 / 66
Determinan matriks Sifat-sifat Determinan 1 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(a) = 0. 2 Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. 3 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(a) = 0. Soal Tentukan determinan matriks-matriks berikut: A = ( 3 0 0 4 2 0 5 1 0 ), B = ( 2 5 3 0 3 7 0 0 1 ), dan C = 3 2 4 8 0 3 3 6 0 2 2 4 0 5 5 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 20 / 66
Matriks invers Matriks Invers Definisi (Matriks invers) Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan memiliki invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I n. Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A 1 (dibaca: invers matriks A) Sifat matriks invers: 1 Invers suatu matriks bersifat tunggal. 2 Jika matriks A dan B memiliki invers, maka (A 1 ) 1 = A (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 21 / 66
Matriks Invers Metode matriks adjoin Teorema (Metode matriks adjoin) Misalkan A = (a ij ) adalah matriks segi berordo n. Jika det(a) = 0 dan matriks C = (α ij ), dengan α ij adalah kofaktor elemen a ij, maka invers matriks A adalah A 1 1 = det (A) CT C T disebut matriks adjoin dari matriks A. Catatan: Jika det (A) = 0, A tidak memiliki invers dan disebut singular. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 22 / 66
Matriks Invers Contoh Dengan menggunakan metode matriks adjoin, dapat ditunjukkan jika matriks A berukuran 2 x 2 ( ) a b A = c d, det (A) = 0, ad bc = 0 maka A 1 = 1 ad bc ( d b c a ). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 23 / 66
Matriks Invers Soal Dengan menggunakan metode matriks adjoin, tentukan invers matriks-matriks berikut ( ) ( ) 2 1 3 3 1 A = 2 1, B = 0 2 1 1 1 2 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 24 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Operasi baris dasar (OBD) 1 Tukarkan baris ke-i dan ke-j Notasi: E ij 2 Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k = 0 Notasi: E i(k) 3 Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j, k = 0, i = j Notasi: E ij(k) Catatan: Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E 1, E 2,..., E n yang dikenakan pada matriks A ditulis E n... E 2 E 1 (A). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 25 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal operasi baris dasar Soal Jika diketahui A = ( 1 2 3 2 1 2 1 1 4 Tentukan matriks B = E 2( 1) E 13(2) E 12 (A). SOLUSI ). (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 26 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Ekuivalen baris Definisi Matriks A dikatakan ekuivalen baris dengan matriks B, notasi A B, apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E 1, E 2,..., E n, sehingga B = E n... E 2 E 1 (A). A E1 A 1 E2... En B (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 27 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A, A = ( 1 2 3 2 6 10 1 2 9 sehingga A ekuivalen baris dengan matriks segitiga atas kemudian tentukan determinan dari matriks segitiga atas tersebut. SOLUSI ) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 28 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Pangkat matriks Definisi (Pangkat matriks) Misalkan A matriks berordo m n. Pangkat atau rank matriks A, notasi: p (A) (dibaca: pangkat matriks A), didefinisikan sebagai ordo terbesar submatriks segi A yang determinannya tidak nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 29 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal Tentukan pangkat matriks berikut. ( ) 1 0 1 2 1 A = 1 1 0 0 ( ) 1 1 0 2 B = 0 1 1 0 2 2 ( ) 5 1 0 3 C = 0 2 1 0 0 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 30 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Menentukan pangkat matriks menggunakan OBD Teorema (Menentukan pangkat matriks) Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkat matriks asal. Catatan: Jika A B, maka p (A) = p (B). Prosedur: 1 Lakukan operasi baris dasar terhadap matriks sehingga berbentuk matriks mirip segitiga atas ( a ij = 0, i > j ). 2 Pangkat matriks adalah banyaknya baris matriks hasil OBD yang tidak semua elemennya nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 31 / 66
Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks Soal Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut. ( ) 1 1 2 1 A = 3 1 0 4 2 2 ( ) 1 1 2 1 2 B = 3 1 0 1 4 2 2 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 32 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Persamaan Linear Definisi (Persamaan linear) Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2,..., x n dikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n = k di mana c 1, c 2,..., c n dan k adalah konstanta real. Contoh: 1 2x = 5 adalah persamaan linear. 2 3x + 6y + 2z = 10 adalah persamaan linear. 3 4xy + 6z = 7 bukan persamaan linear. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 33 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Sistem Persamaan Linear Definisi (Sistem persamaan linear) Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 34 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks di mana a 11 a 12... a 1n a A = 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn Catatan: 1 A disebut matriks koefisien AX = B X = x 1 x 2. x n B = 2 (A B) disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng 3 Jika B = O, SPL disebut SPL homogen 4 Jika B = O, SPL disebut SPL takhomogen b 1 b 2. b n (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 35 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal 1 Periksa apakah persamaan di bawah ini linear atau tidak. 