Minggu ke II Dua isomer hidrokarbon dengan rumus molekul C disajikan pada Gambar.. Gambar. Dalam bahasa teori graf kedua graf ini tidak isomorfik. Dengan perkataan lain bahasa teori graf bagi persoalan memeriksa isomer-isomer hidrokarbon ialah memeriksa keisomorfikan graf-graf. Kita telah mengenal dua bentuk sajian graf, dengan sajian geometrik (diagram simpul-simpul) dan dengan sajian himpunan (mendaftar himpunan simpul-simpulnya dan himpunan sisi-sisinya). Kedua bentuk sajian ini tidak praktis untuk graf-graf yang simpul-simpul dan sisi-sisinya sangat banyak dan juga tidak dapat diolah oleh komputer. Bentuk sajian lainnya yang ternyata dapat diproses oleh komputer ialah dengan menggunakan matriks yang memuat informasi tentang ikatan yang ada di antara simpul-simpulnya atau hubungan kehadiran simpul pada sisi grafnya. Masing-masing matriks ini dikenal sebagai matriks ikatan dan matriks kehadiran. Contoh.. Ikatan yang ada di antara keempat simpul graf pada Gambar. dapat diungkapkan dalam bentuk matriks berdimensi x seperti berikut : A C C C C 3 3 Informasi yang terdapat dalam unsur-unsur matriks A ialah banyaknya sisi yang simpul-simpul ujungnya terletak pada baris dan lajur yang sepadan; misalnya, karena ada satu sisi yang simpulnya dan, maka a = a =. Akan tetapi a 3 = a 3 = karena tidak ada sisi yang menghubungkan simpul dan 3. Matriks A ini disebut matriks ikatan dan dengan sendirinya selalu setangkup. Karena graf ini tidak mempunyai gelang, setiap unsur pada diagonal utama matrks A bernilai ; jumlah unsur-unsur baris atau kolom sama dengan derajat simpul padanannya, misal a ij j a id i 8 C C V V V Gambar.
Dengan DEFINISI. penalaran Misalkan semacam G = ini, (V, E) secara merupakan umum dapat graf dengan dikatakan n simpul bahwa dan informasi V = { yang ada pada,,, n }. matriks Matriks ikatan A= (a Adapat digunakan untuk membuat sajian geometrik grafnya. ij ) berdimensi n x n disebut matriks ikatan jika a ij sama dengan banyaknya sisi Akibat yang menghubungkan dari definisi ini diperoleh simpul teorema i dan j. berikut yang telah diteladankan pada contoh 9. Akibat dari definisi ini diperoleh teorema berikut yang telah diteladankan pada contoh. TEOREMA.. Misalkan matriks A= (a ij ) berdimensi n x n merpakan matriks ikatan graf G= (V, E). () Matriks A selalu setangkup dan graf G mempunyai n simpul () Unsur-unsur diagonal utama a ii =, untuk i =,,, n, mencirikan G tidak mempunyai gelang. (3) Unsur-unsur matriks A bernilai atau jika G merupakan graf sederhana. () Jika graf G tanpa gelang, maka jumlah unsur-unsur setiap baris atau kolom matriks A Contoh.. Matriks ikatan A berikut ini menjelaskan bahwa grafnya mempunyai 3 simpul dan sisi, 3 merupakan simpul terpencil, simpul mempunyai satu gelang, dan ada satu sisi dengan simpul ujung dan, sehingga bentuk sajian geometriknya seperti tampak pada Gambar.3. V V 3 A 3 Gambar.3. Matriks kehadiran merupakan suatu alternatif lain untuk mencirikan graf seperti diteladankan di bawah ini. Contoh.3. Karena graf pada Gambar. mempunyai simpul dari 6 sisi, maka hubungan kehadiran simpul-simpul pada sisi grafnya dapat diungkapkan dalam bentuk matriks berdimensi x 6 seperti berikut. e e e3 e e5 e6 3 Tampak bahwa unsur-unsur matriks A hanya bernilai atau bergantung kepada hadir atau tidaknya suatu simpul pada suatu sisi; 9 V e V e 5 e e V e 3
misalnya, karena simpul hadir pada sisi e dan e, maka h = h =. Akan tetap h 3 = i, h 3 = karena simpul dan tidak hadir pada sisi e 3. Matriks ini disebut matriks kehadiran. Dapat diamati bahwa setiap kolom matriks mempunyai tepat dua unsur bernilai, karena setiap sisi mempunyai dua simpul ujung; banyaknya unsur pada setiap baris sama dengan derajat simpul yang sepadan dengannya, misalnya : 6 hj j Selanjutnya kolom-kolom identik mencerminkan sisi-ganda, misalnya kolom ke-5 dan ke-6. Dengan penalaran semacam ini, secara umum dapat dikatakan bahwa informasi yang ada pada matriks kehadiran dapat digunakan untuk membuat sajian geometrik grafnya. DEFINISI. Misalkan G = (V, E) merupakan graf dengan n simpul dan m sisi, V = {,,, n }, dan E= {e, e,, e m }. Matriks = (h ij ) berdimensi n x m disebut matriks kehadiran jika jika i hadir pada sisi e hij dalam hal lainnya Akibat dari definisi ini diperoleh teorema berikut yang telah diteladankan pada Teladan.. TEOREMA.. Misalkan matriks = (h ij ) berdimen n x m merupakan matriks kehadiran graf G = (V, E). () Graf G mempunyai n simpul dan m sisi () Setiap kolom matriks A mempunyai tepat dua unsur, kecuali kolom yang berpadanan dengan gelang hanya mempunyai satu unsur. (3) Kolom-kolom identik mencarikan sisi ganda () Jika graf G tanpa gelang, maka jumlah unsur-unsur setiap baris matriks sama dengan derajat setiap simpul padanannya, misalnya untuk simpul diperoleh d Contoh.. Matriks kehadiran berikut ini menjelaskan bahwa grafnya mempunyai 3 simpul dan sisi, merupakan simpul terpencil, simpul 3 mempunyai satu gelang, dan 3 hadir pada sisi e, sehingga bentuk sajian geometriknya seperti pada Gambar.. m d j h ij (5) Dari matriks A ini selalu dapat dibangkitkan graf dalam bentuk sajian geometriknya dengan n simpul dan m sisi. (6) Baris ke-i bernilai nol mencarikan i simpul terpencil.
