BAB 6 : GEOMETRI KOORDINAT Sesi 1 Jarak dan titik tengah antara dua titik y B(, y ) A( 1, y 1 ) Jarak AB = ( 1 ) + (y y 1 ) Titik tengah AB = ( 1+ Contoh 1, y 1+y ) Cari jarak di antara titik P( 6, ) dan titik Q(6, 3). Jarak PQ = (6 + 6) + (3 + ) = 1 + 5 = 144 + 5 = 169 = 13 unit Contoh Jarak di antara titik A( 4, ) dan titik B(, k) ialah 10 unit. Cari nilai-nilai k. Jarak AB = 10 ( + 4) + (k ) = 10 6 + (k ) = 10 6 + (k ) = 100 36 + (k ) = 100 (k ) = 100 36 (k ) = 64 k = ± 64 k = ±8 40
k = 8 atau k = 8 k = 10 k = 6 Contoh 3 Cari koordinat titik tengah M bagi garis lurus yang menyambungkan titik P( 7, 5) dan Q(3, 1). M = ( 7+3 = ( 4, 6 ) = (, 3), 5+1 ) Contoh 4 Titik tengah bagi A(h, ) dan B( 6, k) ialah ( 1, 3). Cari nilai h dan k. Titik tengah AB = ( 1, 3) ( h 6, +k ) = ( 1, 3) h 6 = h 6 = h = +k = + k = 6 k = 41
Sesi Koordinat titik yang membahagikan tembereng garis dengan nisbah m: n y n m P(, y) A( 1, y 1 ) P(, y) = ( n 1 + m m + n B(, y ), ny 1 + my m + n ) Contoh 1 Titik A(1, ), P dan B(4, 7) terletak pada suatu garis lurus. Jika P membahagikan AB dengan nisbah : 1, cari koordinat P. 1 P B(4,7) A(1, ) P = ( (4)+1(1) +1 = ( 8+1 3 = ( 9 3, 1 3 ) = (, ), 14 3 ), (7)+1( ) ) +1 Contoh Titik A(7, 5), P(3, 1) dan B terletak pada satu garis lurus. Jika P membahagikan AB dengan nisbah : 3, cari koordinat B. 4
B(, y) 3 P(3, 1) A(7, 5) Katakan B(, y) ( 3(7)+ 3+ ( 1+ 5, 3( 5)+y ) = (3, 1) 3+, 15+y ) = (3, 1) 5 1+ 5 = 3 1 + = = 6 = 15+y 5 = 15 + y = 5 y = 10 y = B( 3, 5) Contoh 3 Titik L(p, 3) membahagikan KM dengan nisbah m: n. Koordinat K dan M masing-masing ialah ( 10, 6) dan (, 6). Cari a) m: n, b) nilai p K( 10, 6) L(p, 3) M(, 6) 43
a) ( m( )+n( 10) m+n ( m 10n, 6m+6n m+n m+n 6m+6n m+n = 6m + 6n = 3m + 3n 6m 3m = 3n 6n 9m = 3n m n = m n = m: n = b) p = m 10n m+n = (1) 10(3) 1+3 = 30 4 =, m( 6)+n(6) ) = (p, 3) m+n ) = (p, 3) 44
Sesi 3 Luas segitiga y A( 1, y 1 ) B(, y ) C( 3, y 3 ) Luas ABC = 1 1 3 y 1 y y 3 1 y 1 = 1 1y + y 3 + 3 y 1 y 1 y 3 y 3 1 Contoh 1 Cari luas segitiga PQR dengan P, Q dan R masing-masing ialah (5, ), (3, 4) dan ( 6, 1). Luas PQR = 1 0 + ( 3) + 1 ( 6) ( 4) ( 5) = 1 0 3 + 1 + 6 + 4 + 5 = 1 64 = 1 ( ) = unit Contoh Diberi titik (, 1), (, k) dan (10, 5) adalah segaris, cari nilai k. 1 1 1 10 1 k 5 1 = 0 k + 10 + ( 10) ( ) 10k ( 10) = 0 k + 10 10 + 10k + 10 = 0 45