1 2x 1 + x 2 x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 0 3 sin x 1 + x 2 + 3x 3 = 2 4 x 1 + x 2 2x 3 = x 4 + 1 2 Tuliskan SPL berikut ke dalam bentuk perkalian matriks AX = B dan matriks yang diperbesar A B. 2x 3y + 2z = 0 2x y z = 1 3x 2y + z = 1 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 36 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut. 1 1 2 1 5 4 9 2 2 0 3 1 0 1 4 7 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 37 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Penyelesaian SPL Definisi (Penyelesaian SPL) Penyelesaian atau solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s 1, s 2,..., s n ) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s 1, s 2,..., s n ) berkorespondensi secara berurutan dengan (x 1, x 2,..., x n ). Penyelesaian SPL: tidak ada tunggal banyaknya takhingga (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 38 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Ilustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut ada tiga, yaitu: l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 l 2 : a 2 x + b 2 y = c 2 Tidak ada Penyelesaian tunggal Banyak penyelesaian (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 39 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Kekonsistenan SPL Definisi (Kekonsistenan SPL) Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang-kurangnya memiliki satu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak memiliki penyelesaian. Teorema (Kekonsistenan SPL) Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m n, konsisten jika dan hanya jika p(a) = p(a B). Jika SPL konsisten dan 1 p(a) = n, maka SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal. 2 p(a) < n, maka SPL tersebut memiliki banyak penyelesaian. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 40 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal 1 Tentukan kekonsistenan SPL berikut. 2x + y 2z + 3w = 1 3x + 2y z + 2w = 4 3x + 2y + 3z 3w = 5 2 Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten x 3y + 2z = 4 2x + y z = 1 3x 2y + z = α SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 41 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A berordo m n. Konsep dasar: 1 Jika (A B) (C D), maka penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (A B) dan penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (C D) adalah sama. 2 Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C D) seperti pada gambar: (1) (2) C matriks segitiga atas C mirip matriks segitiga atas maka SPL AX = B konsisten. 3 Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C D) seperti pada gambar: (3) maka SPL AX = B takkonsisten. Catatan: Bagian yang tidak diarsir semua elemennya nol. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 42 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Prosedur Penyelesaian SPL Prosedur: 1 Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (A B). 2 Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga (A B) (C D), dengan (C D) merupakan matriks seperti pada gambar (1),(2), atau (3). 3 Jika (C D) merupakan matriks seperti pada (3), maka SPL takkonsisten. 4 Jika (C D) merupakan matriks seperti pada (1) atau (2), lakukan substitusi mundur pada SPL CX = D. 5 Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPL AX = B. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 43 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Tentukan penyelesaian SPL berikut. 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 2 x 1 + x 2 + 2x 3 = 15 x 1 + x 3 = 10 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 25 SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 44 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Penerapan SPL (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 45 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Seorang petani yang sukses memiliki 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C, yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebun A diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untuk memanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2 mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan 10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orang kuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut, tentukan luas masing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebut termanfaatkan seluruhnya. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 46 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Soal Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistribusikan barang dari 2 gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkan gudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang. Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yang masing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkos pengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kota D sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan dari kota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutan barang-barang tersebut sebesar Rp 90.000,00. Tentukan banyaknya barang yang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi. SOLUSI (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 47 / 66
Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL) Tentang Slide Penyusun: Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 48 / 66
Solusi Solusi Matriks A dengan elemen yang didefinisikan tersebut: ( 1 1 ) 1 1 A = 2 1 2 3 3 1 0 2 2 2 2 2 1 0 3 3 3 A = 2 1 0 4 4 3 2 1 0 5 Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 49 / 66
Solusi Solusi Submatriks ( ) dari matriks A adalah: 0 1 a. A a = 1 5 b. A b = ( 2 2 ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 50 / 66
Solusi Solusi ( Operasi matriks ) 6 2 1 a. 1 4 11 ( ) 1 20 b. 7 7 ( ) 4 c. 7 ( ) 6 5 d. 5 25 ( ) 5 11 e. 4 3 f. Tidak terdefinisi karena ukuran A adalah 2 x 3 sedangkan ukuran BD adalah 2 x 1. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 51 / 66
Solusi Solusi C = 0 0 + 1, determinant 1 Soal 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 = ((1 + 0 + 0) (1 + 1 + 0)) (( 1 + 0 + 0) (0 + 1 + 0)) = 1 + 2 = 1 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 52 / 66
Solusi Solusi A = 0 B = 6 C = 0 Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 53 / 66
Solusi Solusi A 1 = ( 1 1 2 3 ) B 1 = ( 3 1 5 1 1 2 2 1 4 ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 54 / 66
Solusi Solusi B = ( 4 3 10 1 2 3 1 1 4 ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 55 / 66
Solusi Solusi A = ( 1 2 3 2 6 10 1 2 9 ) dan determinan matriks B adalah 8. Soal ( 1 2 3 0 2 4 0 4 12 ) ( 1 2 3 0 2 4 0 0 4 ) = B (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 56 / 66
Solusi Solusi 1 Pangkat = 2 2 Pangkat = 2 3 Pangkat = 3 Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 57 / 66
Solusi Solusi Penentuan pangkat matriks dengan operasi baris dasar. ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 A = 3 1 0 0 2 6. Pangkat = 2 4 2 2 0 0 0 2 B = Soal ( 1 1 2 1 3 1 0 1 4 2 2 1 ) ( 1 1 2 1 0 2 6 2 0 0 0 1 ). Pangkat = 3 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 58 / 66
Solusi Solusi 1 Persamaan sebelumnya adalah: 1 Linear. 2 Tidak linear, karena terdapat perkalian x 2 x 3. 3 Tidak linear, karena terdapat fungsi trigonometri. 4 Linear. 2 SPL dalam bentuk perkalian matriks yang diperbesar: ( 2 3 2 2 1 1 3 2 1 0 1 1 ) Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 59 / 66
Solusi Solusi SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar tersebut adalah: x + y + 2z = 1 5x + 4y + 9z = 2 2x 3z = 1 y 4z = 7 Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 60 / 66
Solusi Solusi 1 2 1 2 3 1 0 2 2 5 2 0 0 4 5 penyelesaian. 2 Penentuan nilai α 1 5 2 1. Konsisten dan memiliki banyak ( 1 3 2 0 7 5 0 0 0 4 7 α 5 ) Agar SPL tersebut konsisten, haruslah α = 5. Jika α = 5, maka SPL tersebut tak konsisten. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 61 / 66
Solusi Solusi 1 Penyelesaian SPL ( 1 2 1 0 2 1 0 0 2 5 4 4 ) Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan penyelesaian tunggal dengan nilai x 3 = 2, x 2 = 1, x 1 = 1. 2 Penyelesaian SPL ( 1 1 2 0 1 1 0 0 0 15 5 0 Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan banyak penyelesaian. Misal x 3 = s, maka x 2 = 5 s dan x 1 = 10 s Soal ) (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 62 / 66
Solusi Solusi Misal x, y, z adalah luas kebun A, B dan C. Setiap baris merepresentasikan kuli, mandor dan mobil pengangkut. x y z Ketersediaan Kuli 8 5 10 74 Mandor 2 3-18 Mobil 1 2 3 20 8x + 5y + 10z = 74 2x + 3y = 18 x + 2y + 3z = 20 x, y, z 0 Diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar adalah: E 21( 2) E 31( 8) ( 8 5 10 2 3 0 1 2 3 74 18 20 ) ( 1 2 3 0 1 6 0 11 14 E 13 ( 1 2 3 2 3 0 8 5 10 20 22 86 ) E 32( 11) ) 20 18 74 ( 1 2 3 0 1 6 0 0 52 2 2 15 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 63 / 66
Solusi Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan 52z = 156 = z = 3 y 6z = 22 = y 18 = 22 = y = 4 x + 2y + 3z = 20 = x + 8 + 9 = 20 = x = 3 solusi z = 3, y = 4, x = 3. Solusi Jadi, agar aset petani tersebut dapat termanfaatkan seluruhnya, luas kebun A adalah 3 hektar, luas kebun B adalah 4 hektar, dan luas kebun C adalah 3 hektar. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 64 / 66
Solusi Solusi Misal diberikan variabel sebagai berikut: w adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke C. x adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke D. y adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke C. z adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke D. 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2000 1000 3000 1000 40 20 30 50 900 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 65 / 66
Solusi Dari hasil penyederhanaan tersebut, banyaknya distribusi barang agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi adalah sebagai berikut: Solusi Banyaknya barang dari gudang A ke C adalah 20 barang. Banyaknya barang dari gudang A ke D adalah 20 barang. Tidak ada barang dari gudang B ke C. Banyaknya barang dari gudang B ke D adalah 30 barang. Soal (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 66 / 66