MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan
2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan Rasional dapat diperluas ke Sistem Bilangan Real secara suku demi suku pada barisan Cauchy. Catatan. Di sini, frasa barisan Cauchy berarti barisan bilangan rasional Cauchy, kecuali nanti ketika Sistem Bilangan Real telah selesai dikonstruksi. (c) Hendra Gunawan (2015) 2
Lemma (a) Jika (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy, maka (x k + y k ) juga merupakan barisan Cauchy. (b) Sebagai tambahan, jika (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy yang ekuivalen dengan (x k ) dan (y k ) berturut-turut, maka (x k + y k ) ekuivalen dengan (x k + y k ). Catatan. Bukti bagian (b) mirip dengan bukti bagian (a). [Dijelaskan di papan tulis.] (c) Hendra Gunawan (2015) 3
Operasi Penjumlahan Definisi. Misalkan (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Kita definisikan x + y sebagai kelas ekuivalen yang memuat barisan (x k + y k ). Catatan. Lemma bagian (b) tadi menjamin bhw definisi x + y tidak bergantung pada pemilihan barisan Cauchy yang mewakili x dan y. (c) Hendra Gunawan (2015) 4
Untuk mendefinisikan perkalian, kita memerlukan lemma berikut. Lemma. Setiap barisan Cauchy (x k ) terbatas, yakni terdapat bilangan asli M sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli k berlaku x k M. Ide Pembuktian. Bilangan M dapat diperoleh sebagai bilangan asli yang lebih besar daripada x 1,, x m-1, dan x m + 1, untuk suatu m yang menangkap ekor barisan (x k ) dengan jala yang lebarnya 1. (c) Hendra Gunawan (2015) 5
Lemma (a) Jika (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy, maka (x k y k ) juga merupakan barisan Cauchy. (b) Sebagai tambahan, jika (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy yang ekuivalen dengan (x k ) dan (y k ) berturut-turut, maka (x k y k ) ekuivalen dengan (x k y k ). Definisi. Misalkan (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Kita definisikan xy sebagai kelas ekuivalen yang memuat barisan (x k y k ). (c) Hendra Gunawan (2015) 6
Lapangan Himpunan F dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian ( ) yang didefinisikan padanya disebut lapangan apabila (a) (F,+) membentuk grup komutatif dengan unsur identitas 0. (b) (F, ) membentuk grup komutatif dengan unsur identitas 1 0. (c) Untuk setiap x, y, dan z di F berlaku x (y + z) = xy + xz (hukum distributif). (c) Hendra Gunawan (2015) 7
Sifat Lapangan Teorema. Sistem Bilangan Real membentuk suatu lapangan. Ide Pembuktian a. Unsur identitas penjumlahannya adalah kelas ekuivalen 0 yang memuat barisan (0), dan unsur identitas perkaliannya adalah kelas ekuivalen 1 yang memuat barisan (1). b. Jika x 0 diwakili oleh barisan Cauchy (x k ), maka x mempunyai kebalikan, yaitu x -1, yang diwakili oleh barisan Cauchy (x k -1 ) dengan (x k -1 x k ) = (1). (c) Hendra Gunawan (2015) 8
Lemma berikut merupakan bagian dari bukti teorema di atas berkenaan dengan eksistensi unsur kebalikan x -1. Lemma. Misalkan x adalah bilangan real yang tidak sama dengan 0. Maka terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga untuk setiap barisan Cauchy (x k ) yang mewakili x terdapat m sedemikian sehingga x k 1/N untuk setiap k m. Catatan. Bilangan m bergantung pada barisan Cauchy (x k ), tetapi N tidak! (c) Hendra Gunawan (2015) 9
Urutan (1) Jika r adalah bilangan rasional, maka hanya satu di antara tiga kemungkinan berikut berlaku: atau r > 0 (positif), atau r < 0 (negatif), atau r = 0. Sehubungan dengan itu, jika r dan s bilangan rasional, maka: atau r s > 0, atau r s < 0, atau r s = 0; yang setara dengan: atau r > s, atau r < s, atau r = s. Himpunan bilangan rasional positif tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian. (c) Hendra Gunawan (2015) 10
Urutan (2) Sekarang kita ingin mendefinisikan hal serupa untuk bilangan real. Bila (x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x > 0, apakah kita harus mempunyai x k > 0 untuk setiap k? Jawabannya tidak harus! Apakah mesti terdapat m sedemikian sehingga x k > 0 untuk setiap k m? Jawabannya tidak juga! Sebagai contoh, 1/k > 0 untuk setiap k 1, tetapi (1/k) tidak mewakili bilangan positif. (c) Hendra Gunawan (2015) 11