1 1k + 1 = 0 1k + 1 = 0 1k + 1 = 0 1k = 1 k = 1 Contoh 3 Titik-titik ( 1, 3), (5, k) dan ( 4, 1) ialah bucu-bucu sebuah segitiga. Diberi luas segitiga itu ialah 15 unit, cari nilai-nilai k. 1 1 1 5 4 1 1 3 k 1 3 = 15 k + ( 5) + 1 ( 15) ( 4k) 1 = 15 k 5 + 1 + 15 + 4k 1 = 15 1 = 15 3k + 1 = 30 3k + 1 = atau 3k + 1 = 3k = 3k = k = k = 46
Sesi 4 Pintasan- dan pintasan-y y B(0, 3) A(, 0) Pintasan- = Pintasan-y = 3 Kecerunan garis lurus y Q(, y ) P( 1, y 1 ) Kecerunan, m = y y 1 1 Juga, m = ( pintasan y pintasan ) Contoh 1 Cari kecerunan garis lurus yang menyambungkan titik R( 5, 6) dan titik S( 4, ). 6 m RS = 4 ( 5) = 8 1 = 8 47
Contoh Kecerunan bagi garis yang menyambungkan titik (, k) dan (1, 9) ialah. Cari nilai k. m = 9 k 1+ = 9 k 3 = 9 k = k = 3 k = Contoh 3 Diberi titik ( 1, ), (, k) dan (4, 8) terletak pada satu garis lurus. Cari nilai k. (4, 8) ( 1, ) (, k) m 1 = 8 ( ) 4 ( 1) = 10 5 = m = 8 k 4 = 8 k m 1 = m = 8 k 4 = 8 k 4 = k k = 4 48
Contoh 4 y A - 0-5 B Cari kecerunan garis lurus AB. m = ( 5) = 5 = 5 49
Sesi 5 Persamaan garis lurus 1. y y 1 = m( 1 ). Bentuk pintasan : a + y b = 1, dengan a ialah pintasan-, 3. Bentuk am : a + by + c = 0 b ialah pintasan-y Contoh 1 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (7, ) dan mempunyai kecerunan 1 3. y y 1 = m( 1 ) y ( ) = 1 ( 7) 3 y + = 1 3 + 7 3 y = 1 3 + 7 3 6 3 y = 1 3 + 1 3 3y = + 1 Contoh Cari persamaan garis lurus yang melalui titik ( 3, 5) dan (1, 7). m = 7 5 1+3 = 1 4 = 3 y 5 = 3( + 3) y 5 = 3 9 y = 3 4 50
Contoh 3 Cari persamaan garis lurus dengan pintasan- dan pintasan-y masing-masing ialah dan 6. a + y b = 1 + y ( 6) = 1 y 6 = 1 Contoh 4 Tukarkan persamaan berikut kepada bentuk am. a) y = 3 b) + y = 1 6 1 a) y = 3 ( 3) 3y = 6 0 = 3y 6 3y 6 = 0 b) 6 + y 1 = 1 ( 1) (1) ( 6 ) + (1) ( y 1 ) = (1)(1) + y = 1 + y 1 = 0 51
Sesi 6 Kecerunan dan pintasan garis lurus Contoh 1 Cari kecerunan dan pintasan-y bagi yang berikut : a) 3 + 4y = b) y 5 = a) 3 + 4y = 4y = 3 + y = 3 4 + 4 y = 3 4 + 1 m = 3 4 c = 1 b) y 5 = y = + 5 m = c = Contoh Tulis persamaan garis lurus berikut dalam bentuk pintasan. Seterusnya, cari pintasan-, pintasan-y dan kecerunan garis lurus tersebut. a) y = b) y = 8 4 c) y = 4 d) y = 5 + 10 Penyelsaian a) y = ( ) y = 1 + y ( ) = 1 pintasan = pintasan y = 5
m = ( ) = = 1 b) y = 8 4 4 + y = 8 ( 8): 4 8 + y 8 = 8 8 + y 8 = 1 pintasan = pintasan y = m = = c) y = 4 ( 4): y 4 4 = 4 4 y 4 = 1 + y 4 = 1 ( ) + y 4 = 1 pintasan = pintasan y = m = = d) y = 5 + 10 10 = 5 y 5 y = 10 5 ( 10): 10 10 y = 10 10 ( ) + y 5 = 1 pintasan = pintasan y = 5 m = 5 = 5 53