e e 3 V V e e Gambar. Soal-soal Latihan () Perhatikanlah graf G = (V, E) pada Gambar di bawah ini : a) Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini : b) Tentukanlah anggota-anggota himpunan V dan E c) Tentukanlah derajat setiap simpulnya u z w d) Periksalah kebenaran Lemma Persalaman dan Teorema.. e) Gambarlah suatu graf yang isomorfik dengan graf tersebut y x sehingga tidak ada sisi yang saling berpotongan selain pada simpul-simpul ujungnya. f) Tentukanlah himpunan simpul yang berkaitan dengan 3. g) Tentukanlah himpunan sisi yang berkaitan dengan e. h) Tentukanlah himpunan sisi dengan simpul hadir pada sisi itu i) Sajikanlah matriks ikatan graf ini j) Sajikanlah matriks kehadiran graf ini. () Periksalah apakah ada graf G = (V, E) untuk setiap persoalan berikut. Jika graf ini ada, sajikanlah gambarnya a) Graf G dengan dua simpul berderajat dua dan satu simpul berderajat enam. b) Graf G dengan dua simpul berderajat satu, dua simpul berderajat dua, dan satu simpul berderajat tiga c) Graf G dengan dua simpul berderajat satu, satu simpul berderajat dua, dua simpul berderajat tiga, dan satu simpul berderajat empat. d) Semua simpul G berderajat ganjil e) Semua simpul G berderajat genap. (3) Jelaskanlah apakah ada hidrokarbon yang mempunyai atom idrogen dan atom Karbon seperti berikut : a) 7 atom Karbon dan 3 atom idrogen b) atom Karbon dan 7 atom idrogen c) 5 atom Karbon dan 6 atom idrogen () Berapakah banyaknya atom idrogen pada suatu ikatan hidrokarbon tanpa sisi ganda dengan a) satu atom
b) dua atom c) tiga atom d) empat atom C e) n atom C (5) Berapakah banyaknya simpul yang dimiliki graf dengan ciri seperti berikut : a) Memiliki sisi dan setiap simpulnya berderajat. b) Memiliki 5 sisi, 3 simpul berderajat, dan simpul-simpul lainnya berderajat 3. c) sisi dan semua simpulnya berderajat sama. (6) Berikan sajian geometrik, matriks ikatan, dan matriks kehadiran graf G dengan lima simpul dan delapan sisi dan mempunyai ciri seperti berikut : a) G graf sederhana b) G graf ganda c) G bukan graf ganda dan mempunyai gelang d) G graf ganda dan mempunyai gelang. (7) Berikan sajian geometrik graf G dengan 7 simpul dan setiap simpulnya berderajat. Bagaimanakah bentuk matriks ikatan dan matriks kehadirannya? (8) Berikan sajian geometrik graf G dengan 7 simpul dan 6 sisi sedemikian sehingga ada dua simpul berderajat satu, dan simpul lainnya berderajat. Bagaimanakah bentuk matriks ikatan dan matriks kehadirannya? (9) Perhatikan bahwa dalam suatu organisasi yang jumlah anggotanya paling sedikit dua orang selalu ada dua anggotanya yang masing-masing mempunyai teman yang sama banyaknya dalam kelompok tersebut. () Jika G = (V, E) merupakan graf sederhana dengan n simpul, perlihatkan bahwa d() < n-, untuk V. () Perlihatkan bahwa maksimum banyaknya sisi pada graf sederhana dengan n simpul ialah n(n )/ () Berapakah maksimum banyaknya simpul dari suatu graf dengan 9 sisi dan semua simpulnya paling sedikit berderajat 3?. (3) Apakah ada sebuah kelompok yang terdiri atas tujuh puluh orang sehingga setiap anggotanya bersahabat karib dengan tepat tiga anggota lainnya dalam kelompok ini? () Periksalah apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik a) b)
G G G G c) d) G G G G e) f) G G G G (5) Susunlah matriks ikatan dan matriks kehadiran bagi graf-graf berikut; periksa pula sifatsifat matriks yang diperoleh a) b) V e 3 e V e e e7 e 8 V 5 e 5 V 6 V c) d) V e e e e V e 5 V 5 e 7 V 6 V V V V 5 e V e e 8 e 7 e 5 e 3 V e e e e 3 e V 5 e 5 V 6 V 7 V (6) Berikanlah sajian geometrik bagi graf yang matriks ikatannya ialah 3
a) b) c) d) Susunlah matriks kehadirannya (7) Berikan sajian geometrik graf yang matriks kehadirannya ialah a) b) c) d) Susunlah matriks ikatannya!. (8) Perhatikanlah graf G= (V, E) dengan V = {,,3,,5} dan E = {(,), (,3), (3,5), (,5), (,), (,5), (,), (,5)}. a) Susunlah matriks ikatan dan matriks kehadirannya! b) Tentukan derajat setiap simpulnya dan tentukan pula himpunan simpul-simpul berderajat ganjil!