Definisi. Bilangan real x dikatakan positif, ditulis x > 0, apabila terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga untuk setiap barisan Cauchy (x k ) yang mewakili x terdapat m sedemikian sehingga x k 1/N untuk setiap k m. Bilangan real x dikatakan negatif, ditulis x < 0, apabila x > 0. Catatan. Definisi di atas konsisten dengan urutan pada bilangan rasional, karena bilangan rasional memenuhi Sifat Archimedes: untuk setiap bilangan rasional r > 0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga r 1/N. (c) Hendra Gunawan (2015) 12
Ilustrasi: Bilangan real positif Setelah suku ke-m, titik x k berada di atas garis merah 1/N... 1 2 3 4 m m+1 m+2 m+3 (c) Hendra Gunawan (2015) 13
Hukum Trikotomi Teorema. Jika x adalah bilangan real, maka hanya satu di antara tiga kemungkinan berikut yang berlaku: atau x > 0, atau x < 0, atau x = 0. Bukti. Bilangan 0 yang dapat diwakili oleh barisan (0) bukan bilangan positif, juga bukan bilangan negatif. Selanjutnya misalkan x 0. Akan ditunjukkan: atau x > 0 atau x > 0. (c) Hendra Gunawan (2015) 14
Bukti (lanjutan). Misalkan (x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Menurut lemma sebelumnya, terdapat bilangan asli N dan m sedemikian sehingga x k 1/N utk setiap k m. Mengingat bahwa (x k ) adalah barisan Cauchy, x k yang memenuhi x k 1/N tidak mungkin berubah tanda tak terhingga kali. Karena itu mestilah x k 1/N atau x k -1/N untuk setiap k m*. Jadi x > 0 atau x < 0, tetapi hanya satu di antara keduanya yang berlaku. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015) 15
Teorema. Jika x dan y positif, maka x + y dan xy positif. Bukti. Latihan. Definisi. Jika x dan y adalah bilangan real, maka kita definisikan x > y apabila x y > 0. Selanjutnya, x y berarti x > y atau x = y. Secara tak langsung kita telah mendefinisikan pula x < y dan x y. (c) Hendra Gunawan (2015) 16
Definisi (Nilai Mutlak). x := x apabila x > 0, x := -x apabila x < 0, dan 0 := 0. Ketaksamaan < pada bilangan rasional tidak selalu dipertahankan pada bilangan real. Sbg contoh, 1/k > 0 untuk setiap k, tetapi (1/k) merepresentasikan bilangan 0, dan tentu saja kita tidak mempunyai 0 > 0. Namun, lemma berikut menyatakan bahwa ketaksamaan terbawa dari bilangan rasional ke bilangan real. (c) Hendra Gunawan (2015) 17
Lemma. Misalkan (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Jika terdapat m sedemikian sehingga x k y k untuk setiap k m, maka x y. Bukti. Andaikan x > y, yakni x y > 0. Maka, per definisi, terdapat bilangan asli N dan m sedemikian sehingga x k y k 1/N untuk setiap k m, bertentangan dengan hipotesis. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015) 18
Ketaksamaan Segitiga Teorema. x + y x + y untuk setiap bilangan real x dan y. Bukti. Terapkan lemma sebelumnya pada ketaksamaan segitiga x k + y k x k + y k, dimana (x k ) dan (y k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili x dan y berturut-turut. [QED] Catatan. Jika (x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili x, maka ( x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. (c) Hendra Gunawan (2015) 19
Sifat Archimedes Teorema. Untuk setiap bilangan real x > 0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga x 1/N. Bukti. Misalkan (x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Berdasarkan lemma terdahulu terdapat bilangan asli N dan m sedemikian sehingga x k 1/N utk setiap k m. Akibatnya, x 1/N. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015) 20
Kepadatan Bilangan Rasional Teorema. Untuk setiap bilangan real x dan bilangan asli n, terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga x r 1/n. Bukti. Misalkan (x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Diberikan n, terdapat m sedemikian x k x j 1/n untuk setiap j, k m. Pilih r = x m, sehingga x k r 1/n untuk setiap k m. Menurut lemma sebelumnya, x r 1/n. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015) 21
Latihan 1. Buktikan jika (x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x, maka ( x k ) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. 2. Berikan contoh bilangan real x dan y, beserta barisan (x k ) dan (y k ) yang mewakilinya, yang memenuhi x y tetapi tidak terdapat m sedemikian sehingga x k y k untuk setiap k m. 3. Buktikan bahwa Sistem Bilangan Real tak terhitung, dan mempunyai kardinalitas yang sama dengan 2 N. 4. Buktikan jika x adalah bilangan real, maka terdapat barisan Cauchy (x k ) yang mewakili x sedemikian sehingga x k < x untuk setiap k. (c) Hendra Gunawan (2015) 22