Titik persilangan dua garis Contoh Cari titik persilangan bagi garis lurus + y + 3 = 0 dan + y = 3. + y + 3 = 1 1 + y = 3 Daripada : + y = 3 y = 3 3 Gantikan 3 ke dalam 1 : + (3 ) + 3 = 0 + 6 4 + 3 = 0 3 + 9 = 0 3 = 9 = 3 y = 3 (3) = 3 6 = 3 Titik persilangan ialah (, ) 54
Sesi 7 Garis selari Garis lurus y = m 1 + c 1 adalah selari dengan garis lurus y = m + c jika dan hanya jika m 1 = m. Contoh 1 Tentukan sama ada + y = 1 dan 9y + 6 = 5 selari atau tidak. 3 3 + y = 1 m 1 = y = 3 = 3 9y + 6 = 5 9y = 6 + 5 y = 6 9 + 5 9 y = 3 + 5 9 m = 3 m 1 = m Selari Contoh Diberi bahawa garis lurus y + 4 = 5 adalah selari dengan garis lurus y = k 4. Cari 3 nilai k. y + 4 = 5 y = 4 + 5 y = 4 + 5 y = + 5 55
m 1 = y = k 3 4 m = k 3 m 1 = m = k 3 6 = k k = 6 Contoh 3 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik ( 3, 6) dan selari dengan garis 4y = 3. 4y = 3 3 = 4y 4y = 3 y = 1 3 4 m = y 6 = 1 ( + 3) y 6 = 1 + 3 ( ): y 1 = + 3 0 = y + 15 y + 15 = 0 56
Sesi 8 Garis serenjang Dua garis lurus dengan kecerunan m 1 dan m adalah berserenjang jika dan hanya jika m 1 m = 1. Contoh 1 Tentukan sama ada garis + y = 1 dan 5y 3 = 10 berserenjang atau tidak. 3 3 + y 3 = 1 m 1 = 3 5y 3 = 10 5y = 3 + 10 y = 3 5 + m = 3 5 m 1 m = 3 (3 5 ) = 6 15 = 5 Tidak berserenjang. Contoh Diberi garis lurus k + y = 7 berserenjang dengan garis lurus 5 + 10y = 3. Cari nilai k. : k + y = 7 y = k + 7 m 1 = k 5 + 10y = 3 10y = 5 + 3 y = 5 10 + 3 10 57
m = 5 10 m 1 m = 1 k ( 5 10 ) = 1 k 4 = 1 k = 4 Contoh 3 Cari persamaan garis lurus yang melalui ( 1, ) dan berserenjang dengan garis 3 y = 7 3 y = 7 y = 3 + 7 y = 3 7 m 1 m = 1 3 m = 1 m = 1 3 m = 3 y = ( + 1) 3 ( 3) 3y 6 = ( + 1) 3y 6 = + 3y 4 = 0 Contoh 4 Diberi A(3, 6) dan B(, 4). Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang AB. m AB = 4+6 3 = 10 5 = m = 1 m = 1 = 1 58
Titik tengah AB = ( 3 = ( 1, 1), 6+4 ) y y 1 = m( 1 ) y + 1 = 1 ( 1 ) y + 1 = 1 1 4 ( 4) 4y + 4 = 1 4y = 5 y = 1 5 4 Sesi 9 Lokus Contoh 1 Cari persamaan lokus bagi titik P yang bergerak supaya jaraknya dari titik A(, 4) sentiasa unit. Katakan P ialah (, y), PA = ( ) + (y 4) = ( ) + (y 4) = 4 4 + 4 + y 8y + 16 4 = 0 + y 4 8y + 16 = 0 Contoh Titik A ialah (0, 1) dan B(3, 4). Titik P bergerak dengan keadaan PA: PB = 1:. Cari persamaan lokus titik P. 59
Katakan P ialah (, y), PA: PB = 1: PA PB = 1 PA = PB ( 0) + (y 1) = ( 3) + (y 4) 4[() + (y 1) ] = ( 3) + (y 4) 4( + y y + 1) = 6 + 9 + y 8y + 16 4 + 4y 8y + 4 = + y 6 8y + 5 3 + 3y + 6 1 = 0 ( 3) + y + 7 = 0 60